重难点03 阴影部分面积求解问题（2方法+4题型+4类型）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

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\l "_Tc160637619" 方法一 直接公式法
\l "_Tc160637620" 方法二 和差法
\l "_Tc160637621" 题型01 直接和差法
\l "_Tc160637622" 题型02 构造和差法
\l "_Tc160637623" 题型03 割补法
\l "_Tc160637624" 类型一 全等法
\l "_Tc160637625" 类型二 等面积法
\l "_Tc160637626" 类型三 平移法、旋转法
\l "_Tc160637627" 类型四 对称法
\l "_Tc160637628" 题型04 容斥原理
【基础】设⊙O QUOTE 的半径为R，n° QUOTE 圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则
【方法技巧】
1） 利用弧长公式计算弧长时，应先确定弧所对的圆心角的度和半径，再利用公式求得结果．在弧长公式l=nπR180 中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
2）在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式S扇形= nπR2 360或 S扇形 = 12lR中求解即可．
3）扇形面积公式S扇形= 12lR 与三角形面积公式十分类似为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形、把弧长l看成底，R看成底边上的高即可.
4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R中的任意两个量，都可以求出另外两个量．
5）在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即
2πr=nπR180，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式来解决问题．
6）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长．注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念．
【阴影部分面积求解问题简介】求阴影部分面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
1）直接用公式求解．
2）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解．
①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形±S常见图形）
②构造和差法（所求阴影部分面积需要添加辅助线构造扇形、三角形或特殊四边形,然后进行相加减。）
3）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解．
①全等法
②等面积法
③平移法
④旋转法
⑤对称法
4) 容斥原理
当阴影部分是由几个图形叠加形成时,
1）需先找出叠加前的几个图形;
2）然后理清图形之间的重叠关系.
方法一 直接公式法
1．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，AB是半圆的直径，点C在直径上，以C为圆心、CA为半径向内作直角扇形，再以D为圆心、DC为半径向内作直角扇形，使点E刚好落到半圆上，若AB=10，则阴影部分的面积为（ ）

A．16πB．12πC．8πD．4π
【答案】C
【分析】过点E作EF⊥AB于点F，连接AE，BE，首先证明△AEF∼△EBF，设AC=x，则AF=2x，BF=10-2x，EF=x，利用相似三角形的性质列方程即可求出x的值，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，连接AE，BE，

∵AB是半圆的直径，
∴∠AEB=90°，即∠EAB+∠EBA=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠EFB=90°，
∴∠EAB+∠AEF=90°，
∴∠EBA=∠AEF，
∴△AEF∼△EBF，
∴AFEF=EFBF，即EF2=AF·BF，
设AC=x，
∵EF⊥AB，且由作图可知阴影部分是两个半径相等的半圆，
∴四边形DCFE是正方形，
∴CD=DE=EF=CF=AC=x，
∴AF=2x，
∴BF=10-2x，
∴x2=2x10-2x，
∴x1=0（舍去），x2=4，
∴S阴影=2×90×π×42360=8π，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形和扇形的面积，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及扇形的面积公式是解题的关键．
2．（2023·四川成都·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E．若将一骰子（看成一个点）投到矩形ABCD中，则骰子落在阴影部分的概率为 ．
【答案】16π
【分析】本题考查了几何概率，先根据锐角三角函数求出∠AEB=30°，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积，最后根据几何概率的求法解答即可．
【详解】解：∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，
∴BE=BC=2，
在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴sin∠AEB=ABBE=12，
∴∠AEB=30°，
∴∠EBA=60°，
∴∠EBC=30°，
∴阴影部分的面积：S=30°π×22360°=13π，
∵矩形的面积为2，
∴将一骰子（看成一个点）投到矩形ABCD中，则骰子落在阴影部分的概率为13π2=16π，
故答案为：16π．
3．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D是BC的中点，将AD绕点A按逆时针方向旋转90°得AD'．那么图中阴影部分的面积为 ．

【答案】9π4
【分析】先根据直角三角形的性质求出AD的长，再由扇形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D是BC的中点，
∴AD=12BC=3，
∴S扇形ADD'=90°π×32360°=9π4，
故答案为：9π4．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
方法二 和差法
题型01 直接和差法
4．（2019上·河北石家庄·九年级统考期中）已知点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC， AB=10，BC:AC=3:4，阴影部分的面积为 ．

【答案】252π-24
【分析】要求阴影部分的面积即是半圆的面积减去直角三角形的面积，根据AB=10，BC:AC=3:4，可以求得AC，BC的长，再根据半圆的面积公式和直角三角形的面积公式进行计算．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC:AC=3:4，
设BC=3a,AC=4a(a>0)，
AC2+BC2=AB2，即(4a)2+(3a)2=102，
解得：a=2，
BC=6,AC=8，
∴S阴影=S半圆-S△ABC=12×π×52-12×8×6=252π-24．
故答案为：252π-24．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
5．（2023·青海·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）.

【答案】16-4π/-4π+16
【分析】分析出阴影面积=正方形面积-圆的面积，再利用相应的面积公式计算即可．
【详解】解：由图得，阴影面积=正方形面积-4个扇形面积，
即阴影面积=正方形面积-圆的面积，
∴S阴影=42-π⋅22=16-4π．
故答案为：16-4π．
【点睛】本题考查了扇形面积的求法，正方形面积及圆的面积的求法是解题关键．
6．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是 ．

【答案】1-π4
【分析】连接CD，利用等腰直角三角形的性质求得扇形的半径，再利用图中阴影部分的面积=S△ABC-S扇形CEF即可解答．
【详解】解：连接CD，如图，

∵以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，
∴CD⊥AB，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴CD=AD=BD=12AB．
∵AB=2AC=2⋅2=2，
∴CD=1，
∴阴影部分的面积=S△ABC-S扇形CEF
=12BC⋅AC-90π×12360
=12×2×2-π4
=1-π4．
故答案为：1-π4．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、圆的切线的性质定理、扇形、三角形的面积等知识点，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
7．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 （结果保留π）．

【答案】6π5
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出∠A的度数，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和=5-2×180°=540°，
∴∠A=540°5=108°，
∴S扇形ABE=108π22360=6π5，
故答案为：6π5．
【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．
题型02 构造和差法
8．（2023·四川泸州·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)( )

A．3π4B．6-3π4C．5-3π4D．3+3π4
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质；勾股定理求得AB=5，进而根据等面积法求得，三角形的内切半径，根据S阴影=S△ABC-34S圆-S正方形，即可求解．
【详解】解：Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB= 32+42 =5，
∴ S△ABC=12AC⋅BC=6，C△ABC=AC+BC+AB=12，
∴内切圆半径r=2SC=1，
∴ S圆=πr2=π，
设⊙O与AC切于点D，与BC切于点E，连接OD、OE，
则四边形ODCE为正方形，
∴ S阴影=S△ABC-34S圆-S正方形=6-34π-1=5-34π．
故选：C．
9．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（ ）

A．3-13πB．3π-13C．13πD．13π-3
【答案】A
【分析】利用平行四边形的面积减去扇形面积和三角形面积即可求解．
【详解】解：过点D作DF⊥AB于F，

∵AD=2，∠A=30°，
∴DF=12AD=1 ．
∵以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，
∴AE=AD=2，
又∵AB=4，
∴BE=2，
∴S阴影=S▱ABCD-S扇形ADE-S△BCE
=AB⋅DF-30π⋅AD2360-12BE⋅DF
=4×1-30π×22360-12×2×1
=3-π3．
故选A．
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，平行四边形和三角形的面积公式，扇形的面积公式，不规则图形面积的求法，掌握相关面积公式和定理是解题的关键．
10．（2023·安徽·模拟预测）如图，⊙O的半径为2，AB=23，则阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【答案】4π3-3
【分析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OB，求出OH的长和∠AOB的度数，根据S扇形AOB-S△AOB即可求出答案．
【详解】解：如图所示，过点O作OH⊥AB于点H，连接OB，
∴∠AHO=∠BHO=90°，AH=BH=12AB=3，OA=OB=2，
∴sin∠AOH=AHAO=32，∠AOH=∠BOH=12∠AOB，OH=AO2-AH2=22-32=1，
∴∠AOH=60°，
∴∠AOB=2∠AOH=120°，
∴图中阴影部分的面积为S扇形AOB-S△AOB=120π×22360-12×23×1=43π-3，
故答案为：43π-3．
【点睛】此题考查了垂径定理、扇形面积、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，求出OH的长和∠AOB的度数是解题的关键．
11．（2023上·安徽六安·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2．点D为BC边的中点，以点D为圆心，CB长为直径画半圆，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】π-334
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的特征、勾股定理、扇形的面积，根据含30°角的直角三角形的特征得AB=2AC=4，再利用勾股定理得BC=23，BD=CD=3，进而可得CE=3，BE=3，再利用阴影部分的面积=S扇形BDE-S△BDE即可求解，熟练掌握基础知识，利用分割法解决问题是解题的关键．
【详解】解：连接CE、ED，如图：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2，点D为BC边的中点，
∴∠ABC=30°，AB=2AC=4，
∴∠CDE=60°，∠BDE=180°-60°=120°，
∴BC=42-22=23，BD=CD=3，
∴CE=12BC=3，BE=BC2-CE2=232-32=3，
∴图中阴影部分的面积=S扇形BDE-S△BDE=S扇形BDE-12S△BCE=120π⋅32360-12×12×3×3=π-334．
故答案为：π-334．
12．（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）如图，在半径为5，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在AB上，则阴影部分的面积为 ．

【答案】58π-32
【分析】连接OF，由勾股定理可计算得正方形CDEF的边长为1，则正方形CDEF的面积为1，等腰直角三角形COD的面积为12，扇形AOB的面积为18π⋅52=58π，所以阴影部分的面积为58π-32．
【详解】解：连接OF，则OF=5,
∵∠AOB=45°,
∴∠DCO=90°-∠COD=45°.
∴∠COD=∠DCO.
∴CD=OD.
∴EF=ED=OD.
Rt△OEF中，
OE2+EF2=OF2,
∴(2EF)2+EF2=(5)2，解得EF=1
∴OD=CD=EF=1
∴S阴影=S扇形AOB-S△ODC-SCDEF=45360π×(5)2-12×1×1-1×1=58π-32．
故答案为：58π-32

【点睛】本题考查扇形面积的计算，勾股定理，正方形的性质；构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．
13．（2022·福建·一模）如图，在平行四边形纸板ABCD中，点E，F，O分别为AB，CD，BD的中点，连接DE，OF，BF．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为 ．

【答案】38
【分析】根据点E，F，O分别为AB，CD，BD的中点，得到S△EOD=12S△BED，S△BEF=S△BED=14S▱ABCD，从而得到S△EOD=18S▱ABCD，进而得出S阴影=38S▱ABCD，由此即可得到答案．
【详解】解：如图，连接OE，
∵四边形ABCD为平行四边形，点E，F，O分别为AB，CD，BD的中点，
∴点E，F，O在同一直线上，
∴S△EOD=12S△BED，S△BEF=S△BED=12S△ABD=12⋅12S▱ABCD=14S▱ABCD，
∴S△EOD=12S△BED=18S▱ABCD，
∴S阴影=S△BEF+S△EOD=14S▱ABCD+18S▱ABCD=38S▱ABCD，
∴飞镖落在阴影部分的概率为38，
故答案为：38．
【点睛】本题考查了几何概率，平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，根据题意计算出S阴影=38S▱ABCD是解此题的关键．
14．（2023·广东梅州·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为0,23，OC与⊙D交于点C，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为 ．

【答案】2π-23/-23+2π
【分析】连接AB，从图中明确S阴影=S半圆-S△ABO，然后根据公式计算即可．
【详解】解：连接 AB ，

∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
根据同弧对的圆周角相等得：∠OBA=∠OCA=30°，
∵点B坐标为0,23，
∴OB=23 ，
∴ OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=23×33=2，AB=AOsin30°=4，
即圆的半径为2，
∴S阴影=S半圆-S△ABO=π×222-12×2×23=2π-23．
故答案为：2π-23．
【点睛】本题考查了同弧对的圆周角相等；90°的圆周角对的弦是直径；锐角三角函数的概念；圆、直角三角形的面积分式，解题的关键是熟练运用所学的知识进行解题．
15．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，扇形AMB的圆心角∠AMB=60°，将扇形AMB沿射线MB平移得到扇形CND，已知线段CN经过AB的中点E，若AM=23，则阴影部分的周长为 ．

【答案】23+3π3
【分析】连接ME，根据E为AB的中点，扇形AMB的圆心角∠AMB=60°，得出∠EMB=∠AME=12∠AMB=30°，求出lBE=30×23π180=3π3，证明EN=MN，根据NE+NB+lBE=MN+NB+lEB求出结果即可．
【详解】解：连接ME，如图所示：

∵E为AB⏜的中点，扇形AMB的圆心角∠AMB=60°，
∴∠EMB=∠AME=12∠AMB=30°，
∵AM=23，
∴EM=BM=23，
∴lBE=30×23π180=3π3，
根据平移可知，AM∥CN，
∴∠AME=∠MEN，
∴∠BME=∠MEN，
∴EN=MN，
∴阴影部分的周长为：
NE+NB+lBE=MN+NB+lEB
=MB+lBE
=23+3π3．
故答案为：23+3π3．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
16．（2024·西藏拉萨·统考一模）如图，等腰△ABC的顶点A，C 在⊙O上， BC边经过圆心0且与⊙O 交于D 点，∠B=30°.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AB=6，求阴影部分的面积
【答案】(1)见解析；
(2)63-2π
【分析】（1）连接OA，由AB=AC，∠B=30°，可得∠CAB=120°，由OC=OA，可得∠OAB=90°，即可求证；
（2）在RtΔOAB中，利用勾股定理可求得OA=23，再根据S阴=SRtΔOAB-S扇形OAD，即可求解.
【详解】（1）证明：连接OA，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°，∠CAB=120°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠C=30°，
∴∠OAB=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是圆O的切线．
（2）解：∵∠B=30°，∠OAB=90°，
∴OB=2OA
∵AB=6，
∴OA2+62=2OA2
∴OA=23
∴S阴=SRtΔOAB-S扇形OAD=12OA⋅AB-60π⋅OA2360=12×23×6-60π×12360=63-2π．
【点睛】此题主要考查切线的判定定理、直角三角形的性质、勾股定理、扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.
17．（2023·山西长治·统考模拟预测）如图，在△ABC中，CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，分别以点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，若点E、F是线段AC的三等分点时，图中阴影部分的面积为（ ）

A．82-2πB．162-4πC．82-4πD．162-2π
【答案】A
【分析】连接CD，由等腰三角形的性质可得CD⊥AB，AD=BD=2，由题意可得AC=BC=3AD=6，由勾股定理可得CD=42，再由S阴影=S△ABC-S扇形ADF-S扇形CEG-S扇形BDH代入进行计算即可．
【详解】解：如图，连接CD，
，
∵CA=CB，AB=4，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，AD=BD=2，
∵分别以点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，点E、F是线段AC的三等分点，
∴AC=BC=3AD=6，
∴CD=AC2-AD2=62-22=42，
∴S阴影=S△ABC-S扇形ADF-S扇形CEG-S扇形BDH
=12AB⋅CD-∠FAD×22×π360°-∠ECG×22×π360°-∠DBH×22×π360°，
=12×4×42-22×π360°∠FAD+∠ECG+∠DBH
=82-4×π×180°360°
=82-2π，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、扇形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理、扇形的面积公式是解题的关键．
18．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知AB是⊙O的直径，DA、DE、BC是⊙O的三条切线，切点分别为A、E、B，连接OE．

(1)如图1，求证：OE2=DE⋅CE；
(2)如图2，AD=1，BC=3，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)33-π
【分析】（1）连接OD，OC，根据切线的性质可得AB⊥BC，AB⊥AD，OE⊥CD，由OA=OE可得DO垂直平分∠ADE，则∠ADO=∠CDO，同理可得∠BCO=∠ECO，可得出∠ODE+∠OCE=90°，根据同角的余角相等可得∠EOD=∠ECO，证明△ODE∽△COE，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（2）连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，可得CF=2，利用勾股定理求出DF，可得半径是3，OC=23，可求出∠BOE=120°，根据S阴影部分=S四边形BCEO-S扇形OBE即可求出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，OC，
，
∵DA、DE、BC是⊙O的三条切线，切点分别为A、E、B，
∴AB⊥BC，AB⊥AD，OE⊥CD，
∴AD∥BC，∠OED=∠CEO=90°，
∵OA=OE，
∴DO平分∠ADE，
∴∠ADO=∠CDO=12∠ADE，
同理可得：∠BCO=∠ECO=12∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠BCE=180°，
∴∠ODE+∠OCE=90°，
∵∠ODE+∠EOD=90°，
∴∠EOD=∠ECO，
∴△ODE∽△COE，
∴OECE=DEOE，
∴OE2=DE⋅CE；
（2）解：如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，
，
则四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，DF=AB，
∵DA、DE、BC是⊙O的三条切线，切点分别为A、E、B，AD=1，BC=3，
∴DE=AD=BF=1，CE=BC=3，
∴CF=BC-BF=2，CD=CE+DE=4，
∴DF=CD2-CF2=23，
∴AB=DF=23，
∴⊙O的半径是3，
∴OC=OB2+BC2=23，
∴OC=2OB，
∴∠OCB=30°，
∴∠BCE=2∠OCB=60°，
∴∠BOE=360°-∠OBC-∠OEC-∠BCE=120°，
∴S阴影部分=S四边形BCEO-S扇形OBE=2×12BC⋅OB-120×π×OB2360=33-π．
【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，扇形的面积公式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质及切线的性质是解题的关键．
题型03 割补法
类型一 全等法
19．（2022上·安徽阜阳·九年级校考期末）AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD= 43，则S阴影=（ ）
A．πB．2πC．83πD．4π
【答案】C
【分析】先求出∠EOD，再根据含30°直角三角形的性质得CE，及AC=2AE，然后根据勾股定理求出AE，进而得出AC，同理求出OE，OD，最后根据S阴影=S扇形AOD得出结论．
【详解】解：∵∠C=30°，
∴∠EOD=2∠C=60°.
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD=43，
∴∠AEC=∠DEO=90°，CE=DE=23.
∴∠EDO=30°.
在Rt△ACE中，∠C=30°，
∴AC=2AE，
根据勾股定理，得(2AE)2=(23)2+AE2，
解得AE=2（负数舍去），
∴AC=2AE=4，
同理OE=2，OD=4，
∴S△AEC=S△OED=12×23×2=23，
∴S阴影=S扇形AOD=60π×42360=83π.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，扇形的面积等，将求不规则图形面积转化为求规则图形的面积是解题的关键．
20．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=1，以点A为圆心，矩形的长AD为半径画弧，交BC于点E，交AB的延长线于点F，若AE恰好平分∠BAD，则阴影部分的面积为（ ）

A．1B．π-2-12C．22+π4D．2-1
【答案】D
【分析】由矩形的性质结合角平分线的定义可求出∠BAE=∠EAD=12∠BAD=45°，AB=BE=1，AE=2，再根据扇形的面积公式，矩形的面积公式和三角形面积公式计算出S阴影BEF=S扇形AEF-S△ABE和S阴影DCE=S矩形ABCD-S扇形ADE-S△ABE，最后相加即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°．
∵AE恰好平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=12∠BAD=45°，
∴AB=BE=1，
∴AE=AB2+BE2=2，
∴S扇形AEF=45πAE2360=45π×22360=14π，S△ABE=12AB⋅BE=12×1×1=12，
∴S阴影BEF=S扇形AEF-S△ABE=14π-12；
由题意可知AD=AE=2，
∴S矩形ABCD=AB⋅AD=1×2=2，S扇形ADE=45πAE2360=14π，
∴S阴影DCE=S矩形ABCD-S扇形ADE-S△ABE=2-14π-12，
∴阴影部分的面积为S阴影BEF+S阴影DCE=2-1．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
21．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC,BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】π
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD=22，再由扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：正方形ABCD，
∴AO=CO,BO=DO,AD=CD，∠DBE=45°，
∴△AOD≌△COB(SSS)，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD=22+22=22
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即45×π×(22)2360=π，
故答案为：π．
【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键．
22．（2022·青海·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【分析】结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，可得△AOE与△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，
∴OA=OC，AB=CD=3，AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COFASA，
∴S△AOE=S△COF，
∴S阴影=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△COF+S△BOF+S△COD=S△BCD，
∴S△BCD=12BC⋅CD=12×4×3=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三家形的判定与性质，根据证明三角形全等，将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半是解题的关键．
23．（2022上·江西南昌·九年级统考期末）如图，半径为10的扇形OAB中，∠AOB=90°，C为弧AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．若∠CDE=40°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．403πB．1109πC．1009πD．10π
【答案】C
【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝40°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【详解】解：如图，连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴OD＝CE，DE＝OC，CD∥OE，
∵∠CDE＝40°，
∴∠DEO＝∠CDE＝40°，
在△DOE和△CEO中，OD＝ECDE＝COOE＝EO，
∴△DOE≌△CEO（SSS），
∴∠COB＝∠DEO＝40°，
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC＝40π×102360＝1009π，
∴图中阴影部分的面积为1009π，
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形OBC的面积等于阴影的面积是解题的关键．
类型二 等面积法
24．（2023·辽宁锦州·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，则阴影部分的面积为（ ）
A．π4B．π3C．2π3D．π
【答案】A
【分析】连接OE，OD，证明S△AOD=S△AED，可得S阴影=S扇形OAD，求解∠AOD=90°，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：连接OE，OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
即点E是BC的中点，
∵点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴S△AOD=S△AED，
∴S阴影=S扇形OAD，
∵∠AEC=90°，
∴∠AEB=90°，
∵∠BED=45°，
∴∠AED=45°，
∴∠AOD=90°，
∴S扇形OAD=90π×12360=π4，
∴S阴影=π4，
故选：A．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，熟练的证明S阴影=S扇形OAD是解本题的关键．
25．（2023·山西大同·校联考模拟预测）阅读与思考
下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务：
通过构造全等三角形来解决图形与几何中的问题
在图形与几何的学习中常常会遇到一些问题无法直接解答，需要作辅助线构造全等三角形才能得到解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交，构造全等三角形，再运用全等三角形的性质解决此问题．
例：如图1，D是△ABC内的点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD．若△ABC的面积是10，求图中阴影部分的面积．

该问题的解答过程如下：
解：如图2，延长CD交AB于点E．

∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADE=90°．
在△ADE和△ADC中，
∠DAB=∠DACAD=AD∠ADC=∠ADE
∴△ADE≌△ADCASA．
∴S△ADE=S△ADC（依据*），ED=DC．
任务：
(1)上述解答过程中的“依据*”是指 ；
(2)请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
(3)如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD的延长线于点E，连接BE．若BE=5，请直接写出AD的长．

【答案】(1)全等三角形面积相等
(2)见解析
(3)10
【分析】（1）根据全等三角形的性质，即可得出答案；
（2）先判断△ADE≌△ADCASA得出S△ADE=S△ADC（全等三角形面积相等），ED=DC，进而得到S△BDE=S△BDC，即可得到答案；
（3）延长CE，AB相交于点Q，先判断出△AEQ≌△AECASA，得出EQ=EC，继而得出CQ=2BE=10，再判断出△ABD≌△CBQASA，即可得出结论．
【详解】（1）由题意可知，依据是全等三角形面积相等，
故答案为：全等三角形面积相等．
（2）解：如图2，延长CD交AB于点E．

∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠ADE=90°．
在△ADE和△ADC中，
∠DAB=∠DACAD=AD∠ADC=∠ADE，
∴△ADE≌△ADCASA．
∴S△ADE=S△ADC（全等三角形面积相等），ED=DC．
∴S△BDE=S△BDC（等底同高的两个三角形面积相等），
∴S△ADE+S△BDE=12S△ACE+12S△BCE
=12S△ACE+S△BCE
=12S△ABC
=5
∴S阴影部分=S△ABD=S△ADE+S△BDE=5
（3）解：如图：

延长CE，AB相交于点Q，
∵ AD平分∠BAC交BC于点，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠AEQ=∠AEC=90°，
∵AE=AE，
∴△AEQ≌△AECASA，
∴EQ=EC，
∵∠CBQ=90°，
∴CQ=2BE=10，
∵∠ABC=∠AEC，∠ADB=∠CDE，
∴∠BAD=∠BCQ，
∵AB=CB，∠ABD=∠CBQ，
∴△ABD≌△CBQASA，
∴AD=CQ=10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
26．（2023上·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC=CD，∠ACD=30°，AB=12，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】93
【分析】连接OD，OC，OC交BD于点E，过点O作OF⊥CD于点F，由圆周角定理可得∠AOD=2∠ACD=60°，再由OD=OC=OB以及三角形内角和定理可得∠OBD=∠ODB=12180°-∠DOB=30°，△COD为等边三角形，从而得到OE⊥BD，BD=2BE，再计算出BD的长，最后根据S阴影=S△BCD=12BD⋅CE，进行计算即可得到答案．
【详解】解：连接OD，OC，OC交BD于点E，过点O作OF⊥CD于点F，则：OD=OC=OB，

∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACD=30°，AB=12，
∴OD=OC=OB=12AB=6，∠AOD=2∠ACD=60°，
∵BC=CD，AB为半圆，
∴∠DOC=∠COB=12180°-∠AOD=60°，
∵OD=OC=OB，
∴∠OBD=∠ODB=12180°-∠DOB=30°，△COD为等边三角形，
∴OE⊥BD，BD=2BE，
∴OE=12OB=3，BE=OB2-OE2=33，
∴BD=2BE=63，CE=OC-OE=6-3=3，
∴S阴影=S△BCD=12BD⋅CE=12×63×3=93，
故答案为：93．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理是解题的关键．
类型三 平移法、旋转法
27．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为8cm的⊙O中，连接CE，AC，AE，沿直线CE折叠，使得点D与点O重合，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．323cm2B．83cm2C．8πcm2D．(433+3π)cm2
【答案】A
【分析】根据正六边形的性质，折叠的性质以及圆的对称性可得出OM=MD=12OC=4cm，再根据直角三角形的边角关系求出CM，进而求出CE，由图形中各个部分面积之间的关系可得S阴影部分=2S△COE，根据三角形的面积计算公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接OD，交CE于点M，则OD⊥CE，

由折叠可知OM=MD=12OD=12OC=4(cm)，
∠COM=360°6=60°，
在Rt△COM中，
CM=3OM=43(cm)，
∴CE=2CM=83(cm)，
由题意可知，△ACE是等边三角形，阴影部分面积等于S四边形ACOE，
连接OA，点O为△ACE的内心，到三边的距离相等，
S△OAC=S△OAE=S△OEC，
∴S阴影部分=2S△COE
=2×12×83×4
=323(cm2)，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆，翻折的性质以及直角三角形的边角关系，掌握正六边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
28．（2023·浙江·模拟预测）如图，△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积( )

A．7-π9B．5-π9C．79D．59
【答案】D
【分析】利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圆的半径，从而求阴影部分的面积．
【详解】解：连接O1O2，设O2的半径为x．

∵O1O22-AO12=AO22，
∴2+x2-22=2-x2，
解得：x=23
设⊙O1交BC于D，⊙O2交BC于E．
∴CE=PE=2x=223，BC=2AB，CD=22AB=2
∴S阴影=S△ADC-S△CEP=12CD⋅AD-12CE⋅PE=12×2⋅2-12×223⋅223=59
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，以及三角形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积等于梯形PEDA的面积是关键．
29．（2018·山西·统考中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π﹣4B．4π﹣8C．8π﹣4D．8π﹣8
【答案】A
【分析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积.
【详解】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积=90×π×42360-12×4×2=4π-4，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
类似四 对称法
30．（2017上·山东东营·九年级校联考期末）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC= 2，则图中阴影部分的面积是
【答案】π4
【分析】本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先利用圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC，OA=22AC=1，
∴S阴影部分=S扇形AOC=90·π·12360=π4．
故答案为π4．
31．（2023·广西北海·统考三模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB=3，AC=4，AD=5，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．1.5B．3C．6D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的逆定理，利用三角形全等，把阴影面积转化为△ABC的面积计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD∥BC，OA=OC，∠EOA=∠FOC，∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△OFC中，
∵∠EOA=∠FOC∠EAO=∠FCOAO=CO，
∴△AOE≌△OFCAAS，
∴S△AOE=S△OFC，
在△AOB和△DOC中，
∵OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△AOB≌△CODSAS，
∴S△AOB=S△DOC，
∵AB=3，AC=4，AD=5，AB2+AC2=BC2
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴S阴影=S△ABC=12AB·AC=12×3×4=6，
故选：C．
32．（2023·河北保定·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E(E不与A，B重合），交CD于点F．以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N．若AB=1，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．π8-18B．π8-14C．π2-18D．π2-14
【答案】B
【分析】图中阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．
【详解】解：以OD为半径作弧DN，

∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD=OC，∠DOC=90°，
∵∠EOB=∠FOD，
∴S扇形BOM=S扇形DON，
∴S阴影=S扇形DOC-SΔDOC=90π×(22)2360-14×1×1=π8-14，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，解题的关键是求出阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC的面积．
33．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，半径OA=3，则图中阴影部分的面积是 ，（结果保留π）
【答案】3π
【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据等边三角形的性质可得SΔCOB=SΔAOC，∠AOC=120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴SΔCOB=SΔAOC，∠AOC=120°，
∵⊙O的半径为3，
∴S阴影=S扇形AOC=120⋅π×32360=3π，
故答案为：3π．
34．（2023·江苏南通·统考二模）如图，在⊙O中，弦AB垂直于半径OC，垂足为D，点E在OC的延长线上，且∠EAC=∠CAB．
(1)求证：直线AE是⊙O的切线；
(2)若OE=6,sin∠E=12，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)S阴影=3π2
【分析】（1）连接OA．根据半径相等可得∠OAC=∠OCA，根据∠OCA+∠CAB=90°，∠EAC=∠CAB，等量代换可得∠OAC+∠EAC=90°，即可得证；
（2）连接OB，根据特殊角的三角函数值得出∠E=30°,OA=12OE=3，进而可得△OAC是等边三角形．再结合垂径定理，根据S阴影=S扇形BOC，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接OA．
∵OA=OC．
∴∠OAC=∠OCA
∵OC⊥AB，
∴∠ADC=90°
∴∠OCA+∠CAB=90°．
又∵∠EAC=∠CAB,∠OAC=∠OCA．
∴∠OAC+∠EAC=90°，
∴∠OAE=90°．
∴AE⊥OA
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）如图，连接OB．
∵在Rt△OAE中，sin∠E=OAOE=12，OE=6．
∴∠E=30°,OA=12OE=3
∴∠AOC=60°．
又∵OA=OC
∴△OAC是等边三角形．
又∵弦AB垂直于半径OC．
∴OD=DC,AD=BD,AC=BC
∴S△OBD=S△CAD,∠BOC=∠AOC=60°．
∴S阴影=S扇形BOC=60π×32360=3π2．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，求扇形面积，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理是解题的关键．
题型04 容斥原理
35．（2022上·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、BC、AC边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当AB=8，BC=4时，则阴影部分的面积为 ．
【答案】83
【分析】根据阴影部分面积等于以AC,BC为直径的2 个半圆的面积加上S△ABC减去AB为半径的半圆面积即S△ABC．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2
∵ AB=8，BC=4
∴AC=82-42=43
∴ S阴影部分=12AC⋅BC+12π×12AC2+12π×12BC2-12π×12AB2
=12AC⋅BC+12π×14AC2+BC2-AB2
=12AC⋅BC
=12×43×4
=83．
故答案为：83
【点睛】本题考查了勾股定理，求扇形面积，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
36．（2021·广东江门·校考三模）如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OC长为半径的半圆交AB于C，D两点，弦AF切小半圆于点E．已知AB=4，∠BAF=30°，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．32+π3B．33+π2C．32+π2D．33+π3
【答案】A
【分析】连接OE、OF，如图，根据切线的性质得到OE⊥AF，再利用勾股定理计算出EF=3，计算出∠FOE=60°，∠BOF=60°，则∠DOE=120°，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S扇形BOF+S△OEF-S扇形DOE进行计算．
【详解】连接OE、OF，如图，

∵弦AF切小半圆于点E，
∴OE⊥AF，
∵AB=4，∠BAF=30°，
∴OA=OB=OF=2，OE=1，
在Rt△OEF中，EF=22-12=3，
∵∠BAF=30°，
∴∠OFE=30°，
∴∠FOE=60°，∠OAF=30°，
∴∠BOF=60°，
∴∠DOE=120°，
图中阴影部分的面积=S扇形BOF+S△OEF-S扇形DOE
=60×π×22360+12×1×3-120×π×12360
=π3+32．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积公式，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
37．（2023·广东肇庆·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点D，交AB于点E，则图中阴影部分的面积是 ．(结果保留π)
【答案】π3/13π
【分析】本题考查不规则图形的面积计算，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质等知识，证明△ACE是等边三角形，从而得到AB=2AC=4，AC=AE，继而得到S阴影=S扇形ACE-S扇形CDE从而得解．掌握扇形面积公式是解题的关键．
【详解】如图，连接CD．
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴∠BAC=60°，AB=2AC=4，BC=AB2-AC2=23，
又∵CA=CE，
∴△ACE是等边三角形
∴∠ACE=60°，∠ECD=30°，
∵AB=4，AC=AE，
∴AE=BE=2，
∴S阴影=S△BCE-S扇形CDE+S扇形ACE-S△ACE=12S△ABC-S扇形CDE+S扇形ACE-12S△ABC=S扇形ACE-S扇形CDE
∴S阴影=S扇形ACE-S扇形CDE =60°π×22360°-30°π×22360°=π3．
故答案为：π3．
38．（2022·河南·统考中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O'处，得到扇形A'O'B'．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
【答案】π3+32
【分析】设A'O与扇形AOB交于点C，连接OC，解Rt△OCO'，求得O'C=3,∠COB=60°，根据阴影部分的面积为S扇形A'O'B'-S扇形OCB-S△OCO'，即可求解．
【详解】如图，设A'O与扇形AOB交于点C，连接OC，如图
∵O'是OB的中点
∴OO'=12OB=12OA=1, OA＝2，
∵ ∠AOB＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移，
∴∠A'O'O=90°
∴cs∠COB=OO'OC=12
∴∠COB=60°
∴O'C=OCsin60°=3
∴阴影部分的面积为S扇形A'O'B'-S扇形OCB-S△OCO'
=S扇形AOB'-S扇形OCB+S△OCO'
=90360π×22-60360π×22+12×1×3
=π3+32
故答案为：π3+32
【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得∠COB=60°是解题的关键．
39．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在扇形OAB中，∠AOB=150°，将扇形OAB绕点A顺时针旋转得到扇形O'AB'，点O的对应点O'恰好落在AB上，若OA=2，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】π+3/3+π
【分析】S阴影部分=S扇形AO'B+S△AOO'-S扇形AOO'，据此即可求解．
【详解】解：连接OO'，如图：

由旋转的性质可得：OA=O'A
∵OA=OO'
∴△AOO'是等边三角形
过点O'作O'C⊥OA

∵OO'=2,∠O'OA=60°
∴O'C=OO'×sin∠60°=3
S阴影部分=S扇形AO'B+S△AOO'-S扇形AOO'=150°360°×π×22+12×2×3-60°360°×π×22
化简得：S阴影部分=π+3
故答案为：π+3
【点睛】本题考查扇形面积及不规则图形面积的计算．抓住S阴影部分=S扇形AO'B+S△AOO'-S扇形AOO'是解题关键．
40．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，将直径为4的半圆形分别沿CD，EF折叠使得直径两端点A，B的对应点都与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．23-23πB．23π-23C．23-13πD．23π-3
【答案】A
【分析】连接AC,OC,BE,OE，可推出△ACO,△BEO,△COE是边长为2的等边三角形，进一步可得S阴影部分=2S△ACO-S扇形AOC，即可求解．
【详解】解：连接AC,OC,BE,OE，如图所示：

由折叠可知：AC=OC,BE=OE，CD⊥AB,EF⊥AB
∵OC=OE=OA=OB=12AB=2
∴△ACO,△BEO是边长为2的等边三角形
∴∠AOC=∠BOE=60°
∴∠COE=60°
∴△COE也是边长为2的等边三角形
S阴影部分=S扇形COE-2S扇形AOC-S△ACO=S扇形COE-2S扇形AOC+2S△ACO
∵S扇形COE=S扇形AOC
∴S阴影部分=2S△ACO-S扇形AOC
∵OD=12AO=1,∠COD=60°
∴CD=OD×tan60°=3
∴S△ACO=12×2×3=3
∵S扇形AOC=60°360°×π×22=33π
∴S阴影部分=2S△ACO-S扇形AOC=23-23π
故选：A
【点睛】本题考查了圆中不规则图形面积的求解．得出S阴影部分=2S△ACO-S扇形AOC是解题关键．
41．（2023·江苏泰州·校考三模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以△ABC的三边为直径在BC同侧作半圆，得两个月牙（图中阴影），过点A作BC的平行线，分别和以AB、BC为直径的半圆交于D、E两点，若AD=4，AE=5，则阴影部分的面积和为 ．

【答案】39
【分析】阴影部分的面积可以看成是以AC、AB为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去一个以BC为直径的半圆的面积．
【详解】解：设DE交以AC为直径的半圆于F，取BC的中点O，作OG⊥DF于G，连接CF、BD、OA，

∵AC是直径，
∴∠AFC=90°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°
∵DF∥BC，OG⊥DF，
∴四边形BCFD和四边形DBOG是矩形，
∴BC=DF，OB=DG，
∵AD=4，AE=5，
∴AG=12AE=2.5，
∴DG=AD+AG=6.5，
∴OB=OA=DG=6.5，BC=DF=2OB=13，
∴OG=OA2-AG2=6.52-2.52=6，
∴DB=OG=CF=6，
在Rt△ABD中，
AB=AD2+BD2=42+62=213，
AC=BC2-AB2=132-2132=313，
S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为AB的半圆的面积+S△ABC-直径为BC的半圆的面积
=12πAC22+12πAB22+12AC×AB-12πBC22
=18πAC2+18πAB2-18πBC2+12AC×AB
=18πAC2+AB2-BC2+12AC×BC
=12AC×BC
=12×213×313
=39
故答案为39．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
42．（2022·山西长治·统考一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=12，BC=6，以AB为直径的圆与以BC为直径的圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】93-3π/-3π+93
【分析】取AB,BC的中点E，O，连接DE,DO,DB，如图，根据S阴影=S△BCD-S弓形BD+S弓形CD，想办法分别求出阴影部分涉及的三个图形的面积即可．
【详解】解：取AB,BC的中点E，O，连接DE,DO,DB，如图，
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AC=12，BC=6，
∴sinA=BCAC=12，AB=122-62=63，
∴∠A=30°,∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠ABD=60°，AD=AB⋅csA=9,BD=12AB=33，
∴CD=12-9=3，
∵E为AB中点，
∴DE=BE=12AB，S△BED=12S△ABD=12×12×9×33=2734，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BED=60°，
∴S弓形BD=S扇形BED-S△BED=16π×332-2734=9π2-2734，
∵OD=OC,∠C=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC=60°，且OC=12BC=3，
∴S扇形DOC=16π×32=3π2，
∴S弓形DC=S扇形ODC-S△DOC=3π2-34×32=3π2-934，
∴S阴影=S△BCD-S弓形BD+S弓形CD =12×3×33-9π2-2743+3π2-934=93-3π
故答案为：93-3π．

【点睛】本题考查了圆的综合，涉及扇形面积的计算、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识，明确求解的思路、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
43．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D．则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【答案】203π-83
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BCD与扇形ACE的面积之和与Rt△ABC的面积之差．
【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，
∴∠B=30°，BC=3AC=43，
∴阴影部分的面积S=S扇形BCD+S扇形ACE-SΔACB=30π⋅(43)2360+60π⋅42360-12×4×43=203π-83，
故答案为：203π-83．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．扇形弧长公式
l=nπR180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
扇形面积公式
S扇形= nπR2 360 = 12lR
圆锥侧面积公式
S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥全面积公式
S圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
圆锥的高h，圆锥的底面半径r
r2+h2=l2
图形
公式
S阴影 = S扇形ABC
S阴影 = S△ABC
S阴影 = S四边形ABCD = ab
图形
面积计算方法
图形
面积计算方法
S阴影=S△ACB−S扇形ABD
S阴影=S扇形AOB −S△AOB
S阴影=S△AOB−S扇形COD
S阴影= S扇形BAD−S半圆AB
S阴影=S半圆AB−S△AOB
S阴影=S扇形之和=nπR2 360=πR2 2
S阴影=S扇形EAF−S△ADE
图形
公式
S阴影=S扇形AOC+S△BOC
S阴影=S△ODC-S扇形DOE
S阴影=S扇形AOB-S△AOB
S阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD
图形
公式
S阴影= S△AOB
S阴影= S扇形BOC
S阴影=S矩形ACDF

S阴影= S正方形PCQE
图形
公式
S阴影= S扇形COD
图形
公式
S阴影=S正方形BCFE
S阴影=S矩形ABHG
图形
公式
S阴影=S扇形AOE
S阴影= S扇形BOD
S阴影= S扇形ABE-S扇形MBN
图形
公式
S阴影=S△ACD
S阴影= S扇形CDE
S阴影= S△OBC=14 S正方形ABCD
S阴影= S扇形ACB- S△ACD
图形（举例）
公式
S阴影=S扇形BAB′+S半圆AB′−S半圆AB
S阴影=S半圆AC+S半圆BC−S△ACB
S阴影= S扇形AEC + S扇形BCD−S△ACB