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河南省名校联盟2023-2024学年高三下学期教学质量检测（3月）数学试卷（原卷版+解析版）
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考试时间：120分钟 试卷满分:150分
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合 则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合A，进而求得.
【详解】或，
则
故选： A
2. 设复数z满足，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由复数四则运算求解出之后，结合共轭复数的概念以及复数乘法运算即可求解.
【详解】因为，所以，
所以， 即.
故选： C.
3. 已知向量，满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算律结合条件即可求得的值.
【详解】因为 ，
所以 即
故选 ：C.
4. 设 则对任意实数是的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的定义可判断为奇函数，结合幂函数的单调性以及复合函数的单调性可得为增函数，即可求解.
【详解】的定义域为，且，
因为 为奇函数，
当时，函数均为单调递增函数，所以在单调递增.
进而可得在上单调递增，，
故对任意实数是的充要条件，
故选：A
5. 已知点 M在曲线 上，过M作圆 切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】作出图象，利用图象观察，将四边形MACB的面积最小值转化为求的最小值，而这可以通过设点、消元将其化成一个二次函数的最值问题来解决.
【详解】
如图，设点，连接，四边形MACB的面积为，
而，又点在曲线上，则有，
依题意，，故当且仅当时，，此时四边形MACB的面积取得最小值.
故选:B.
6. 过三棱柱任意两个顶点的直线中，其中异面直线有（ ）对
A. 15B. 24C. 36D. 54
【答案】C
【解析】
【分析】依据异面直线定义结合三棱柱的特征性质即可求得异面直线的对数.
【详解】三棱柱中，与异面的直线有，
与异面的直线有,
与异面的直线有,
与异面的直线有,
与异面的直线有,
与异面的直线有,
与异面的直线有,与异面的直线有,
与异面的直线有,与异面的直线有,
与异面的直线有,与异面的直线有,
所以异面直线有对，
故选： C.
7. 若 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助两角和与差的正弦、余弦公式，同角三角函数的基本关系与降幂公式计算，或借助和差化积公式计算即可得.
【详解】法一：
因为，所以，
即，
即，即，即.
法二：
.
故选：D.
8. 给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l₁，l₂与同一平面所成的角相等，则l₁，l₂互相平行；④若直线l₁，l₂是异面直线，则与l₁，l₂都相交的两条直线是异面直线.其中真命题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】①根据直线垂直的定义判断．②根据线面垂直的性质判断．③根据直线和平面所成角的定义判断．④根据异面直线的位置关系判断．
【详解】垂直于同一直线的两条直线可以相交或异面，所以①为假命题；
垂直于同一平面的两个平面可以相交，所以②为假命题；
若直线与同一平面所成的角相等，则 可相交、平行或异面，所以③为假命题；
若直线是异面直线，则与 都相交的两条直线可相交，所以④为假命题；
故选：A.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 在经验回归方程 中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少3.6个单位
B. 在经验回归方程 中，相对于样本点(1,2.8)的残差为-0.15
C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越宽，其模型的拟合效果越差
D. 若两个变量的决定系数R² 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，根据经验回归方程的解析式即可判断；对B，根据回归方程计算，由残差定义即可求得结果；对C，根据残差图的分布情况分析即可；对D根据决定系数的意义即可判断.
【详解】对于A，根据经验回归方程，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少0.65 个单位，故 A 错误；
对于 B，当解释变量x=1时，响应变量 则样本点(1,2.8)的残差为-0.15，故B 正确；
对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越宽，说明拟合精度越低，即拟合效果越差，故C正确；
对于D，由决定系数R²意义可知，R²越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故 D正确.
故选：BCD
10. 已知等差数列的首项为，公差为，若 是该数列中的一项，则公差可能的值是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式，求得，结合和都是正整数，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，等差数列的首项为，公差为，
若 是该数列中的一项，可得，所以，
因为和都是正整数，所以时，，所以A正确；
当时，，所以B正确；
当时，，所以C正确；
当时，，所以D不正确.
故选：ABC.
11. 函数在区间| 上为单调函数，且图象关于直线 对称，则（ ）
A. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称
B. 函数在上单调递增
C. 若函数在区间上没有最小值，则实数a的取值范围是
D. 若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，求得，根据三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数，当，可得，
因为函数在时单调函数，可得且，可得，
又由的图象关于直线对称，可得，
解得，当时，，所以，
对于A中，将函数的图象向左平移个单位长度，
可得，
此时函数的图象关于原点对称，所以A正确；
对于B中，当 时，可得，可得函数单调递增， 所以B正确；
对于C中，当时，可得，则函数在区间 上没有最小值，则需 ，即 ，所以C错误；
对于D中，函数在区间 上有且仅有2个零点，则 ，
即 所以D错误.
故选：AB.
12. 函数是定义域为的非常值函数，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A. 为奇函数B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数图象的平移可得关于直线对称即可判断C，根据点对称可得，进而可得的周期性，即可结合选项判断BCD.
【详解】将图象向右平移1个单位可得的图象，由函数关于直线对称，可得函数关于直线对称， 故C正 确;
由 图 象 关 于 点对 称 ， 可 得， 即，
以代换，则，所以函数关于点对称，可得，即，
结合可得，所以，故B正确.
所以是周期函数，且周期为4，其图象不仅关于直线对称还关于点对称，所以不关于点和 对称， 所以不是奇函数，， 故选项AD 错误;
故选：BC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知抛物线 的焦点为F，过作C的准线的垂线，垂足为M，FM 的中点为N，则直线PN的斜率为_________ .
【答案】2
【解析】
【分析】根据已知条件作出图形，利用抛物线的定义及等腰三角形的三线合一定理，结合直线的斜率公式及两直线垂直的条件即可求解.
【详解】由，得，解得，
所以抛物线 的焦点为F，准线方程为，
由，得P在抛物线上，如图所示
由抛物线定义可得，
又FM 的中点为N，所以PN⊥FM.
由题意可知，,
设直线PN的斜率为， 则 ，解得.
所以直线PN的斜率为.
故答案为：.
14. 直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由余弦定理求得，根据正弦定理求出的外接圆半径，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解.
【详解】在中，由余弦定理得，
由，得，设的外接圆半径为r，
由正弦定理得，则，
设三棱柱的外接球半径为R，则，
所以此球O的表面积等于.
故答案为：
15. 对任意闭区间I，用表示函数 在I上的最大值，若正实数 a 满足 ,则a的值为 ________ .
【答案】或
【解析】
【分析】就参数进行分类讨论函数在的最大值，结合求出的值，或判断值不存在即得.
【详解】当时， ，由 可得， 此时；
当时，， 或.
若，则由 可得，因，故无解；
若，则由 可得，此时，即；
当时，，因区间的长度至少为，故，
而显然不成立,故舍去；
综上，a的值为或.
故答案为：或.
16. 已知双曲线 的右焦点为 F，过 F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A，B 两点，且 ，，则该双曲线的离心率为________ .
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，利用点到直线的距离公式得到，根据，有，代入即可求解.
【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为 ，
由，有，
F 到渐近线的距离，
，，
，，
则 ，
由，有， 即 ，
解得 ，则有 ，所以离心率
故答案为：
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
四、解答题（本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 求:
（1）a和c的值;
（2）的值.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面向量的数量积和余弦定理，列出方程组解方程组即可；
（2）先由平方关系求出,再由正弦定理求得进而求得 最后由正弦差角公式计算即可.
【小问1详解】
由 得
又
∴.
由余弦定理及得
由 得 或
【小问2详解】
，在中，则
.
当时， 由正弦定理， 得 ，
，
当时， 由正弦定理， 得
18. 已知数列满足
（1）求证: 为等比数列；
（2）数列的前n项和为，求数列 的前n项和.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）变形给定等式，再利用等比数列定义判断得解.
（2）由（1）求出数列的通项公式及前n项和，再利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
数列中，，则，
而，即，
所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列..
【小问2详解】
由（1）知，，，，
，
所以数列 的前n项和.
19. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，，O为AD中点，
（1）求证：平面平面PAC；
（2）求平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先由得到，再由已知面面垂直得到，最后由面面垂直的判定定理可证明；
（2）建系，分别求出平面PBC和平面PAB的法向量，代入空间二面角的余弦公式算出即可.
【小问1详解】
因为，
所以，则，
所以，
且O为AD中点，所以.
因为平面平面ABCD，平面平面，平面，
平面，
又因为平面ABCD，所以.
又因为，且两条直线都在平面POB内，所以平面POB，
因为平面PAC，所以平面平面PAC.
【小问2详解】
以O为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
设为平面PAB的法向量，
由得，设，则
同理可设平面PBC的法向量
由得，取，则
所以平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值为
20. 某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500 家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图.
（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);
（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽取5 家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96,100]的企业数为 Y，求 Y的分布列与数学期望；
（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布， 其中μ近似为50 家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得 ，利用该正态分布，估计该市500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).
附参考数据与公式： 则 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
【答案】（1）84.80分，中位数84.67分；
（2）分布列见解析，1；
（3）11家
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可求解；
（2）利用频率分布直方图的性质及根据已知条件求出随机变量的取值，利用古典概型的概率公式求出随机变量相应取值的概率，进而得出随机变量的分布列，利用期望公式即可求解；
（3）根据已知条件及正态分布的性质即可求解.
【小问1详解】
这 50家食品生产企业考核成绩的平均数为：
由频率分布直方图得内，
解得中位数 (分) .
【小问2详解】
这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有
家，
其中考核成绩在内的企业有家，
由题意可知，的可能取值为，
,
,
,
∴Y的分布列为：
.
【小问3详解】
由题意得,
,
∴ (家) ，
∴估计该市 500家食品生产企业质量管理考核成绩高于 95.32分的有11家.
21. 设函数
（1）当时，求曲线在处的切线方程;
（2）当 时，求证：有且仅有两个零点.
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题求出，即可得出该切线方程；
（2）由为偶函数，，可知有且仅有两个零点等价于在有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出.
【小问1详解】
当时，，
又，
∴曲线在处的切线方程为，
即
【小问2详解】
的定义域为.
∴为偶函数，
∵，
∴有且仅有两个零点等价于在有且只有一个零点.
∵，
当时， ， 恒成立，
∴在上单调递减
∴在上有且只有一个零点.
当 时， 令， 即，
可知存在唯一使得，
当或时， ， 函数单调递增；
当时，， 函数单调递减.
由 可得
当
∴在上有且只有一个零点.
综上，当 时，有且仅有两个零点
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、由为偶函数，，可知有且仅有两个零点等价转化为在有且只有一个零点，是解决本题的关键.
22. 已知椭圆 （）的右焦点为，且经过点
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）已知直线的方程，过点 的直线(不与轴重合)与椭圆相交于两点，过点作，垂足为
①求证：直线过定点，并求出定点的坐标；
②点为坐标原点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析，；②
【解析】
【分析】（1）根据点点距离公式以及椭圆的定义可得即可求解得解，
（2）①联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据点斜式求解直线的方程为 由于定点在轴上，令，代入化简即可求解，②根据弦长公式以及点到直线距离公式可得利用换元法令 则 ，结合对勾函数的单调性即可求解面积的最值.
【小问1详解】
由题意可得椭圆的左焦点为，
由椭圆定义得
∴椭圆C的方程为
【小问2详解】
由对称性，若直线过定点，则该定点必在轴上，
①设直线的方程为，
由 得 （1）
设，
且
∴直线的方程为
令， 得 （2）
将 代入（2）， 则
故直线过定点 即定点
②在（1） 中，
又直线过定点
令 则
在上单调递减，
故当时,
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点
Y
0
1
2
P
考试时间：120分钟 试卷满分:150分
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合 则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合A，进而求得.
【详解】或，
则
故选： A
2. 设复数z满足，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由复数四则运算求解出之后，结合共轭复数的概念以及复数乘法运算即可求解.
【详解】因为，所以，
所以， 即.
故选： C.
3. 已知向量，满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算律结合条件即可求得的值.
【详解】因为 ，
所以 即
故选 ：C.
4. 设 则对任意实数是的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的定义可判断为奇函数，结合幂函数的单调性以及复合函数的单调性可得为增函数，即可求解.
【详解】的定义域为，且，
因为 为奇函数，
当时，函数均为单调递增函数，所以在单调递增.
进而可得在上单调递增，，
故对任意实数是的充要条件，
故选：A
5. 已知点 M在曲线 上，过M作圆 切线，切点分别为A，B，则四边形MACB的面积的最小值为（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】作出图象，利用图象观察，将四边形MACB的面积最小值转化为求的最小值，而这可以通过设点、消元将其化成一个二次函数的最值问题来解决.
【详解】
如图，设点，连接，四边形MACB的面积为，
而，又点在曲线上，则有，
依题意，，故当且仅当时，，此时四边形MACB的面积取得最小值.
故选:B.
6. 过三棱柱任意两个顶点的直线中，其中异面直线有（ ）对
A. 15B. 24C. 36D. 54
【答案】C
【解析】
【分析】依据异面直线定义结合三棱柱的特征性质即可求得异面直线的对数.
【详解】三棱柱中，与异面的直线有，
与异面的直线有,
与异面的直线有,
与异面的直线有,
与异面的直线有,
与异面的直线有,
与异面的直线有,与异面的直线有,
与异面的直线有,与异面的直线有,
与异面的直线有,与异面的直线有,
所以异面直线有对，
故选： C.
7. 若 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助两角和与差的正弦、余弦公式，同角三角函数的基本关系与降幂公式计算，或借助和差化积公式计算即可得.
【详解】法一：
因为，所以，
即，
即，即，即.
法二：
.
故选：D.
8. 给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l₁，l₂与同一平面所成的角相等，则l₁，l₂互相平行；④若直线l₁，l₂是异面直线，则与l₁，l₂都相交的两条直线是异面直线.其中真命题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】①根据直线垂直的定义判断．②根据线面垂直的性质判断．③根据直线和平面所成角的定义判断．④根据异面直线的位置关系判断．
【详解】垂直于同一直线的两条直线可以相交或异面，所以①为假命题；
垂直于同一平面的两个平面可以相交，所以②为假命题；
若直线与同一平面所成的角相等，则 可相交、平行或异面，所以③为假命题；
若直线是异面直线，则与 都相交的两条直线可相交，所以④为假命题；
故选：A.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 在经验回归方程 中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少3.6个单位
B. 在经验回归方程 中，相对于样本点(1,2.8)的残差为-0.15
C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越宽，其模型的拟合效果越差
D. 若两个变量的决定系数R² 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，根据经验回归方程的解析式即可判断；对B，根据回归方程计算，由残差定义即可求得结果；对C，根据残差图的分布情况分析即可；对D根据决定系数的意义即可判断.
【详解】对于A，根据经验回归方程，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平均减少0.65 个单位，故 A 错误；
对于 B，当解释变量x=1时，响应变量 则样本点(1,2.8)的残差为-0.15，故B 正确；
对于C，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越宽，说明拟合精度越低，即拟合效果越差，故C正确；
对于D，由决定系数R²意义可知，R²越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故 D正确.
故选：BCD
10. 已知等差数列的首项为，公差为，若 是该数列中的一项，则公差可能的值是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式，求得，结合和都是正整数，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，等差数列的首项为，公差为，
若 是该数列中的一项，可得，所以，
因为和都是正整数，所以时，，所以A正确；
当时，，所以B正确；
当时，，所以C正确；
当时，，所以D不正确.
故选：ABC.
11. 函数在区间| 上为单调函数，且图象关于直线 对称，则（ ）
A. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称
B. 函数在上单调递增
C. 若函数在区间上没有最小值，则实数a的取值范围是
D. 若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，求得，根据三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数，当，可得，
因为函数在时单调函数，可得且，可得，
又由的图象关于直线对称，可得，
解得，当时，，所以，
对于A中，将函数的图象向左平移个单位长度，
可得，
此时函数的图象关于原点对称，所以A正确；
对于B中，当 时，可得，可得函数单调递增， 所以B正确；
对于C中，当时，可得，则函数在区间 上没有最小值，则需 ，即 ，所以C错误；
对于D中，函数在区间 上有且仅有2个零点，则 ，
即 所以D错误.
故选：AB.
12. 函数是定义域为的非常值函数，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A. 为奇函数B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数图象的平移可得关于直线对称即可判断C，根据点对称可得，进而可得的周期性，即可结合选项判断BCD.
【详解】将图象向右平移1个单位可得的图象，由函数关于直线对称，可得函数关于直线对称， 故C正 确;
由 图 象 关 于 点对 称 ， 可 得， 即，
以代换，则，所以函数关于点对称，可得，即，
结合可得，所以，故B正确.
所以是周期函数，且周期为4，其图象不仅关于直线对称还关于点对称，所以不关于点和 对称， 所以不是奇函数，， 故选项AD 错误;
故选：BC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知抛物线 的焦点为F，过作C的准线的垂线，垂足为M，FM 的中点为N，则直线PN的斜率为_________ .
【答案】2
【解析】
【分析】根据已知条件作出图形，利用抛物线的定义及等腰三角形的三线合一定理，结合直线的斜率公式及两直线垂直的条件即可求解.
【详解】由，得，解得，
所以抛物线 的焦点为F，准线方程为，
由，得P在抛物线上，如图所示
由抛物线定义可得，
又FM 的中点为N，所以PN⊥FM.
由题意可知，,
设直线PN的斜率为， 则 ，解得.
所以直线PN的斜率为.
故答案为：.
14. 直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由余弦定理求得，根据正弦定理求出的外接圆半径，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解.
【详解】在中，由余弦定理得，
由，得，设的外接圆半径为r，
由正弦定理得，则，
设三棱柱的外接球半径为R，则，
所以此球O的表面积等于.
故答案为：
15. 对任意闭区间I，用表示函数 在I上的最大值，若正实数 a 满足 ,则a的值为 ________ .
【答案】或
【解析】
【分析】就参数进行分类讨论函数在的最大值，结合求出的值，或判断值不存在即得.
【详解】当时， ，由 可得， 此时；
当时，， 或.
若，则由 可得，因，故无解；
若，则由 可得，此时，即；
当时，，因区间的长度至少为，故，
而显然不成立,故舍去；
综上，a的值为或.
故答案为：或.
16. 已知双曲线 的右焦点为 F，过 F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A，B 两点，且 ，，则该双曲线的离心率为________ .
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，利用点到直线的距离公式得到，根据，有，代入即可求解.
【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为 ，
由，有，
F 到渐近线的距离，
，，
，，
则 ，
由，有， 即 ，
解得 ，则有 ，所以离心率
故答案为：
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
四、解答题（本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 求:
（1）a和c的值;
（2）的值.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面向量的数量积和余弦定理，列出方程组解方程组即可；
（2）先由平方关系求出,再由正弦定理求得进而求得 最后由正弦差角公式计算即可.
【小问1详解】
由 得
又
∴.
由余弦定理及得
由 得 或
【小问2详解】
，在中，则
.
当时， 由正弦定理， 得 ，
，
当时， 由正弦定理， 得
18. 已知数列满足
（1）求证: 为等比数列；
（2）数列的前n项和为，求数列 的前n项和.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）变形给定等式，再利用等比数列定义判断得解.
（2）由（1）求出数列的通项公式及前n项和，再利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
数列中，，则，
而，即，
所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列..
【小问2详解】
由（1）知，，，，
，
所以数列 的前n项和.
19. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，，O为AD中点，
（1）求证：平面平面PAC；
（2）求平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先由得到，再由已知面面垂直得到，最后由面面垂直的判定定理可证明；
（2）建系，分别求出平面PBC和平面PAB的法向量，代入空间二面角的余弦公式算出即可.
【小问1详解】
因为，
所以，则，
所以，
且O为AD中点，所以.
因为平面平面ABCD，平面平面，平面，
平面，
又因为平面ABCD，所以.
又因为，且两条直线都在平面POB内，所以平面POB，
因为平面PAC，所以平面平面PAC.
【小问2详解】
以O为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
设为平面PAB的法向量，
由得，设，则
同理可设平面PBC的法向量
由得，取，则
所以平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值为
20. 某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500 家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图.
（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01);
（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽取5 家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96,100]的企业数为 Y，求 Y的分布列与数学期望；
（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布， 其中μ近似为50 家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得 ，利用该正态分布，估计该市500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数).
附参考数据与公式： 则 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
【答案】（1）84.80分，中位数84.67分；
（2）分布列见解析，1；
（3）11家
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可求解；
（2）利用频率分布直方图的性质及根据已知条件求出随机变量的取值，利用古典概型的概率公式求出随机变量相应取值的概率，进而得出随机变量的分布列，利用期望公式即可求解；
（3）根据已知条件及正态分布的性质即可求解.
【小问1详解】
这 50家食品生产企业考核成绩的平均数为：
由频率分布直方图得内，
解得中位数 (分) .
【小问2详解】
这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有
家，
其中考核成绩在内的企业有家，
由题意可知，的可能取值为，
,
,
,
∴Y的分布列为：
.
【小问3详解】
由题意得,
,
∴ (家) ，
∴估计该市 500家食品生产企业质量管理考核成绩高于 95.32分的有11家.
21. 设函数
（1）当时，求曲线在处的切线方程;
（2）当 时，求证：有且仅有两个零点.
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题求出，即可得出该切线方程；
（2）由为偶函数，，可知有且仅有两个零点等价于在有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出.
【小问1详解】
当时，，
又，
∴曲线在处的切线方程为，
即
【小问2详解】
的定义域为.
∴为偶函数，
∵，
∴有且仅有两个零点等价于在有且只有一个零点.
∵，
当时， ， 恒成立，
∴在上单调递减
∴在上有且只有一个零点.
当 时， 令， 即，
可知存在唯一使得，
当或时， ， 函数单调递增；
当时，， 函数单调递减.
由 可得
当
∴在上有且只有一个零点.
综上，当 时，有且仅有两个零点
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、由为偶函数，，可知有且仅有两个零点等价转化为在有且只有一个零点，是解决本题的关键.
22. 已知椭圆 （）的右焦点为，且经过点
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）已知直线的方程，过点 的直线(不与轴重合)与椭圆相交于两点，过点作，垂足为
①求证：直线过定点，并求出定点的坐标；
②点为坐标原点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析，；②
【解析】
【分析】（1）根据点点距离公式以及椭圆的定义可得即可求解得解，
（2）①联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据点斜式求解直线的方程为 由于定点在轴上，令，代入化简即可求解，②根据弦长公式以及点到直线距离公式可得利用换元法令 则 ，结合对勾函数的单调性即可求解面积的最值.
【小问1详解】
由题意可得椭圆的左焦点为，
由椭圆定义得
∴椭圆C的方程为
【小问2详解】
由对称性，若直线过定点，则该定点必在轴上，
①设直线的方程为，
由 得 （1）
设，
且
∴直线的方程为
令， 得 （2）
将 代入（2）， 则
故直线过定点 即定点
②在（1） 中，
又直线过定点
令 则
在上单调递减，
故当时,
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点
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