重庆市部分校2023-2024学年高二下学期第二次月考（4月）数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知函数，则等于（ ）
A. 1B.
C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用求导法则结合导数定义求解即可.
【详解】由得，所以，
所以
故选：B
2. 已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案.
【详解】因为，所以，令，则，．
故选：C
3. 按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆期间继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作．该区设置有三个接种点位，市民可以随机选择去任何一个点位接种，同时每个点位备有北京科兴与成都生物两种灭活新冠疫苗供市民选择，且只能选择一种．那么在这期间该区有接种意愿的人，完成一次疫苗接种的安排方法共有（ ）
A. 5种B. 6种C. 8种D. 9种
【答案】B
【解析】
【分析】由分步乘法原理计算．
【详解】第一步选择接种点位，有3种选择；第二步选择疫苗，有2种选择，由乘法原理知，共有3x2=6种选择的安排方法．
故选：B．
4. 已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数求出切线的斜率，从而可求解.
【详解】由题知曲线和曲线在交点处有相同的切线，即斜率相等，
所以对于曲线，求导得，所以在点处的切线斜率为，
对于曲线，求导得，
所以，得，故B正确.
故选：B.
5. 已知函数，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得在上的单调性，进而求得的大小关系
【详解】，则，
则时，，单调递增，
又，则.
故选：A
6. 函数在区间上的（ ）
A. 最小值为0，最大值为
B. 最小值为0，最大值为
C. 最小值为，最大值为
D. 最小值为0，最大值为2
【答案】B
【解析】
【分析】先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上最小值和最大值.
【详解】，所以在区间上单调递增，
因此的最小值为，最大值为.
故选：B
7. 若函数在R上可导，且，则当时，下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数、，利用导数判断单调性再比较大小可得答案.
【详解】令，则，
由于的正负不确定，所以的正负不确定，不能判断的单调性，故AC错误；
令，由，则，所以为R上的单调递减函数，
因为，所以，即，故B错误D正确；
故选：D
8. 关于的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将关于的方程在区间上有三个不相等的实根，转化为，，的交点个数问题，然后利用数形结合求解.
【详解】令，，，
显然在函数没有三个公共点，
故，令，所以，故切点为，
代入得，当时，，所以函数过点，，
如图所示：
所以实数的取值范围是范围为.
故选：D
【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了转化化归，数形结合的思想方法，属于中档题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本初等函数导数公式及导数的运算法则计算可得；
【详解】解：，A错误，
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用，属于基础题.
10. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 函数在上为增函数B. 函数在上为增函数
C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值
【答案】AD
【解析】
【分析】结合的图象，分析的取值情况，即可得到的单调性与极值点.
【详解】由图可知当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
所以在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，
在上为增函数，故A正确，B错误，
则在处取得极大值，处取得极小值，
即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确.
故选：AD
11. 已知函数有两个零点，，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 在上单调递增
C. D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A．将问题转化为有两根，然后构造函数，根据的图象与的图象有两个交点求解出的取值范围；
B．先求解出的单调递增区间，然后判断出与的单调递增区间的关系，由此可完成判断；
C．考虑当时的取值情况，故的取值情况可分析出，由此作出判断；
D．根据与的大小关系结合的单调性判断出的取值范围，由此确定出与的大小关系.
【详解】令得，记
，令得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
且时，，，时，
据题意知的图象与的图象有两个交点，且交点的横坐标为，，
所以，故A选项正确；
因为
所以当时，，递增，
因为，所以，故B选项正确；
当时，，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以C选项错误；
因为在递增，在递减，且
所以，，
因为，所以
因为，所以
所以，故D选项正确
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图所示的按照下列要求涂色，若恰好用3种不同颜色给个区域涂色，且相邻区域不同色，共有__________种不同的涂色方案？
【答案】18
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算即得.
【详解】恰好用3种不同颜色涂四个区域，则区域或区域或区域必同色，
当同色时，有种，同理、分别同色时各有6种，
由分类加法计数原理得恰好用3种不同颜色涂四个区域共种不同涂色的方案.
故答案为：18
13. 已知函数满足，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.
【详解】函数的定义域为，求导得，
即函数在上单调递增，因此不等式，
解得或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14. 已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【详解】，由题意可得在有两个不等根，即
在有两个不等根，所以，解得，填
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为和，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）利用导数几何意义即可求得函数在处的切线方程；
（2）利用导数即可求得函数的单调区间．
【小问1详解】
，定义域，
函数在处的切线方程为即
【小问2详解】
由可得，解之得 或
由可得 ，解之得
所以的单调递增区间为和；
单调递减区间为
16. 4名男生和3名女生站成一排．
（1）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
（2）甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？
（3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【答案】（1）240种
（2）960种 （3）840种
【解析】
分析】（1）由特殊元素优先法，即可得到结果；
（2）由捆绑法即可得到结果；
（3）由倍缩法即可得到结果；
【小问1详解】
（种）
甲、乙两人必须站在两端的站法有240种．
【小问2详解】
（种）
甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有960种．
【小问3详解】
（种）
甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有840种．
17. 已知函数．
（1）若函数在处有极值，求的值；
（2）若函数在内单调递减，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数进行求导，结合在处的极值为列方程组，解方程组即可求得的值；
（2）将原问题转化为在上恒成立，结合参变分离思想即可求得b的取值范围.
【小问1详解】
由题意可知
或
当时，恒成立
不满足题意，舍去.
当时，
此时，在处取极大值.满是题意．
所以；
【小问2详解】
∵在上单调递减
在上恒成立
在上恒成立
，，.
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【小问1详解】
因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
19. 已知函数．
（1）当时，求函数的极值．
（2）若函数有两个零点，试判断的正负并证明．
【答案】（1），无极大值
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）先求导，再根据导数判断单调区间，则极值可求；
（2）首先将化为关于的表达式，再利用换元法令，构造新的函数，利用导数知识，结合a的取值范围即可判断的正负.
【小问1详解】
定义域为，
当时，，
由解得
由解得
在上单减，在上单增．
，无极大值
【小问2详解】
当时，；
当时，，证明如下：
函数的定义域是．
若，则．
令，则．
又据题设分析知，，所以．
又有两个零点，且都大于0，
所以不成立．
据题设知
不妨设．
所以．
所以．
又，
所以
引入，则．
所以在上单调道减，而，所以当时，．
易知，所以当时，；
当时，．
【点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、和零点间的关系，属于难题；
在处理含参数的函数的零点问题时，往往先利用换元法将双变量化为单变量，再分离参数，最后利用导数研究函数的单调性即可证明结论.