2020-2021学年北京市十一学校七年级（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市十一学校七年级（上）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题，创新题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．数轴上每一个点都表示一个有理数
B．任何正数都大于它的倒数
C．10.30200有7个有效数字
D．两个数的差一定小于两个数的和
2．（3分）如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数（ ）
A．都是负数
B．都是正数
C．一正一负，且负数的绝对值大
D．一正一负，且正数的绝对值大
3．（3分）在1，2，3，…，99，100这100个数中，任意加上“+”或“﹣”，相加后的结果一定是（ ）
A．奇数B．偶数C．0D．不确定
4．（3分）多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）
A．①④B．①②C．③④D．②③
5．（3分）如果a，b，c满足a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣6c+9＝0，则abc等于（ ）
A．9B．27C．54D．81
6．（3分）下列计算不正确的是（ ）
A．4a2÷2a2＝2a2B．﹣（﹣a2）3＝a6
C．（﹣2a）（﹣a）＝2a2D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2
二、填空题（每题3分，共21分）
7．（3分）已知|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，且a＞b＞c，那么a﹣2b+c＝ ．
8．（3分）现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…，则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为 ．
9．（3分）如图，若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点 或点 ．（填“A”、“B”“C”或“D”）
10．（3分）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是 ．
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）已知a2﹣4a﹣1＝0．则a3﹣＝ ．
13．（3分）下列有四个结论．其中正确的是 ．
①若（x﹣1）x+1＝1，则x只能是2；
②若（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝1；
③若a+b＝10，ab＝2，则a﹣b＝2；
④若4x＝a，8y＝b，则23y﹣2x可表示．
三、计算题（每题3分，共30分）
14．（3分）[﹣1﹣（﹣）2]×（﹣1）3÷（﹣1）×2．
15．（3分）÷|﹣（﹣1+）|+|﹣5|×（÷[﹣（2）3]）×（﹣）．
16．（3分）（﹣2x）2•x•（﹣2y）3÷3x2y2﹣（﹣8x2y）2（﹣x）﹣1y÷（﹣2xy）2．
17．（3分）（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b）．
18．（3分）（x﹣2y）3﹣（x2﹣2xy+4y2）（x+2y）．
19．（3分）（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2﹣4ab．
20．（3分）分解因式：6x4﹣5x3﹣4x2．
21．（3分）因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．
22．（3分）m2﹣13m+12．
23．（3分）（x2+4xy+3y2）（4x2+20xy+21y2）﹣15y4．
四、解答题（每题5分，共25分）
24．（5分）已知多项式3x4﹣5x3+x2+2被x2+3除余式是ax+b，求a﹣b的值，并将商式因式分解．
25．（5分）已知多项式2x2﹣bx+c，甲同学看错了常数项，分解因式为2（x﹣3）（x+2），乙同学看错了一次项系数，分解因式为2（x﹣3）（x+4），请求出正确的因式分解．
26．（5分）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）
27．（5分）已知x+y+z＝3．x、y、z不全相等，求的值．
28．（5分）已知整数a、b、c满足不等式a2+b2+c2+42＜ab+9b+8c，求c（ca÷cb）的值．
五、创新题（本题6分）
29．（6分）对任意一个正整数m，如果m＝k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．
（1）请判断110，1560为“矩数”吗？如果是，请求出最佳拆分点，如果不是，请说明理由．
（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．若“矩数”p的最佳拆分
点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．当D（p，q）＝8时，求的最大值．
2020-2021学年北京市十一学校七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共18分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．数轴上每一个点都表示一个有理数
B．任何正数都大于它的倒数
C．10.30200有7个有效数字
D．两个数的差一定小于两个数的和
【分析】根据数轴的概念、倒数的概念、有效数字的概念从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．及有理数加法的运算法则逐项进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A、数轴上每一个点都表示一个实数，故A选项错误；
B、因为1的倒数是1，故B选项错误；
C、根据有效数字概念，所以10.30200的有效数字有7个，故C选项正确；
D、因为﹣1﹣（﹣2）＝1，﹣1+（﹣2）＝﹣3，1＞（﹣3），故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了数轴的概念、倒数的概念、有效数字的概念及有理数加法的运算，合理应用概念进行判断和计算是解决本题的关键．
2．（3分）如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数（ ）
A．都是负数
B．都是正数
C．一正一负，且负数的绝对值大
D．一正一负，且正数的绝对值大
【分析】两个数的积为负数说明这两数异号，和也为负数说明这两数中负数的绝对值大．
【解答】解：∵两个数的积为负数，
∴这两数异号；
又∵和也为负数，
∴这两数中负数的绝对值较大．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的加法与乘法的符号法则．
两数相乘，异号得负；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号．
3．（3分）在1，2，3，…，99，100这100个数中，任意加上“+”或“﹣”，相加后的结果一定是（ ）
A．奇数B．偶数C．0D．不确定
【分析】认真审题不难发现：这从1到100一共100个数，其中50个奇数、50个偶数，所以任意加上“+”或“﹣”，相加后的结果一定是偶数．
【解答】解：这从1到100一共100个数，相邻两个数之和或之差都为奇数，
所以可以得到50组奇数，这50组奇数相加一定为偶数．
故选：B．
【点评】认真审题，找出规律，是解决此类问题的关键所在．
4．（3分）多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）
A．①④B．①②C．③④D．②③
【分析】根据提公因式法和完全平方公式把各选项的多项式分解因式，然后再找出结果中含有相同因式的即可．
【解答】解：①2x2﹣x＝x（2x﹣1）；
②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4＝（x﹣3）2；
③（x+1）2﹣4x（x+1）+4无法分解因式；
④﹣4x2﹣1+4x＝﹣（4x2﹣4x+1）＝﹣（2x﹣1）2．
所以分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④．
故选：A．
【点评】本题主要考查了提公因式分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构是求解的关键．
5．（3分）如果a，b，c满足a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣6c+9＝0，则abc等于（ ）
A．9B．27C．54D．81
【分析】把a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣6c+9通过拆分重新组合成完全平方式的和的形式，写成非负数之和等于0的形式，即可求解．
【解答】解：a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣6c+9，
＝（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（c2﹣6c+9），
＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣3）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，（c﹣3）2＝0，
∴a＝b，b＝c，c＝3，即a＝b＝c＝3．
∴abc＝27．
故选：B．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构，把多项式利用完全平方公式写成平方和的形式是解题的关键．
6．（3分）下列计算不正确的是（ ）
A．4a2÷2a2＝2a2B．﹣（﹣a2）3＝a6
C．（﹣2a）（﹣a）＝2a2D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2
【分析】直接利用整式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、4a2÷2a2＝2，错误，符合题意；
B、﹣（﹣a2）3＝a6，正确，不合题意；
C、（﹣2a）（﹣a）＝2a2，正确，不合题意；
D、（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，正确，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二、填空题（每题3分，共21分）
7．（3分）已知|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，且a＞b＞c，那么a﹣2b+c＝ 0或4 ．
【分析】根据题意，可得：a＝±2，b＝﹣3，c＝﹣4，据此求出a﹣2b+c的值是多少即可．
【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，且a＞b＞c，
∴a＝±2，b＝﹣3，c＝﹣4，
∴a﹣2b+c＝﹣2﹣2×（﹣3）+（﹣4）＝0或a﹣2b+c＝2﹣2×（﹣3）+（﹣4）＝4．
故答案为：0或4．
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
8．（3分）现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…，则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为 1.1111111×1017 ．
【分析】利用平方差公式分别计算出前面三个式子的值，并用科学记数法表示，再找出10的指数与序号数的关系，然后写出第⑧个式子的计算结果．
【解答】解：①552﹣452＝（55+45）（55﹣45）＝100×10＝103；
②5552﹣4452＝（555+445）（555﹣445）＝1000×110＝1.1×105；
③55552﹣44452＝（5555+4445）（5555﹣4445）＝10000×1110＝1.11×107；
所以第⑧个式子的计算结果为1.1111111×1017．
故答案为1.1111111×1017．
【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．也考查了规律型问题的解决方法和科学记数法．
9．（3分）如图，若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点 C 或点 D ．（填“A”、“B”“C”或“D”）
【分析】根据数轴的特点及绝对值的定义，分三种情况进行讨论．
【解答】解：由图示知，b﹣a＝4，
①当a＞0，b＞0时，由题意可得|a|＝3|b|，即a＝3b，解得a＝﹣6，b＝﹣2，舍去；
②当a＜0，b＜0时，由题意可得|a|＝3|b|，即a＝3b，解得a＝﹣6，b＝﹣2，故数轴的原点在D点；
③当a＜0，b＞0时，由题意可得|a|＝3|b|，即﹣a＝3b，解得a＝﹣3，b＝1，故数轴的原点在C点；
综上可得，数轴的原点在C点或D点．
故填C、D．
【点评】本题考查的是数轴的特点及绝对值的定义，注意不要漏解．
10．（3分）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是 a≤7 ．
【分析】数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．
【解答】解：数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．
画数轴易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x 到﹣3，﹣1，1，2这四个点的距离之和．
令y＝|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3时，y＝11，
x＝﹣1时，y＝7，
x＝1时，y＝7，
x＝2时，y＝9，
可以观察知：当﹣1≤x≤1时，由于四点分列在x两边，恒有y＝7，
当﹣3≤x＜﹣1时，7＜y≤11，
当x＜﹣3时，y＞11，
当1≤x＜2时，7≤y＜9，
当x≥2时，y≥9，
综合以上：y≥7 所以：a≤7
即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7对一切实数x恒成立．
从而a的取值范围为a≤7．
【点评】本题考查绝对值，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11．（3分）计算：＝ ．
【分析】先将分子、分母的前面两项提取公因式20042，将原式变形为，再将分子、分母分别提取公因式，得到原式＝，然后约分即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
故答案为．
【点评】本题考查了约分的定义及求法．约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
12．（3分）已知a2﹣4a﹣1＝0．则a3﹣＝ 76 ．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵a2﹣4a﹣1＝0，且a≠0，
∴a﹣4﹣＝0，
∴a﹣＝4，
∴a2+﹣2＝16，
∴a2+＝18．
∴a3﹣＝（a﹣）（a2+1+）
＝4×19
＝76．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型．
13．（3分）下列有四个结论．其中正确的是 ②④ ．
①若（x﹣1）x+1＝1，则x只能是2；
②若（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝1；
③若a+b＝10，ab＝2，则a﹣b＝2；
④若4x＝a，8y＝b，则23y﹣2x可表示．
【分析】根据多项式乘多项式、幂的乘方、同底数幂除法、零指数幂等逐一进行计算即可．
【解答】解：①若（x﹣1）x+1＝1，则x是2或﹣1．故①错误；
②若（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，
∵（x﹣1）（x2+ax+1）＝x3+（a﹣1）x2+（1﹣a）x﹣1，
∴a﹣1＝0，解得a＝1，故②正确；
③若a+b＝10，ab＝2，
∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝100﹣8＝92，
则a﹣b＝±2，故③错误；
④若4x＝a，8y＝b，则23y﹣2x＝（23）y÷（22）x＝8y÷4x＝．故④正确．
所以其中正确的是②④．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了多项式乘多项式、幂的乘方、同底数幂除法、零指数幂，解决本题的关键是综合运用以上知识．
三、计算题（每题3分，共30分）
14．（3分）[﹣1﹣（﹣）2]×（﹣1）3÷（﹣1）×2．
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解：[﹣1﹣（﹣）2]×（﹣1）3÷（﹣1）×2
＝[﹣1﹣]×（﹣1）÷（﹣）×2
＝﹣×（﹣1）×（﹣）×2
＝﹣．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
15．（3分）÷|﹣（﹣1+）|+|﹣5|×（÷[﹣（2）3]）×（﹣）．
【分析】根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝﹣÷|+1﹣|+5×[﹣÷（﹣8）]×（﹣）
＝﹣÷+5××（﹣）
＝﹣﹣
＝﹣．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握负整数指数幂、绝对值性质及有理数的混合运算顺序和运算法则．
16．（3分）（﹣2x）2•x•（﹣2y）3÷3x2y2﹣（﹣8x2y）2（﹣x）﹣1y÷（﹣2xy）2．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝4x2•x•（﹣8y3）÷3x2y2﹣（64x4y2）••y÷（4x2y2）
＝﹣32x3y3÷3x2y2+64x3y3÷（4x2y2）
＝﹣xy+16xy
＝xy．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
17．（3分）（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b）．
【分析】去括号、合并同类项即可得出答案．
【解答】解：（3a﹣b）（a+b）+（2a+3b）（2a﹣7b）
＝3a2+3ab﹣ab﹣b2+4a2﹣14ab+6ab﹣21b2
＝7a2﹣6ab﹣22b2．
【点评】本题考查多项式乘以多项式，掌握计算方法是正确解答的关键．
18．（3分）（x﹣2y）3﹣（x2﹣2xy+4y2）（x+2y）．
【分析】根据多项式乘多项式的法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：（x﹣2y）3﹣（x2﹣2xy+4y2）（x+2y）
＝（x﹣2y）3﹣（x3+8y3）
＝x3﹣6x2y+12xy2﹣8y3﹣x3﹣8y3
＝﹣6x2y+12xy2﹣16y3．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．
19．（3分）（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣2b）2﹣4ab．
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后去括号后合并即可．
【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣（a2﹣4ab+4b2）﹣4ab
＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2﹣4ab
＝﹣8b2．
【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．也考查了完全平方公式．
20．（3分）分解因式：6x4﹣5x3﹣4x2．
【分析】直接提取公因式x2，再利用十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：6x4﹣5x3﹣4x2
＝x2（6x2﹣5x﹣4）
＝x2（2x+1）（3x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法、十字相乘法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
21．（3分）因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．
【分析】先利用分组分解法分解，再分别利用公式法和提取公因式法分解即可得出答案．
【解答】解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6
＝（64a6﹣b6）﹣（48a4b2﹣12a2b4）
＝（8a3+b3）（8a3﹣b3）﹣12a2b2（4a2﹣b2）
＝（2a+b）（4a2﹣2ab+b2）（2a﹣b）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2（2a+b）（2a﹣b）
＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2﹣2ab+b2）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2]
＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣4a2b2﹣12a2b2]
＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣16a2b2]
＝（2a+b）（2a﹣b）（4a2﹣b2）2
＝（2a+b）3（2a﹣b）3．
【点评】本题考查了综合运用分组分解法、提取公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法及整式乘法的相关公式是解题的关键．
22．（3分）m2﹣13m+12．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：m2﹣13m+12＝（m﹣12）（m﹣1）．
【点评】此题主要考查了十字相乘法，正确分解常数项是解题关键．
23．（3分）（x2+4xy+3y2）（4x2+20xy+21y2）﹣15y4．
【分析】根据多项式乘多项式的法则进行计算即可．
【解答】解：（x2+4xy+3y2）（4x2+20xy+21y2）﹣15y4
＝4x4+20x3y+21x2y2+16x3y+80x2y2+84xy3+12x2y2+60xy3+63y4﹣15y4
＝4x4+36x3y+113x2y2+144xy3+48y4．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．
四、解答题（每题5分，共25分）
24．（5分）已知多项式3x4﹣5x3+x2+2被x2+3除余式是ax+b，求a﹣b的值，并将商式因式分解．
【分析】根据多项式除以多项式的运算法则进行计算，可求解商和余数，即可求得a，b的值，进而可求解a﹣b的值，再将商式分解因式即可求解．
【解答】解：3x4﹣5x3+x2+2
＝3x4+9x2﹣5x3﹣15x﹣8x2﹣24+15x+26
＝3x2（x2+3）﹣5x（x2+3）﹣8（x2+3）+15x+26
＝（x2+3）（3x2﹣5x﹣8）+15x+26，
∴（3x4﹣5x3+x2+2）÷（x2+3）余式是15x+26，商为3x2﹣5x﹣8，
即ax+b＝15x+26，
∴a＝15，b＝26．
∴a﹣b＝15﹣26＝﹣11；
3x2﹣5x﹣8＝（x+1）（3x﹣8）．
【点评】本题主要考查整式的除法，因式分解，注意除法运算时，按照x的降幂排列，若果被除式有缺项，一定要留出空位．
25．（5分）已知多项式2x2﹣bx+c，甲同学看错了常数项，分解因式为2（x﹣3）（x+2），乙同学看错了一次项系数，分解因式为2（x﹣3）（x+4），请求出正确的因式分解．
【分析】根据甲乙两人的结果确定出正确的多项式，分解即可．
【解答】解：甲：2（x﹣3）（x+2）＝2x2﹣2x﹣12，
乙：2（x﹣3）（x+4）＝2x2+2x﹣24，
∵甲同学看错了常数项，但没有看错一次项系数，乙同学看错了一次项系数，但没有看错常数项，
∴b＝2，c＝﹣24
∴原多项式为2x2﹣2x﹣24，
∴正确的因式分解为：2x2﹣2x﹣24＝2（x+3）（x﹣4）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
26．（5分）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）
【分析】分别利用拆添项及配方法和提取公因式法进行分解即可．
【解答】解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4
＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4）
＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2）
＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）；
方法二：x3﹣4x2+6x﹣4
＝x（x2﹣4x+4+2）﹣4
＝x（x﹣2）2+2x﹣4
＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）．
【点评】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握提取公因式法、拆添项法及配方法是解题的关键．
27．（5分）已知x+y+z＝3．x、y、z不全相等，求的值．
【分析】根据x+y+z＝3，x、y、z不全相等，可设x﹣1＝a，y﹣1＝b，z﹣1＝c，则a+b+c＝（x+y+z）﹣3＝0，c＝﹣（a+b），再把a，b，c的值代入原式进行计算即可．
【解答】解：设x﹣1＝a，y﹣1＝b，z﹣1＝c，则a+b+c＝（x+y+z）﹣3＝0，
则c＝﹣（a+b），
则原式＝＝＝＝﹣．
【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
28．（5分）已知整数a、b、c满足不等式a2+b2+c2+42＜ab+9b+8c，求c（ca÷cb）的值．
【分析】从ab+9b+8c突破，变形整理为完全平方形式，再补平常数项即可，求出a、b、c的值后，代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵a2+b2+c2+42＜ab+9b+8c，
∴++（c2﹣8c+16）﹣1＜0，
∴＜1，
又∵a，b，c都是正整数，
∴c﹣4＝0，，，
∴a＝3，b＝6，c＝4．
∴c（ca÷cb）＝4×（43÷46）＝＝．
【点评】本题主要考查了配方法的运用，解题时注意：任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
五、创新题（本题6分）
29．（6分）对任意一个正整数m，如果m＝k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．
（1）请判断110，1560为“矩数”吗？如果是，请求出最佳拆分点，如果不是，请说明理由．
（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．若“矩数”p的最佳拆分
点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．当D（p，q）＝8时，求的最大值．
【分析】（1）利用完全平方差公式进行因式分解，整理成符合题意的形式；
（2）根据题意列出方程，得到方程组从而得到结论．
【解答】解：（1）∵110＝10×（10+1），
∴110是“矩数”，10为110的最佳拆分点；
∵1560＝39×（39+1），
∴1560是“矩数”，39为1560的最佳拆分点．
（2）根据题意可得：p＝t（t+1），q＝s（s+1），
D（p，q）＝t（t+1）﹣s（s+1）＝8，
即t2+t﹣s2﹣s＝8，
且t，s均为正整数，t＞s，
∴t﹣s与t+s+1也是正整数，
且t+s+1＞t﹣s，
∵8＝1×8＝2×4，
∴
解得：．
因为t，s是正整数，
∴符合条件的是：．
所以的最大值为．
【点评】主要考查了因式分解的应用，熟记完全平方公式的结构特点与配方是解题的关键．
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