四川省眉山市仁寿县仁寿实验中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑．
1. 在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意直接利用二次根式有意义条件得出x的取值范围进而得出答案．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
则1-x≥0，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算法则可以计算出各个选项中的正确结果，从而可以判断哪个选项中的式子是正确的．
【详解】解：A、＝2-＝，故选项A错误，不符合题意；
B、2与不是同类二次根式，不能运算，故选项B错误，不符合题意；
C、（1+）2＝1+2+2＝3+2，故选项C错误，不符合题意；
D、÷＝＝2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况，当时，一元二次方程有两个实数根，据此求出的取值范围即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
故选：B．
4. “射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）
A. 确定事件B. 必然事件C. 不可能事件D. 不确定事件
【答案】D
【解析】
【详解】“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选D
【点睛】本题考查了随机事件的概念，解决此题的关键是熟练的掌握此概念．
5. 某口罩厂十月份的口罩产量为万只，由于疫情得到控制，市场需求量减少，十二月份的产量减少到万只，设该厂十一、十二月份的口罩产量的月平均减少率为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该厂十一、十二月份的口罩产量的月平均减少率为，列出一元二次方程即可求解．
【详解】解：该厂十一、十二月份的口罩产量的月平均减少率为，依题意得，
，
故选：A．
6. 抛物线y＝x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为【 】
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”确定解析式变化是解题的关键
【详解】抛物线y＝x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为，
故选D.
【点睛】此题主要考查了二次函数平移变换，正确记忆平移规律是解题关键．
7. 如图，已知在，为上一点，连结，不能判断的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形相似的判定方法分析判断，注意角、边的对应．
【详解】A. 由，，可得；本选项不合题意；
B. 由，，可得；本选项不合题意；
C. 由，，可得；本选项不合题意；
D. ，不能得证；本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
8. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出，根据位似图形的概念得到EF∥AB，FG∥BC，进而得出△OEF∽△OAB，△OGF∽△OCB，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵,
∴，
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，
∴EF∥AB，FG∥BC，
∴△OEF∽△OAB，△OGF∽△OCB，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
9. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则的值为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用直角三角形斜边与中线的关系先求出斜边的长，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的边角间关系求出∠A的正弦值．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝5．
∴BC＝
＝
＝4．
∴sinA＝
＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”．
10. 如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A. B. 7C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
11. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，它的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．且，则下列结论不正确的是( )

A. B. 图象的顶点坐标D为(1,-4)
C. 当或时，函数值D. 当时，随的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查二次函数的图象与性质，由抛物线过，抛物线的对称轴为直线，写出的坐标，再由交点式写出解析式逐项判断即可得答案．
【详解】解：，抛物线的对称轴为直线，
点，
抛物线的表达式为：，
，故A选项不符合题意；
，
顶点的坐标为，故B选项不符合题意；
，，
观察函数图象，可得当或时，函数值，故C选项符合题意；
抛物线对称轴为直线，开口向上
当时，随的增大而增大，
而当时，随的增大而先减小后增大，故D选项符合题意．
故选：D．
12. 如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为和，其中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征；首先根据抛物线的开口方向得到，抛物线交轴于正半轴，则，而抛物线与轴的交点中，，，说明抛物线的对称轴在和轴之间，即，根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断
【详解】由图知：抛物线的开口向下，则；抛物线的对称轴，且．
①由图可得：当时，，即，故①正确；
②已知，且，所以，故②正确；
③由于抛物线的对称轴，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于，即 ，由于，所以，即，故③正确；
④，，则，抛物线与轴交于正半轴，则
，故④正确，
故选D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．
13. 若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练的利用设参数的方法是解答本题的关键．设，，即可求解的值．
【详解】解：∵，
设，，
则
故答案为．
14. 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的定义和性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与定义，熟知对于二次函数当时，二次函数图象开口向下是解题的关键．
15. 如图是边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，连结AE，作EF⊥AE交CD于F，则CF=________.
【答案】1
【解析】
【分析】证明△ABE∽△ECF，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°
∵AE⊥EF
∴∠AEF=90°
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°
∴∠BAE=∠FEC
∴△ABE∽△ECF
∴
∵AB=2BE=2EC=4
∴BE=EC=2
∴CF=1
故答案为：1
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是选择合适的相似三角形．
16. 已知，是方程的两根，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，
∴
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键．
17. 在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，连接，证明，进而根据余弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴
∴
故答案为：．
18. 如图，在矩形中，是边的中点，于点，于，连接，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有____________________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质；根据矩形的性质得到，，，利用，可判断，则可对①进行判断；通过证明，则利用平行线分线段成比例得到则可对②进行判断；利用得到，所以，于是得到垂直平分，则可对③进行判断；设的面积为，利用三角形面积公式得到，然后利用得到，所以，则，于是可对④进行判断．
【详解】解：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
，所以①正确；
，，
，
，
而是边的中点，
，
，所以②正确；
，，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，所以③正确；
设的面积为，则，
，
，
：：，
即，
：：，
．所以④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，分别根据负整数指数幂的定义，特殊角的三角函数值，以及二次根式的性质计算即可．
【详解】解：
20. 已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．
①不解方程，判别方程根的情况；
②若方程有一个根为﹣1，求m的值．
【答案】①此方程有两个不相等的实数根；②m＝0或m＝2
【解析】
【分析】①根据判别式Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4＞0可得答案；
②将x＝﹣1代入方程求解即可．
【详解】解：①∵△＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
②将x＝﹣1代入方程，得：1﹣2m+m2﹣1＝0，
整理，得：m2﹣2m＝0，
解得m＝0或m＝2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了方程的解和解方程的能力．
21. 如图，相交于点E，且，

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由，可得，进而结论得证；
（2）由相似可得，即，求的长，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，即，解得，
∴，
∴的长为．
22. 某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别：A.1~2本，B.3~4本，C.5~6本，D.6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：
学生假期阅读量条形统计图 学生假期阅读量扇形统计图

（1）本次调查的学生共有_____人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是______．
（2）请补全条形统计图；
（3）在阅读量为D类别的4名学生中有正好有2名男生和2名女生，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）50，；
（2）图见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）用C类别的人数除以其所占的百分比可求得本次调查总人数，用乘以B类别人数所占比例可求解；
（2）由调查总人数减去已知组类别的人数求出A类别的人数，进而补全条形统计图即可；
（3）利用列表法求得所有等可能的结果总数，再找出符合条件的结果，进而利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本题调查的学生人数为（人），
B所对应的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：50，；
【小问2详解】
解：A类别人数：（人），补全条形统计图如图所示；
【小问3详解】
解：设两名男生为，，两名女生为，，根据题意，列表如下：
由表格可知：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，所以恰好是1名男生和1名女生的概率为.
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用列表法或树状图法求概率，理解题意，能从统计图中获取所需信息是解答的关键．
23. 在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．(点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号)
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用：仰角俯角、坡度坡角问题，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，依据题意得：，，设米，则米，在中，利用勾股定理求出、的长．再设米，则米，最后分别在和中利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程即可求解．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
依据题意得：，，
坡长米，坡度，
，
设米，则米，
在中，
(米)，
，解得：，
米，则米，
设米，
米，
在中，，
(米)，
在中，，
米，
，
，
解得：，
(米)，
旗杆的高度为米．
24. 某商店将进价为元的商品按每件元售出，每天可售出件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高元，其销售量就减少件，问：
（1）应将商品应涨价多少元，才能使每天的利润为元？
（2）店主想要每天获得最大利润，请帮助店主确定商品应涨价多少元，并指出的最大利润为多少元？
【答案】（1）将商品应涨价元或元时，能使每天利润为元
（2）当商品应涨价元时，获得最大利润；最大利润为元
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用；
（1）根据等量关系“利润售价进价销量”列出函数关系式．
（2）根据（1）中的函数关系式求得利润最大值．
【小问1详解】
解：设每件涨价为元时，才能使每天利润为元，
，
解得：，．
答：将商品应涨价元或元时，能使每天利润为元．
【小问2详解】
解：设利润为：
则
，
当商品应涨价元时，获得最大利润；最大利润为元．
25. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，从而可知∠CBG=∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG=DE；
（2）先判断出AB=2CG，再判断出△CHG∽△AHB，即可得出结论；
（3）设CG=DG=a，则BC=2a，BG=a，再判断出△BCG∽△DFG，得出，即可得出GF=a，由（2）知，HG=BG=a，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∵BF⊥DF，
∴∠BFD=90°=∠BCD，
∴∠CBG=∠CDE，
在△BCG和△DCE中，，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG=DE；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ABCD，AB=CD，
∴点GCD中点，
∴AB=CD=2CG，
∵ABCD，
∴△CHG∽△AHB，
∴，
∴=；
【小问3详解】
解：设CG=DG=a，则BC=2a，由勾股定理得：BG=a，
∵∠BCG=∠DFG=90°，∠BGC=∠DGF，
∴△BCG∽△DFG，
∴，
∴，GF=a，
由（2）知，HG=BG=a，
∴．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出两对相似三角形．
26. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点是轴上一点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图，点是抛物线上且在直线上方的一个动点，试求出面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）或或或
（3），
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，面积问题，等腰三角形性质；
（1）把、坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）分，，三种情况分别求解即可；
（3）先求得直线的解析式为，过点作轴的平行线交于点，设点，则，进而表示出面积，根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线交轴于点和点，交轴于点
∴
解得：
∴二次函数表达式为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
设
①当时，则
∴或
②当时，
解得：或（舍去）
∴，
③当时，
解得：，
∴，
综上所述，或或或
【小问3详解】
解：设直线的解析式为，将点，代入，
解得：
∴直线的解析式为，
过点作轴的平行线交于点，
设点，则，
则，
，
当时，面积取得最大值为：，
则．
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）