山东省潍坊市诸城繁华中学2023-2024学年高二下学期4月阶段检测数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知等差数列中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出等差数列的公差，即可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，则，
故.
故选：B.
2. 已知等比数列，则数列的前10项和为（ ）
A. 55B. 110C. 511D. 1023
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件求得公比，再利用等比数列前项和公式，即可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，前项和，则，
故.
故选：D.
3. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. 20B. 28C. 32D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】利用计算即可.
【详解】易知.
故选：A
4. 设随机变量，且，则（ ）
A. 0.75B. 0.5C. 0.3D. 0.25
【答案】D
【解析】
【分析】利用对立事件的意义，结合正态分布列式计算即得.
【详解】随机变量，显然，
而，所以.
故选：D
5. 已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A. 14B. 12C. 6D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
6. 中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里．”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可求得的值，即为所求.
【详解】设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以该马七天所走的里程为，解得，
故该马第五天行走的里程数为．
故选：C．
7. 排球比赛的规则是局胜制（局比赛中，优先取得局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，乙队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前局中甲队以领先，则最后甲队获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，事件“最后甲队获胜”的对立事件为，即最后3局均为乙队获胜，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意事件“最后甲队获胜”的对立事件为，即最后3局均为乙队获胜，
由独立事件的概率公式可得，
因此，则最后甲队获胜的概率是.
故选：D.
8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据“冰霓猜想”结合递推关系式，可发现从开始进入循环，利用规律求解判断.
【详解】由题意可得，，，，，，，，，…，按照此规律下去，
可得，，，，
令，解得，.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列的首项为4B.
C. D. 数列的公比为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据两个数列的基本量运算，易于判断选项.
【详解】对于A项，设的公差为，由可得不能确定的值，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C，D两项，设的公比为，由可得：则于是故C项正确；D项也正确.
故选：BCD.
10. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若变量与之间相关系数，则与正相关
B. 由样本数据得到的线性回归方程必过点
C. 已知，，则
D. 已知随机变量，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由相关系数符号意义即可判断，对于B，由回归直线的特点即可判断，对于C，由条件概率即可验算，对于D，由二项分布均值公式即可验算.
【详解】对于A，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故A正确；
对于B，回归直线方程必过样本点的中心，故B正确；
对于C，已知，，则，故C错误；
对于D，已知随机变量，则，故D正确.
故选：ABD.
11. 随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，机器人从点出发，记机器人执行次程序后，仍回到点的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 时，有
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，易得，故A错误；对于B，首先要理解是指执行第次程序后仍回到点的概率，在考虑时，必须是在执行第次程序后没有回到点的情况，即机器人在第次程序应在点或点，其概率为，而下一次有的概率回到点，故有大于等于2时，有，即得B项；对于数列递推式，采用凑项法构造等比数列即可求得通项，得C项，验证数列第7项即得D项.
【详解】对于A选项，机器人第一次执行程序后，来到或点，故，第二次执行程序后，有的概率回到点，故故A项错误；
对于选项，为执行第次程序后仍回到点概率，要想执行次程序后仍回到点，则执行第次程序后应在或点，
且下一次有的概率回到点，故当大于等于2时，有，即，故B项正确；
由选项知，即，设，对比系数，可得，
于是，又，所以是首项为，公比为等比数列，
故，故项正确；
对于C选项，由项可得，故C项正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查运用如何运用递推数列为常数）解决实际问题,属于难题.
解决问题的关键在于通过数列前几项的计算了解数列的项之间的关系，探索总结出数列的递推关系，再利用凑项构造等比数列，实现数学建模解决实际问题的目的.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知等差数列的前项和分别为，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用计算可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以，故.
故答案为：.
13. 在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则________，________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】根据已知条件，可知X服从二项分布，由二项分布的期望公式可求出m，进而可得.
【详解】由题意知．
因为，所以，解得，
所以．
故答案为：；.
14. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先得出递推公式，并用叠加法求出通项公式，再用基本不等式求最小值.
【详解】数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21，
依题知，，，，，
叠加可得：，
整理得，
当，，满足，
所以，
所以，
当且仅当时，即，时等号成立，
又，所以等号取不到，所以最小值在时取得，
当时，，所以最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的首项.
（1）若数列满足，证明：数列是等比数列；
（2）若数列是以3为公比的等比数列，证明：数列是等差数列.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证，
（2）根据等差数列的定义即可求证，
【小问1详解】
证明：当 时，为常数，所以数列是等比数列
【小问2详解】
证明：由于数列是以3为公比的等比数列，所以，
为常数，
所以数列是等差数列
16. 2024年3月4日，丰城市农业局在市委组织下召开推进湖塘-董家富硒梨产业高质量发展专题会议，安排部署加快推进特色优势产业富硒梨高质量发展工作，集中资源、力量打造“富硒梨”公共品牌.丰城市为做好富硒梨产业的高质量发展，项目组统计了某果场近5年富硒梨产业综合总产值的各项数据如下：年份x，综合产值y（单位：万元）
（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；
（2）求出y关于x的经验回归方程，并预测2024年底该果场富硒梨产业的综合总产值.
参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：；
参考数据：
【答案】（1）说明见解析
（2），175.64万元
【解析】
【分析】（1）首先算出，进一步分别算出，由此即可求得相关系数，进一步即可说明；
（2）依次求出的值即可得回归方程，进一步代入即可预测.
【小问1详解】
由题设，
则，，，
所以，两个变量有强相关性，
故可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间线性相关关系.
【小问2详解】
由（1），，，
所以，
当，则万元.
17. 已知等比数列的公比为，前n项和为，，且是与的等差中项.
（1）求的通项公式；
（2）设，的前n项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据等差中项的性质，结合等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行证明即可.
【详解】解：（1）∵是与的等差中项
∴
∴
∴或q=1(舍去）
∵∴∴ ∴
（2）由（1）得
∴ .
18. 已知等差数列的前项和为，，、、成等比数列，数列的前项和为，且.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列中项公式与等差数列的通项公式求得，从而求得；利用与的关系，分类讨论推得是等比数列，从而得解；
（2）利用错位相减法即可得解.
【小问1详解】
依题意，设等差数列的公差为，
因为、、成等比数列，所以，又，
即，整理可得，解得，
故，
因为，
当时，，
两式相减，得，即，
又时，，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故.
【小问2详解】
由（1）得，
故，
则,
两式相减得
，
故
19. 某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为，罚不进的概率为，每次罚球相互独立．
（1）若该队员罚点球4次，记积分为，求的分布列与数学期望；
（2）记点球积分的概率为．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；
（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根据题意可取，分别求出相应的概率，列出分布列，求出期望.
（2）（ⅰ）根据题意可求出，（ⅱ）要得分，分先得分再点1个球不进，或者先得分再点1个球进球时的概率，因这两种情况互斥，从而可求出为等比数列，再利用累加法从而可求解.
【小问1详解】
由题意得，的所有可能取值为4，5，6，7，8，
，
，
的分布列为
．
【小问2详解】
（ⅰ）由题意得，．
（ⅱ）由题意得，要得分，必须满足以下情形：先得分，再点1个球不进，此时概率为，
或先得分，再点1个球进球，此时概率为，
这两种情况互斥，，
是首项为，公比为的等比数列，
，
，
．
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
综合产值
23.1
37.0
62.1
111.6
150.8
4
5
6
7
8