2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用高考大题规范解答__高考中函数与导数问题的热点题型提能训练

这是一份2025版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用高考大题规范解答__高考中函数与导数问题的热点题型提能训练，共5页。试卷主要包含了设函数f＝ex－ax－2.，已知函数f＝ex.等内容，欢迎下载使用。
1．设函数f(x)＝ex－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．
[解析] (1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．
当a>0时，令f′(x)ln a，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．
(2)由题设可得(x－k)(ex－1)＋x＋1>0，
即k0)恒成立，
令g(x)＝eq \f(x＋1,ex－1)＋x(x>0)，得g′(x)＝eq \f(ex－1－x＋1ex,ex－12)＋1＝eq \f(exex－x－2,ex－12)(x>0)．
由(1)的结论可知，函数h(x)＝ex－x－2(x>0)是增函数．
又因为h(1)0，
所以函数h(x)的唯一零点α∈(1,2)(该零点就是h(x)的唯一零点)．
当x∈(0，α)时，g′(x)0，
所以g(x)min＝g(a)＝eq \f(α＋1,eα－1)＋α.
又h(α)＝eα－α－2＝0，
所以eα＝α＋2且α∈(1,2)，
则g(x)min＝g(a)＝1＋a∈(2,3)，
所以k的最大值为2.
2．已知函数f(x)＝ex.
(1)若f(x)≥ax＋1，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)＝x＋ln x，求证：g(x)－xex＋1≤0.
[解析] (1)f(x)≥ax＋1，化为ex－ax－1≥0，
令u(x)＝ex－ax－1，
则u′(x)＝ex－a，
当a≤0时，u′(x)＝ex－a>0，函数u(x)在R上单调递增，
而u(0)＝1－1＝0，因此x0，当x0，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∀x∈(a－eq \r(a2－1)，a＋eq \r(a2－1))，x2－2ax＋10，f(x)单调递增．
综上所述：①当01时，f(x)在(0，a－eq \r(a2－1))和(a＋eq \r(a2－1)，＋∞)上单调递增，在(a－eq \r(a2－1)，a＋eq \r(a2－1))上单调递减．
(2)证明：∵f(1)＝eq \f(1,2)－2a，
∴f(m)＋f(n)＝1－4a＝2f(1)，
由(1)可知0