2020-2021学年河南省平顶山市舞钢市八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年河南省平顶山市舞钢市八年级上学期期中数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．，，B．1，2，C．6，8，12D．5，11，13
2．在实数，，0，，，﹣1.414，有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，在数轴上表示的点在哪两个字母之间（ ）
A．B 与 CB．A 与 BC．A 与 CD．C 与 D
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知M（a，3）和N（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2020的值为（ ）
A．1B．﹣1C．72020D．﹣72020
6．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（﹣1，1）C．（3，5）D．（﹣1，5）
7．已知一个正数的两个平方根分别为3a﹣5和7﹣a，则这个正数的立方根是（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，一只蚂蚁从长为2cm、宽为2cm，高是3cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）cm．
A．3B．2C．5D．7
10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝x
二、填空题（每空3分，共15分）
11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，则AB＝ ．
12．若a，b分别为的整数部分和小数部分，则a﹣b的值为 ．
13．已知A（2x+1，3），B（﹣5，3y﹣3）关于原点对称，则x+y＝ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，4），若直线y＝2x+b与线段AB有公共点，则b的值可以为 ．（写出一个即可）
15．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2…第n次移动到点An，则点A2020的坐标是 ．
三、解答题（共75分）
16．计算
（1）；
（2）．
17．在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2
∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．
18．七年级（2）班的同学组织到人民公园游玩，张明、王励、李华三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，张明说他的坐标是（200，﹣200），王励说他的坐标是（﹣200，﹣100），李华说他的坐标是（﹣300，200）．
（1）请你根据题目条件，在图中画出平面直角坐标系；
（2）写出这三位同学所在位置的景点名称；
（3）写出除了这三位同学所在位置外，图中其余两个景点的坐标．
19．已知直线l与直线y＝2x﹣2平行，且经过点（2，6）．
（1）求直线l的关系式；
（2）直接在坐标系中画出直线l的图象．
20．国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠“；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．
（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；
（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？
（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．
21．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 、 ；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为 ；
（3）用所学知识加以说明．
22．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；
（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．
①求线段AD的长；
②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（1）【观察猜想】：如图①，点B、A、C在同一直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为 ．
（2）【问题解决】：如图 ②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝8，AB＝4，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长．
（3）【拓展延伸】：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝8，AB＝4，DC＝DA，连接BD，求BD的长．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．，，B．1，2，C．6，8，12D．5，11，13
解：A、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、12+22＝（）2，故是直角三角形，故此选项符合题意；
C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、52+112≠132，故不是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．在实数，，0，，，﹣1.414，有理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：，0，，﹣1.414是有理数．
故选：D．
3．如图，在数轴上表示的点在哪两个字母之间（ ）
A．B 与 CB．A 与 BC．A 与 CD．C 与 D
解：∵2.52＝6.25＜7，
∴2.5＜＜3，
∴在点C、D之间，
故选：D．
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
解：（A）原式＝，故A不是最简二次根式；
（B）原式＝2，故B不是最简二次根式；
（D）原式＝4，故D不是最简二次根式；
故选：C．
5．已知M（a，3）和N（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2020的值为（ ）
A．1B．﹣1C．72020D．﹣72020
解：∵M（a，3）和N（4，b）关于x轴对称，
∴a＝4，b＝﹣3，
则（a+b）2020的值为：1．
故选：A．
6．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（﹣1，1）C．（3，5）D．（﹣1，5）
解：∵正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，
∴点B的横坐标为：﹣1+4＝3，纵坐标为：1．
∴点B的坐标为（3，1）．
∴点C的横坐标为：3，纵坐标为：1+4＝5．
∴点C的坐标为（3，5）．
故选项A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误．
故选：C．
7．已知一个正数的两个平方根分别为3a﹣5和7﹣a，则这个正数的立方根是（ ）
A．4B．3C．2D．1
解：∵一个正数的两个平方根分别为3a﹣5和7﹣a，
∴3a﹣5+7﹣a＝0，
解得：a＝﹣1，
∴3a﹣5＝﹣8，
则这个正数是64，
这个正数的立方根是＝4，
故选：A．
8．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）函数值随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、三、四象限；
故选：B．
9．如图，一只蚂蚁从长为2cm、宽为2cm，高是3cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）cm．
A．3B．2C．5D．7
解：如图（1），AB＝＝；
如图（2），AB＝＝5．
故选：C．
10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝x
解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB＝3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边分别是4，
∴三角形ABO面积是5，
∴OB•AB＝5，
∴AB＝，
∴OC＝，
由此可知直线l经过（，3），
设直线方程为y＝kx，
则3＝k，
k＝，
∴直线l解析式为y＝x，
故选：C．
二、填空题（每空3分，共15分）
11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，则AB＝ 2 ．
解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，由勾股定理，得AB＝＝＝2．
故答案是：2．
12．若a，b分别为的整数部分和小数部分，则a﹣b的值为 6﹣ ．
解：∵3＜＜4，
∴的整数部分是3，即a＝3，
∴的小数部分是﹣3，即b＝﹣3，
∴a﹣b＝3﹣（﹣3）＝6﹣．
故答案为：6﹣．
13．已知A（2x+1，3），B（﹣5，3y﹣3）关于原点对称，则x+y＝ 2 ．
解：∵A（2x+1，3），B（﹣5，3y﹣3）关于原点对称，
∴2x+1＝5，3y﹣3＝﹣3，
解得：x＝2，y＝0，
∴x+y＝2，
故答案为：2．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，4），若直线y＝2x+b与线段AB有公共点，则b的值可以为 0（答案不唯一） ．（写出一个即可）
解：当直线y＝2x+b经过点A（1，4）时，4＝2×1+b，
解得：b＝2；
当直线y＝2x+b经过点B（4，4）时，4＝2×4+b，
解得：b＝﹣4．
又∵直线y＝2x+b与线段AB有公共点，
∴﹣4≤b≤2．
故答案为：0（答案不唯一）．
15．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2…第n次移动到点An，则点A2020的坐标是 （1010，0） ．
解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，
2020÷4＝505，
所以A2020的坐标为（505×2，0），
则A2020的坐标是（1010，0）．
故答案为：（1010，0）．
三、解答题（共75分）
16．计算
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝﹣（3+2﹣2）﹣
＝5﹣5+2﹣
＝；
（2）原式＝5+﹣﹣2+
＝8﹣．
17．在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2
∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．
解：（1）
＝
＝；
（2）∵a＝
＝+1，
∴a﹣1＝，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1
∴3a2﹣6a＝3
∴3a2﹣6a﹣1＝2．
18．七年级（2）班的同学组织到人民公园游玩，张明、王励、李华三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，张明说他的坐标是（200，﹣200），王励说他的坐标是（﹣200，﹣100），李华说他的坐标是（﹣300，200）．
（1）请你根据题目条件，在图中画出平面直角坐标系；
（2）写出这三位同学所在位置的景点名称；
（3）写出除了这三位同学所在位置外，图中其余两个景点的坐标．
【解答】（1）根据题意，他们以中心广场为坐标原点，100m为单位长度建立直角坐标系：
（2）张明在游乐园，王励在望春亭，李华在湖心亭；
（3）中心广场（0，0），牡丹亭（300，300）
19．已知直线l与直线y＝2x﹣2平行，且经过点（2，6）．
（1）求直线l的关系式；
（2）直接在坐标系中画出直线l的图象．
解：（1）∵直线y＝kx+b与y＝2x﹣2平行，
∴k＝2，
把（2，6）代入y＝2x+b，得4+b＝6，
解得b＝2，
∴直线l的关系式是y＝2x+2．
（2）画出直线l的图象如图：
20．国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，员工可享受八折优惠“；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为2000元．
（1）设参加旅游的员工人数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别写出两个旅行社收费的表达式；
（2）当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？
（3）员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板选择哪家旅行社提出合理化建议（只说出结果）．
解：（1）由题意可得，
y甲＝2000x×0.8＝1600x，
y乙＝2000（x+1）×0.75＝1500x+1500，
即y甲＝1600x，y乙＝1500x+1500；
（2）当x＝10时，
y甲＝1600×10＝16000，y乙＝1500×10+1500＝16500，
∵16000＜16500，
∴当员工有10人时，甲家旅行社更优惠；
（3）由题意可得，
1600x＝1500x+1500，
解得x＝15，
即员工人数为15人时，两家旅行社花费一样，当员工人数多于15人时，选择乙旅行社，当员工人数少于15人时，选择甲旅行社，当员工人数为15人时，两家旅行社一样．
21．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、 60 、 61 ；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为 ；
（3）用所学知识加以说明．
解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为，
则用含a的代数式表示第三个数为，
故答案为：；
（3）∵a2+（）2＝，
（）2＝，
∴a2+（）2＝（）2
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a，，三个数组成的数是勾股数．
22．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB＝ 8 ，BC＝ 4 ，AC＝ 4 ；
（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．
①求线段AD的长；
②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）当x＝0时，y＝﹣2x+8＝8，
∴点C的坐标为（0，8）；
当y＝0时，﹣2x+8＝0，解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0）．
由已知可得：四边形OABC为矩形，
∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4，AC＝＝4．
故答案为：8；4；4．
（2）①设AD＝a，则CD＝a，BD＝8﹣a．
在Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2，即a2＝42+（8﹣a）2，
解得：a＝5，
∴线段AD的长为5．
②存在，设点P的坐标为（0，t）．
∵点A的坐标为（4，0），点D的坐标为（4，5），
∴AD2＝25，AP2＝（0﹣4）2+（t﹣0）2＝t2+16，DP2＝（0﹣4）2+（t﹣5）2＝t2﹣10t+41．
当AP＝AD时，t2+16＝25，
解得：t＝±3，
∴点P的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
当AD＝DP时，25＝t2﹣10t+41，
解得：t1＝2，t2＝8，
∴点P的坐标为（0，2）或（0，8）；
当AP＝DP时，t2+16＝t2﹣10t+41，
解得：t＝，
∴点P的坐标为（0，）．
综上所述：在y轴上存在点P，使得△APD为等腰三角形，点P的坐标为（0，3）或（0，﹣3）或（0，2）或（0，8）或（0，）．
23．（1）【观察猜想】：如图①，点B、A、C在同一直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为 BC＝BD+CE ．
（2）【问题解决】：如图 ②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝8，AB＝4，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长．
（3）【拓展延伸】：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝8，AB＝4，DC＝DA，连接BD，求BD的长．
解：（1）【观察猜想】：
结论：BC＝BD+CE，理由是：
如图①，∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，
∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，
∴∠D＝∠EAC，
∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE，
∴△ADB≌△EAC（AAS），
∴BD＝AC，EC＝AB，
∴BC＝AB+AC＝BD+CE，
故答案为BC＝BD+CE；
（2）【问题解决】：
如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
由（1）同理得：△ABC≌△DEA，
∴DE＝AB＝4，AE＝BC＝8，
Rt△BDE中，BE＝12，
由勾股定理得：BD＝＝4；
（3）【拓展延伸】：
如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，
同理得：△CED≌△AFD，
∴CE＝AF，ED＝DF，
∵DE⊥BC于E，DF⊥AB，∠ABC＝90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∴DE＝BF，BE＝DF，
∴BE＝DE＝DF＝BF，
设AF＝x，DF＝y，
则，解得，
∴BF＝4+2＝6，DF＝6，
由勾股定理得：BD＝＝6．