重庆市璧山来凤中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】，
故选：D.
2. 计算（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值直接进行计算即可.
【详解】因为，
故选：D.
3. 若角的终边过点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义即可求解.
【详解】设角的终边一点，
则，
由三角函数的定义可得： ，
故选：C.
4. 已知，，，则下列大小比较中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指对数的性质有，即可确定正确选项.
【详解】，
∴
故选：A.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分必要条件的性质，进行判断求解即可
【详解】成立；但是反之不成立，所以，“”是“”的必要不充分条件
故选：B
6. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】根据两个函数定义域相同且对应关系也相同，逐项判断即可．
【详解】由于函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故A错误；
由于的定义域为，函数且定义域为，所以与是同一函数，故B正确；
在函数中，，解得或，所以函数的定义域为，
在函数中，，解得，所以的定义域为，所以与不是同一函数，故C错误；
由于函数的定义域为，函数定义域为为，所以与不是同一函数，故D错误；
故选：B.
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式求得，再根据诱导公式即可得解.
【详解】解：因为，所以，
即，
所以.
故选：A.
8. 下列区间中，函数单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简，再求出的单调增区间，通过对赋值，可确定具体的单调增区间，再确定选项.
详解】由题知，，
由，，
得，.
所以函数的单调增区间为，.
令，有在上单调递增；
令，有在上单调递增；
令，有在上单调递增；
对于选项所给的区间，只有在区间内，其余的都不在的任何一个单调增区间内.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据选项逐个求解正弦值即可判断.
【详解】对于A，，符合题意；对于B，，不合题意；
对于C，，不合题意；对于D，，符合题意；
故选：AD
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递减D. 在上值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据余弦函数的周期公式可判断A;将代入验证的值，可判断B;根据余弦函数的性质可判断C;由可求得，结合余弦函数性质，判断D.
【详解】的最小正周期为，A正确;
的图象关于直线对称，B正确;
由于的图象是由函数向左平移个单位得到的，
故在上单调递减，在上单调递增，C错误.
因为，，在上的值域为，D正确，
故选：ABD
11. 已知函数的定义域为，且，，若，则（ ）
A. 是周期为4的周期函数
B. 的图像关于直线对称
C. 是偶函数
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法等并结合函数的奇偶性、对称性以及周期性一一分析即可.
【详解】对A，因为，所以，
所以，即，所以是周期为4的周期函数，则A正确.
对B，因为，所以，所以的图象关于直线对称，则B正确.
对C，因为，所以.令，得，则.
因为的图象关于直线对称，所以，则，从而不是偶函数，则C错误.
对D，由的对称性与周期性可得，
则，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题选项的关键是利用抽象函数的性质得到其周期性和对称性，对于D选项，利用赋值法得到相关函数值，再利用其对称性和周期性计算即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ___________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】逆用差角的正弦公式计算即得.
【详解】．
故答案为：
13. 屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长（外环半径与内环半径之差）为1.2m，则该扇环形屏风的面积为__________．
【答案】2.88
【解析】
【分析】利用扇形面积公式即可求得扇环的面积.
【详解】设扇形的圆心角为，内环半径为，外环半径为，则，
由题意可知，所以，
所以该扇环形屏风的面积为：
.
故答案为：2.88.
14. 已知正方形边长为两点分别为边上动点，，则的周长为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】设，，用表示出，由勾股定理求出即可求出周长.
【详解】如图所示，设，，
所以，即，
由题意可得，，
所以，，
所以，
所以的周长为，
故答案为：4
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知，求的值；
（2）求的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）在目标式中，将弦化切求值即可；
（2）由及和角正切公式，即可求值.
【详解】（1）因为，所以；
（2）∵，
∴，
∴．
16. 已知
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简；
（2）由，可求得和，可得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
若是第三象限角，且，有
则，，
所以.
17. 已知.
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将直接代入解析式求解即可；
（2）利用二倍角和辅助角公式化简可得，利用正弦型函数单调区间的求解方法直接求解即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
，
令，解得：，
的单调递增区间为.
18. 已知函数．
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设，且，求的值．
【答案】（I）（II），或
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）使正切函数有意义，需满足，解不等式得定义域；（Ⅱ）将代入得，将切化弦结合诱导公式得，等价于，或，结合的范围可得结果．
试题解析：（Ⅰ）由，得，．
所以 函数的定义域是．
（Ⅱ）依题意，得，所以，
整理得，所以，或．
因为 ，所以，由，得，；由，得，，所以，或．
19. 已知函数，．
（1）若的最小值为，求实数的值；
（2）当时，若，，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意通过换元法，转换为定区间动轴的二次函数最值问题，对对称轴位置分类讨论即可求解.
（2）由题意首先将原问题转换为在恒成立，进一步在恒成立．通过换元法求得即可.
【小问1详解】
函数，
令，，所以，，
①当，即时，，解得，
②当，即时，（舍去）．
综上所述，实数的值为．
【小问2详解】
当时，对，，都有成立，
则．
由（1）可知时，，
所以．
则在恒成立，
即在恒成立，
则在恒成立．
令，，则，
因为在单调递增，所以，
所以，
所以，
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】关键点睛：第一问的关键是转换为二次函数最值求参数，第二问的关键是分离参数与换元法有机结合，由此即可顺利得解.