四川省成都市西北中学2023-2024学年高二下学期4月阶段性考试数学试题（原卷版+解析版）

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满分150分，时间120分钟
命题人：刘政 审题人：李白
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知等比数列，则数列的前10项和为（ ）
A. 55B. 110C. 511D. 1023
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件求得公比，再利用等比数列前项和公式，即可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，前项和，则，
故.
故选：D.
2. 已知为等差数列，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列等差中项的性质可得公差，进而确定通项及.
【详解】由，，
可得，，则，，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：C.
3. 已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案.
【详解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项.
当时，从左向右，是递增、递减、递增，
对应导数符号为，由此排除C选项，
所以A选项正确.
故选：A
4. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据“冰霓猜想”结合递推关系，可知数列从开始，是以3为周期的数列，进而即可求解.
【详解】由题意可知，，，，，，
，，，，，……，
所以根据“冰霓猜想”可知.
故选：B
5. 已知函数在处取得极值5，则（ ）
A. B. C. 3D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可．
【详解】函数，
则，
因为在处取极值5，
所以，解得：，
经检验满足题意.
故.
故选：A
6. 若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在使用余弦定理后用椭圆的基本定义化简即可计算出结果.
【详解】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆
故.
根据椭圆定义，对于椭圆上的任意一点 有：
……①，……②
由题知……③
在中使用余弦定理有：
……④
将①②③代入④式得到：……⑤
现在我们可以计算三角形的面积：
因此， 的面积是 .
故选：B.
7. 设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由条件先确定数列的公比，结合等比数列求和公式可得，再结合求和公式求的值.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，，
则，与已知矛盾，所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以.
故选：C.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，不妨取点在第二象限，题中条件，得到，记，求出，根据双曲线定义，得到，，在中，由余弦定理，即可得出结果.
【详解】
因为以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，不妨取点在第二象限，
所以，则，
因为双曲线的渐近线方程为，则，所以；
记，则，由解得，
因为，由双曲线的定义可得，所以，，
由余弦定理可得：，
则，所以，整理得，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：C.
【点睛】思路点睛：
求椭圆或双曲线的离心率的问题时，通常需要根据椭圆或双曲线的定义，以及题中条件，结合余弦定理，建立关于之间关系式，即可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据示意图，结合题意找到各层球的数量与层数的关系，可得，即可判断各项的正误.
【详解】由题意知：，故，
∴，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，，显然，故D错误；
故选：BC
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在二个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则t的最小值为2
D. 若方程有两个实根，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据零点的定义解方程可得其零点，知A正确；利用导数判断函数单调性，求其极值点，可知B正确；采用数形结合的方式可判断CD.
【详解】对于A，令，可得，
所以，解得或
所以函数存在二个不同的零点，A正确；
对于B，定义域为，，
令，可得或，
当时，，在，上单调递减，
当时，，在上单调递增；
所以当时，函数取极小值，
当时，函数取极大值，B正确；
对于C，，作出图象如下图所示，
可知方程存在另一个解，，
若当时，，则，C错误；
对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
作出图象如下图所示，
结合图象可知：，D正确.
故选：ABD.
11. 设数列的前项和为，，，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 成等差数列，公差为
C. 取得最大值时
D. 时，的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】依题意可得，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，求出，根据二次函数的性质判断C，再由，作差即可求出，从而判断A，最后由判断B、D.
【详解】因为，即，
所以，即，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
而开口向下的二次函数的对称轴为，
所以当或时，取得最大值，故C错误；
对于A，由，当时，可得，
当时，
所以，
而，所以，故A正确；
对于B，由，得，，，
所以，，成等差数列，公差为，故B正确，
对于D，由得，，
所以时，的最大值为，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 等比数列的各项均为正数，且，则__________.
【答案】10
【解析】
【分析】由等比数列的性质可得，再利用对数的性质可得结果
【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且，
所以，
所以
故答案为：10
13. 已知函数，则在处的导数是______．
【答案】##
【解析】
【分析】求导可得，则，求出即可求解.
【详解】由题意知，，
令，得，解得，
所以在的导数为.
故答案为：
14. 已知定义在上的函数，其导函数为，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】因为的导函数为，故考虑构造函数，利用导数分析得出函数在上为增函数，分别在条件下化简不等式，并结合函数的单调性解不等式可得结论.
【详解】构造函数，则，
所以函数在上为增函数，
且.
①当时，由可得，
即，
即，可得，解得，此时；
②当时，由可得，
即
即，可得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下：
（1）根据导数不等式的结构构造原函数；
（2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数的单调性；
（3）将所求不等式变形为或（偶函数）；
（4）利用函数的单调性可得出关于、的不等式进行求解.
四、解答题：本题共5个小题，共77分．
15. （1）已知曲线在点处的切线方程为，求．
（2）已知函数，过点作曲线的切线，求此切线的方程．
【答案】（1）；
（2）函数过点的切线方程为或.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点处的切线方程，由条件列等式可求；
（2）设函数的过点的切线的切点为，结合导数几何意义列方程求切点坐标，由此可得结论.
【详解】（1）函数的导函数，
所以，
所以函数在点处的切线斜率为，
所以函数在点处的切线方程为，
由已知，
所以；
（2）函数的过点的切线的切点为，
因为，所以，
所以，
所以函数过点的切线斜率为，因为切线过点，
所以，，
所以，
解得或，
当时，，，
此时切线方程为，
当时，，，
此时切线方程为，
所以函数过点切线方程为或.
16. 已知数列，若，且．
（1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义证明即可，求出的通项，即可得到的通项公式；
（2）由（1）可得，则，利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
因为，
所以，又，所以，
所以是以为首项、为公比的等比数列，
所以，则.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，
所以.
17. 已知函数．
（1）当时，求的在上的最大值和最小值；
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）最大值为9，最小值为 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导可得，令即可得出单调区间，进而求出最大、小值；
（2）求导可得，分类讨论当、、时函数对应的单调性，即可求解.
【小问1详解】
当时，，则，
令或，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以在上的最大值为9，最小值为.
【小问2详解】
，则，
令，解得或，
当即时，
，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当即时，，在R上单调递增；
当即时，
，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
18. 设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件：
①，； ②；
③．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和 ．
【答案】（1）所选条件见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解；
（2）用错位相减求和.
【小问1详解】
选①：由得：
， 所以，
又因为，因此数列为等比数列，
设数列的公比为，则，由，
解得或（舍去），
所以；
选②：因为，
当时，，又，
所以，即，所以，
所以当时，，
两式相减得，
即，
所以数列是，公比为2的等比数列，
所以；
选③：因为，
当时，，
所以，即，
当时，，
两式相减，得，
即，
当时，满足上式．
所以；
【小问2详解】
设数列的前项和，
故，
两式相减得：，
化简得，．
故数列的前项和.
19. 定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
（1）判断函数和是否具有C关系；
（2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
（3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
【答案】（1）是 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断；
（2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围；
（3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解.
【小问1详解】
与是具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，
因为，，，
所以，
令，即，解得，
所以与具有C关系.
【小问2详解】
令，
因为，，所以，
令，则，故，
因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，
又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，
当时，显然成立；
当时，在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
综上：，即.
【小问3详解】
因为和，
令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，因为，所以，
所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，显然当时，，
当时，因为在上单调递增，且，
故在上存在唯一零点，设，则，
所以当；当；又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系，
综上：，即.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解.