内蒙古名校联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

这是一份内蒙古名校联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，在中，角所对的边分别是，且，则，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占20%，必修第二册第六章至第七章占80%。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知是平面内的一个基底，则可以与向量构成平面另一个基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在矩形中，是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，角所对的边分别是，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ）
A．30米B．米C．米D．米
8．已知是正六边形边上任意一点，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则三点共线
B．若，则线段的中点坐标为
C．对于向量，有
D．对于向量，有
10．已知函数的部分图象如图所示，为的图象与轴的交点，为图象上的最高点，是边长为1的等边三角形，，则（ ）
A．
B．直线是图象的一条对称轴
C．的单调递增区间为
D．的单调递减区间为
11．对任意两个非零的平面向量和，定义：；．若平面向量满足，且和都在集合中，则的值可能为（ ）
A．1B．C．D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．已知平面向量，若，则___________．
13．已知，函数是奇函数，则___________，___________．
14．在中，是的外心，，则的取值范围为___________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知复数满足．
（1）求；
（2）若复数的虚部为1，且是实数，求．
16．（15分）
如图，在平面四边形中，的面积为．
（1）求；
（2）若，求．
17．（15分）
已知函数．
（1）求的定义域；
（2）求的单调区间；
（3）求不等式的解集．
18．（17分）
某时刻，船只甲在处以每小时30海里的速度向正东方向行驶，与此同时，在处南偏东方向距离甲150海里的处，有一艘补给船同时出发，准备与甲会合．
（1）若要使得两船同时到达会合点时，补给船行驶的路程最短，补给船应沿何种路线，以多大的速度行驶？
（2）要使补给船能追上甲，该补给船的速度最小为多少？当该补给船以最小速度行驶时，要多长时间追上甲？
（参考数据：取）
19．（17分）
在平面直角坐标系中，已知点．
（1）①证明：．
②证明存在点，使得，并求出的坐标．
（2）若点在四边形的四条边上运动，且将四边形分成周长相等的两部分，求点的坐标．
高一数学考试参考答案
1．A ．
2．D ，在复平面内对应的点位于第四象限．
3．C 向量与向量平行，不能构成空间的一个基底．
4．A ．
5．B 因为，所以，所以（舍去）或，所以．
6．D 因为，所以．
故在上的投影向量为．
7．A 设该塔的高度为米，则．在中，，则，解得（舍去）．
8．B 设正六边形的中心为，．因为，所以．
9．ABD 若，则，所以，三点共线，A正确．若，则线段的中点坐标为，B正确．当向量的夹角大于时，，C错误．，D正确．
10．BD 的最小正周期为2，所以，即，又，所以．
因为，所以，则，即．
所以，直线是图象的一条对称轴，的单调递增区间为，单调递减区间为．故选BD．
11．AC ．设向量和的夹角为，则．
因为，所以，所以，所以，故．
当时，，又，所以，符合题意，
当时，，又，所以，符合题意．
所以或．
12．因为，所以，解得．
13．由，解得，所以，所以1，解得．
14． 在中，由正弦定理得，所以．
，解得，所以，即的取值范围为．
15．解：（1）．
（2）复数的虚部为1，设，
则．
因为是实数，所以，解得，
所以．
16．解：（1），
解得．
在中，由余弦定理得，
所以．
（2）在中，由正弦定理得，
解得．
．
17．解：（1）由，解得，
所以的定义域为．
（2）因为函数在上单调递增，在上单调递减，函数为减函数，所以在上单调递减，在上单调递增．
（3）因为，所以为偶函数．
因为，所以
解得，
故原不等式的解集是．
18．解：（1）假设甲行驶的路线为，过作的垂线，点到的最短距离为．要使补给船行驶的路程最短，补给船需沿正北方向，即方向行驶．
，
甲行驶到处所需时间为小时．
补给船行驶的速度为海里/小时．
故要使得两船同时到达会合点时，补给船行驶的路程最短，补给船应沿正北方向，以22.5海里小时的速度行驶．
（2）设补给船以海里/小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与甲在处会合．
在中，．
由余弦定理得，
所以，
即．
当，即时，取得最小值324，即，
所以补给船至少以18海里/小时的速度行驶才能追上甲．当补给船以最小速度行驶时，要6.25小时追上甲．
19．（1）证明：①因为，
所以，
得，
，
所以．
（2）由知，点为四边形外接圆的圆心．
因为，所以，
所以，四边形外接圆的圆心为的中点，
所以点的坐标为．
（2）解：易得．
因为将四边形分成周长相等的两部分，
所以．
设点的坐标为，则，
所以则
故点的坐标为．