2020-2021学年北京市昌平实验学校高一（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市昌平实验学校高一（下）期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则2sinα+csα＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）向量＝（1，1），＝（2，t），若，则实数t的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
3．（5分）＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）下列函数是奇函数的是（ ）
A．f（x）＝x+csxB．f（x）＝x2+csx
C．f（x）＝x+sinxD．f（x）＝x2+sinx
5．（5分）已知向量、满足，，且＜，＞＝，那么＝（ ）
A．1B．C．3D．
6．（5分）下列函数中，是奇函数且最小正周期为π的是（ ）
A．y＝cs2xB．y＝sin2xC．D．y＝tan2x
7．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
8．（5分）若角α是三角形的内角，且，则角α等于（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
9．（5分）sin70°•cs25°﹣sin20°•sin25°＝（ ）
A．B．C．D．
10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a＝10，∠A＝30°，∠C＝105°，那么b等于（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A．B．C．D．
12．（5分）函数y＝Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ ）
A．y＝2sin（2x﹣）B．y＝2sin（2x+）
C．y＝2sin（x+）D．y＝2sin（）
二、填空题（每题5分）
13．（5分）已知tanα＝3，tanβ＝2，则tan（α+β）＝ ．
14．（5分）sinα+csα＝，则sin2α＝
15．（5分）已知，，向量与的夹角为120°，则＝ ．
16．（5分）已知向量，，在上的投影的数量是 ．
17．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为 ，的最大值为 ．
18．（5分）关于平面向量、、，有下列三个命题：
①若，则；
②若，，，则k＝﹣3；
③非零向量和满足，则与的夹角为90°．
其中真命题的序号为 ．
三、解答题
19．（10分）已知角α的终边过点（1，﹣3）．求：
①tanα；
②；
③sinα•csα．
20．（12分）已知，，且α、β都是第二象限角，求sin（α+β），cs（α﹣β）．
21．（10分）已知△ABC的顶点为A、B、C，三个点坐标为A（﹣1，2），B（3，5），C（4，1），求、、、、及∠BAC的余弦值．
22．（12分）在△ABC中内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知，，∠A＝60°．
（1）求∠B、∠C的值；
（2）求△ABC的面积．
23．（16分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求该函数的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．
2020-2021学年北京市昌平实验学校高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分）
1．（5分）已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则2sinα+csα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果．
【解答】解：由题意角α的终边经过点P（4，﹣3），可得：，
所以，，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2．（5分）向量＝（1，1），＝（2，t），若，则实数t的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】由题意可得＝1×2+1×t＝0，解之即可．
【解答】解：∵＝（1，1），＝（2，t），且，
∴＝1×2+1×t＝0，解得t＝﹣2
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的垂直的判定，属基础题．
3．（5分）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．
【解答】解：sinπ＝sin（4π+）＝sin＝．
故选：A．
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
4．（5分）下列函数是奇函数的是（ ）
A．f（x）＝x+csxB．f（x）＝x2+csx
C．f（x）＝x+sinxD．f（x）＝x2+sinx
【分析】利用奇函数的定义判断即可．
【解答】解：四个选项的定义域都为R，关于原点对称，
A选项：f（﹣x）＝﹣x+cs（﹣x）＝﹣x+csx≠﹣f（x），不是奇函数．
B选项：f（﹣x）＝（﹣x）²+cs（﹣x）＝x²+csx＝f（x），为偶函数．
C选项：f（﹣x）＝﹣x+sin（﹣x）＝﹣x﹣sinx＝﹣（x+sinx）＝﹣f（x），为奇函数．
D选项，f（﹣x）＝（﹣x）²+sin（﹣x）＝x²﹣sinx≠﹣f（x），不是奇函数．
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，属于基础题．
5．（5分）已知向量、满足，，且＜，＞＝，那么＝（ ）
A．1B．C．3D．
【分析】直接利用向量的数量积转化求解即可．
【解答】解：向量、满足，，且＜，＞＝，
那么＝2××＝3．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的求法，是基础题．
6．（5分）下列函数中，是奇函数且最小正周期为π的是（ ）
A．y＝cs2xB．y＝sin2xC．D．y＝tan2x
【分析】由题意利用三角函数的奇偶性和周期性，得出结论．
【解答】解：∵函数y＝cs2x为偶函数，故排除A；
∵函数y＝sin2x为奇函数，且最小正周期为＝π，故B满足条件；
∵函数y＝sin的最小正周期为＝4π，故C不满足条件；
∵函数y＝tan2x的最小正周期为，故D不满足条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
7．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，可以将函数y＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【分析】由题意利用y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，
故选：D．
【点评】本题主要考查y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
8．（5分）若角α是三角形的内角，且，则角α等于（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
【分析】由已知利用特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：由于角α是三角形的内角，且，
所以角α＝60°或A＝120°．
故选：D．
【点评】本题主要考查根据三角函数的值求角，属于基础题．
9．（5分）sin70°•cs25°﹣sin20°•sin25°＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用诱导公式，两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．
【解答】解：sin70°•cs25°﹣sin20°•sin25°
＝sin70°•cs25°﹣cs70°•sin25°
＝sin（70°﹣25°）
＝sin45°
＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦函数公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a＝10，∠A＝30°，∠C＝105°，那么b等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据内角和180°求得∠B，再由正弦定理即可求得b．
【解答】解：由题可得∠B＝180°﹣30°﹣105°＝45°，
由正弦定理可得，则b＝＝＝10，
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理的应用，属于中档题．
11．（5分）函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A．B．C．D．
【分析】令2x+＝kπ+，k∈z，解得 x＝，k∈z，此直线即为函数的图象的一个对称轴．
【解答】解：令2x+＝kπ+，k∈z，可得 x＝，k∈z，
故选：C．
【点评】本题考查正弦函数的对称性，是一道基础题．
12．（5分）函数y＝Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ ）
A．y＝2sin（2x﹣）B．y＝2sin（2x+）
C．y＝2sin（x+）D．y＝2sin（）
【分析】由图知A＝2，＝，可求得ω＝2，再由ω+φ＝2kπ+（k∈Z）即可求得φ，从而可得此函数的解析式．
【解答】解：由图知A＝2，＝﹣＝，
∴T＝π，
∴ω＝＝2．又ω+φ＝2kπ+（k∈Z），
∴φ＝2kπ+﹣×2＝2kπ+（k∈Z），
∴此函数的解析式是y＝2sin（2x+2kπ+）＝2sin（2x+）．
故选：B．
【点评】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ的值是关键，也是难点，属于中档题．
二、填空题（每题5分）
13．（5分）已知tanα＝3，tanβ＝2，则tan（α+β）＝ ﹣1 ．
【分析】由已知利用两角和的正切公式即可计算得解．
【解答】解：因为tanα＝3，tanβ＝2，
所以tan（α+β）＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
14．（5分）sinα+csα＝，则sin2α＝
【分析】根据（sinα+csα）2＝1+sin2α求解即可得答案．
【解答】解：由sinα+csα＝，
得（sinα+csα）2＝sin2α+cs2α，
∴sin2α＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角公式的应用，属于基础题．
15．（5分）已知，，向量与的夹角为120°，则＝．
【分析】利用向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可．
【解答】解：，，向量与的夹角为120°，
则＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的模的运算法则的应用，是基础题．
16．（5分）已知向量，，在上的投影的数量是 1 ．
【分析】根据已知先求出，||，然后根据在上的投影是可求．
【解答】解：∵，，
∴＝1×（﹣3）+2×4＝5，||＝5，
则在上的投影是＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用，属于基础试题．
17．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为 1 ，的最大值为 0 ．
【分析】把＝+代入，再结合平面向量数量积的运算法则，即可得解；设＝λ，λ∈[0，1]，可得＝λ﹣1，结合单调性，得解．
【解答】解：＝（+）•＝•+•＝+0＝1，
∵点E是AB边上的动点，∴设＝λ，λ∈[0，1]，
∴＝（﹣）•（+）＝（λ﹣）•（+）＝λ+（λ﹣1）•﹣＝λ+0﹣1，在λ∈[0，1]上单调递增，
∴当λ＝1时，取得最大值，为0．
故答案为：1；0．
【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性，数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（5分）关于平面向量、、，有下列三个命题：
①若，则；
②若，，，则k＝﹣3；
③非零向量和满足，则与的夹角为90°．
其中真命题的序号为 ②③ ．
【分析】①若，则为假命题；
②若，则﹣2k＝6，则k＝﹣3，为真命题；
③非零向量和满足，则平方化简可得，则与的夹角为90°，为真命题．
【解答】解：①若，若，则不成立，为假命题；
②若，，，则﹣2k＝6，则k＝﹣3，为真命题；
③非零向量和满足，则平方化简可得，则与的夹角为90°，为真命题．
故答案为：②③
【点评】本题考查简易逻辑，向量，属于难题．
三、解答题
19．（10分）已知角α的终边过点（1，﹣3）．求：
①tanα；
②；
③sinα•csα．
【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：∵角α的终边过点P（1，﹣3），
∴x＝1，y＝﹣3，r＝|OP|＝，
①tanα＝＝﹣3，
②＝＝＝．
③sinα•csα＝＝＝＝﹣．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
20．（12分）已知，，且α、β都是第二象限角，求sin（α+β），cs（α﹣β）．
【分析】】利用同角三角函数的基本关系，求出利用两角和与差的三角函数求解即可．
【解答】解：因为，，且α、β都是第二象限角，
所以csα＝﹣＝﹣，
sinβ＝＝，
∴sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ＝＝﹣，
cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ＝﹣+＝．
【点评】本题考查两角和与差的正切函数以及余弦函数，考查计算能力，属于基础题．
21．（10分）已知△ABC的顶点为A、B、C，三个点坐标为A（﹣1，2），B（3，5），C（4，1），求、、、、及∠BAC的余弦值．
【分析】求得＝（4，3），＝（5，﹣1），即可运算．
【解答】解：因为A（﹣1，2），B（3，5），C（4，1），
所以＝（4，3），＝（5，﹣1），
＝＝5，＝，
＝4×5+3×（﹣1）＝17，
∠BAC＝＝＝．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
22．（12分）在△ABC中内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知，，∠A＝60°．
（1）求∠B、∠C的值；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）由正弦定理先求得sinC，根据a＞c，即可得到∠C，进而求得∠B；
（2）利用三角形面积公式及两角和的三角函数变换即可求得答案．
【解答】解：（1）由正弦定理可得，则sinC＝＝＝，
因为a＞c，所以∠C＝，则∠B＝π﹣∠A﹣∠C＝π﹣﹣＝；
（2）S△ABC＝acsinB＝acsin（A+C）＝×2×2×（sinAcsC+csAsinC）＝×2×2×（×+×）＝2×＝＝3+．
【点评】本题考查正弦定理，三角形面积公式以及两角和的三角函数公式，属于中档题．
23．（16分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求该函数的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简可得f（x）＝2sin（2x+）+1，由正弦函数的周期性，得解；
（2）令2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，解之即可；
（3）求得2x+∈[﹣，π]，再结合正弦函数的图象与性质，得解．
【解答】解：（1）＝sin2x+cs2x+1＝2sin（2x+）+1，
所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π．
（2）令2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，则x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
故该函数的单调递增区间[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（3）因为x∈，所以2x+∈[﹣，π]，
当2x+＝，即x＝时，f（x）max＝f（）＝3；
当2x+＝﹣，即x＝﹣时，f（x）min＝f（﹣）＝0，
故函数f（x）在区间上的最小值为0，最大值为3．
【点评】本题考查三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式和正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
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