知识必备11图形的对称、平移与旋转（知识清单+易错清单+15个考试清单真题专练）-2024年中考数学考点必备

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易错点： 图形经历多次旋转时,要关注每次旋转的旋转中心,旋转角,否则易于出错.
【例1】如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转,则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( ).
A. πB. 13π C. 25πD. 25
【解析】 连接BD,B'D,首先根据勾股定理计算出BD长,再根据弧长计算公式计算出的长,然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可.
连接BD,B'D,
∵ AB=5,AD=12,
∴ BD==13.
【答案】 A
【误区纠错】 此题主要考查了弧长计算,以及勾股定理的应用,关键是掌握弧长计算公式
【变式1】．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，可得点，，在第二象限，，，，推出，可得结论．
【详解】解：在平面直角坐标系中，，，绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．
第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为，
∴；
第二次变化后得列等腰三角形，点的对应点为，；
∴；
第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；
∴；
……
由图可知：
绕点每次顺时针旋转，并且腰长增加1，
∴旋转三次完成一周，故点，，，……在第三象限，
，，，……
，，
∴，
∴点到轴距离为，到轴距离为
，，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
【变式2】．（2022·河南信阳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，将线段作以下变换：以点为旋转中心，将的长变为两倍并逆时针旋转得到，连接；以点为旋转中心，将的长变为两倍并逆时针旋转得到，连接；……依此规律得到线段，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先在图上大致画出变化的结果，发现规律，即可得到答案．
【详解】
根据题意：
，
，
，
，
在中，
，
故选：C．
【点睛】本题考找规律，注意最后用勾股定理求解．
【变式3】．（2022·广东中山·统考三模）如图，在矩形ABCD中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，，的长，从而可发现规律，根据规律即可求得．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，，，
∴，
∴．
∵按逆时针方向作矩形ADCB的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形ADCB的边长的比为，
即，
∴，
∴ ，
依此类推，．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
【变式4】．（2022·河南·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，OA1＝OB1，∠A1OB1＝120°，将ΔA1OB1绕点O顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为120°的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形A2OB2，点A1（1，0）的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形A3OB3，点A2的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形A4OB4，点A3的对应点为A4（4，0）⋯⋯依此规律，则第2022个等腰三角形中，点B2022的坐标是（ ）
A．（2022，0）B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用循环的规律，找到第2022个等腰三角形与第一个循环的图形的第几个位置相同，再根据第一个循环中的点坐标进行求值即可．
【详解】解：由题意可知，旋转规律为4次一个循环，
即第2022次为：505个循环余2，
∴点B2022位置与B3相同，在第三象限，
∵B3坐标为，
∴点B2022坐标为，即为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是坐标系与几何图形的规律问题，准确找到循环规律是解题的关键．
【变式5】．（2022·河北唐山·统考二模）第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到；
第二次：作点关于x轴的对称点；
第三次：将点绕原点O逆时针旋转90°得到；
……
第四次：作点关于x轴的对称点；
按照这样的规律，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】由题意可得：，，，，，
4次一个循环，
，
坐标与相同，即坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查旋转变换，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法．
【变式6】．（2022·四川成都·四川师范大学附属中学校考模拟预测）如图，在等腰中，已知，，且边在直线上．将绕点顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；···，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则 ．
【答案】/
【分析】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出AP1＝，AP2＝1+，AP3＝2+，AP4＝2+2，AP5＝3+2，AP6＝4+2，每三个一组，进而找到规律即可．
【详解】解：观察图形的变化可知：
AP1＝；
AP2＝1+；
AP3＝2+；
AP4＝2+2；
AP5＝3+2；
AP6＝4+2＝2（2+）；
…．
发现规律：
AP3n＝n（2+）；
AP3n+1＝n（2+）+；
AP3n+2＝n（2+）++1．
∴AP2022＝AP674×3＝674（2+）＝1348+674．
故答案为：1348+674．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等，根据题意得出规律是解题的关键．
【变式7】．（2022·山东潍坊·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形，且……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
，
，
将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，
再将Rt△绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，
每4次循环一周，，，，，
，
点与同在一个象限内，
点，．
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律及等腰直角三角形的性质，得出点坐标变化规律是解题关键．
【变式8】．（2020·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是 ．
【答案】22020
【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【详解】∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，
…
则第2020个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
【变式9】．（2023·四川广安·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，且．将正方形绕原点顺时针旋转，并放大为原来的倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点顺时针旋转，并放大为原来的倍，使，得到正方形，以此规律继续进行下去，得到正方形，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】先求出，再按规律进行求解，找出次循环一周坐标变化规律即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
，
，
，，，，
由题意得：每4次循环一周，
，
点与在同一个象限内，
点．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，点的坐标循环规律探究问题，找出循环规律是解题的关键．
【变式10】．（2023·四川资阳·统考一模）已知矩形按如图方式放置，且，将矩形OABC绕点C顺时针旋转至矩形处时，为第一次旋转；将矩形绕点顺时针旋转至矩形处时，为第二次旋转；将矩形绕点顺时针旋转至矩形处时，为第三次旋转；…，按此规律，旋转2023次后，所得矩形中右上角顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意得出每次旋转后矩形中右上角顶点的坐标变化规律，进而得出旋转2023次后，所得矩形中右上角顶点的坐标，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，且，
∴，
∵第一次将矩形绕右下角顶点C顺时针旋转得到矩形，且，
第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且…，依此规律可得每旋转4次后矩形中右上角顶点的位置重复出现，即
又，
∴旋转2023次后，所得矩形中右上角顶点的横坐标为，纵坐标为1，
即
故答案为．
【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出矩形中右上角顶点的坐标变化规律是解题关键．
【变式11】．（2022·湖北黄冈·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，，点A与坐标原点重合，点C在x轴正半轴上，将绕点C顺时针旋转一定的角度后得到，使得点B对应点在x轴上，记为第一次旋转，再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在x轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为 ．
【答案】
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据AB=AC=5，BC=8，得到BD=CD=BC=4，推出，根据，，，，，，,…，得到每3次是一个循环组，根据，得到在竖直方向的位置与的位置相同，纵坐标为3，第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为，得到第2023次旋转后钝角顶点坐标为．
【详解】过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=8,
∴BD=CD=BC=4，
∴，
由题意，，，，，，,…，
每3次是一个循环组，，
∴在竖直方向的位置与的位置相同，纵坐标为3，
∴第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为，
∴第2023次旋转后钝角顶点坐标为．
故答案为（12141，3）
【点睛】本题主要考查了等腰三角形在坐标轴上无滑动的滚动，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练运用旋转性质探究滚动的循环组的规律，运用得到的规律解答．
一．轴对称图形（共2小题）
1．（2023•云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、是轴对称图形，故此选项符合题意；
、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的概念，熟知：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．
2．（2023•衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：、，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
二．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共4小题）
3．（2023•临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若，两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为，轴的平面直角坐标系内，若点的坐标为，则点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案．
【解答】解：若，两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为，轴的平面直角坐标系内，若点的坐标为，则点的坐标为．
故选：．
【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故选：．
【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握关于轴对称点的坐标特点是解题关键．
5．（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于轴成轴对称的△，再把△平移后得到△．若，则点坐标为
A．B．C．D．
【分析】先根据轴对称的性质求出，，的坐标，根据平移的性质即可求出的坐标．
【解答】解：，，关于轴对称的点的坐标为，，，
又，
平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
点坐标为，即．
故选：．
【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，坐标与图形变化平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．
6．（2023•金华）如图，两盏灯笼的位置，的坐标分别是，，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点，的位置描述正确的是
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于直线对称
【分析】根据平移规律确定的坐标即可得出结论．
【解答】解：点由点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到
此时坐标为．
与关于轴对称．
故选：．
【点评】本题考查了点的平移规律以及点的对称性，掌握规律轻松解答，属于基础题型．
三．作图-轴对称变换（共1小题）
7．（2023•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段关于直线对称的线段；
（2）将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；
（3）描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据平移的性质画出图形即可；
（3）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可．
【解答】解：（1）线段如图所示；
（2）线段如图所示；
（3）直线即为所求．
【点评】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了线段垂直平分线的性质．
四．利用轴对称设计图案（共1小题）
8．（2023•泰州）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
五．翻折变换（折叠问题）（共5小题）
9．（2023•浙江）如图，已知矩形纸片，其中，，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．则的长为
A．B．C．D．
【分析】过点作于点，根据勾股定理求得，由折叠可知，，，进而得出，，利用等角的余角相等可得，则，于是可得，由等腰三角形的性质可得，易证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，过点作于点，
四边形为矩形，，，
，，
在中，，
根据折叠的性质可得，，，，，
，
为等腰三角形，，
，
，
，
为等腰三角形，，
，
，
，，
，
，
，即，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据矩形和折叠的性质推理论证出，以此得出点为的中点是解题关键．
10．（2023•襄阳）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接．若于点，，则的长为 ．
【分析】取中点，连接，作，，设，由折叠的性质得到，得到，从而推导出，由三角形中位线定理得到，从而推导出，得到四边形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．
【解答】解：取中点，连接，过点作于点，于点．
设，，则．
，
，，．
又由折叠得，，
，
，即，
，
解得：，
，
是中点，，
是的中位线，
，
，
由折叠知，，
在和中，
，
，
．
，
，
．
又，且，
，
，
四边形是正方形，
，
．
在中，，
，
解得：，
，，即，，
在中，．
【点评】本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，解答本题的关键是设边长，根据勾股定理列方程求解．
11．（2023•辽宁）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 或 ．
【分析】分两种情况，一是点在直线的下方，则，所以，则；二是点在直线的上方，则，所以，于是得到问题的答案．
【解答】解：当点在直线的下方，如图1，
，
，
，
将三角形纸片沿对折，使点落在点处，
，
，
；
当点在直线的上方时，如图2，
，
，
将三角形纸片沿对折，使点落在点处，
，
，
故答案为：或．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，正确地求出的度数是解题的关键．
12．（2023•徐州）如图，在中，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．
【分析】由折叠性质可知，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．
【解答】解：，，
，
由折叠的性质可知，
，
当、、三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为，
故答案为．
【点评】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系是解题的关键．
13．（2023•成都）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则 ．
【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，，，则，在 中，，在中 ，则 ，解方程求得 ，则 ，，用勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解．
【解答】解：过点作于，如图，
平分交于点，，
，，
，
，
将沿折叠得到，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
设，，则，，
，
，
在中，，
在中，，
，
即，
解得：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
六．胡不归问题（共1小题）
14．（2023•湘西州）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点作于点，点为线段上一动点（点不与，重合），则的最小值为 6 ．
【分析】过点作，连接并延长交于点，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【解答】如图所示，过点作，连接并延长交于点，连接
是等边三角形，，
，
是等边三角形的外接圆，其半径为4，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
的最小值为的长度，
是等边三角形，，，
，
的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
七．利用平移设计图案（共1小题）
15．（2023•郴州）下列图形中，能由图形通过平移得到的是
A．B．
C．D．
【分析】根据平移的定义逐个判断即可．
【解答】解：由平移定义得，平移只改变图形的位置，
观察图形可知，选项中图形是由图形通过平移得到，
，，均不能由图形通过平移得到，
故选：．
【点评】本题考查了平移的性质的应用，熟练掌握平移的性质是解题关键．
八．生活中的旋转现象（共1小题）
16．（2023•金昌）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留
【分析】根据弧长公式直接代入数值求解．
【解答】解：（米．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了学生对弧长公式的掌握情况，难度不大，认真计算即可．
九．旋转的性质（共6小题）
17．（2023•无锡）如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于
A．B．C．D．
【分析】由旋转的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可求，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：将逆时针旋转，得到，
，，，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
18．（2023•天津）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
【分析】由旋转的性质可得，，由三角形内角和定理可得．
【解答】解：如图，设与的交点为，
把以点为中心逆时针旋转得到，
，，
又，
，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
19．（2023•通辽）如图，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数为
A．B．C．D．
【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：，，
，
将绕点逆时针旋转到，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
20．（2023•张家界）如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是 ．
【分析】依据为的平分线可知，，依据旋转的性质可知，旋转角为，代入数据即可得解．
【解答】解：为的平分线，，
，
依据旋转的性质可知，旋转角为，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键．
21．（2023•北京）在中，，于点，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：是的中点；
（2）如图2，若在线段上存在点（不与点，重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；
（2）延长到使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．
【解答】（1）证明：由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，即是的中点；
（2），
证明：如图，延长到使，连接，，
，
是的中位线，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
，是等腰三角形，
，
设，，则，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，即，
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
22．（2023•自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，，．
（1）将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；
（2）将绕顶点逆时针旋转（如图，求的长．
【分析】（1）以为圆心，长为半径画圆，连接交于，延长交圆于，由等腰直角三角形的性质，推出平分，，是中点，，即可求出、距离的最小值和最大值；
（2）连接，，作交延长线于，由等腰直角三角形的性质推出，，由旋转的性质得到，由直角三角形的性质得到，，由勾股定理即可求出．
【解答】解：（1）以为圆心，长为半径画圆，连接交于，延长交圆于，
是等腰直角三角形，是中点，
平分，，
是等腰直角三角形，
是中点，
，
、距离的最小值是，、距离的最大值是．
（2）连接，，作交延长线于，
是等腰直角三角形，是中点，
，
同理：，
绕顶点逆时针旋转，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查等腰直角三角形，勾股定理，旋转的性质，关键是以为圆心，的长为半径作辅助圆；通过作辅助线构造直角三角形．
一十．中心对称（共1小题）
23．（2023春•兴化市月考）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△与关于坐标原点成中心对称，则的坐标为 ．
（2）△的面积为 ．
（3）将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为 ．
【分析】（1）根据关于原点成中心对称的点的特征求救；
（2）利用割补法求三角形的面积；
（3）利用作图观察求解．
【解答】解：（1），
．
故答案为：．
（2）△的面积为：
故答案为：2.5．
（3）根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心．
所以旋转中心的坐标为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数图象与坐标的关系，结合三角形的面积，中心对称来求解是解题的关键．
一十一．中心对称图形（共2小题）
24．（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项、、都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
25．（2023•广西）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．
【解答】解：、图形是中心对称图形，符合题意；
、图形不是中心对称图形，不符合题意；
、图形不是中心对称图形，不符合题意；
、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
一十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
26．（2023•凉山州）点关于原点对称的点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故选：．
【点评】本题主要考查了关于原点的对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
一十三．坐标与图形变化-旋转（共4小题）
27．（2023•海南）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是
A．，B．，C．D．
【分析】作轴于，再利用旋转的性质求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理列式求出，然后求出点的横坐标，再写出点的坐标即可．
【解答】解：作轴于，
点的坐标为，
，
，
，，
，
，．
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，解直角三角形，求出、的长度是解题的关键．
28．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ．
【分析】分别过点、向轴作垂线，垂足分别为、．
（方法一）利用证明△，根据对应边相等求解；
（方法二）利用直角形中，互余的两个角的三角函数之间的关系求解．
【解答】解：分别过点、向轴作垂线，垂足分别为、．
（方法一），
．
又，
．
在和△中，
，
△，
，，
点的坐标为．
（方法二）根据题意，得．
，
．
，．
点的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查坐标与图形的变化旋转，利用图形之间长度与角的关系解题是本题的关键．
29．（2023•兰州）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点顺时针旋转，使，落在数轴上，点，在数轴上对应的数字分别为、，则 ．
【分析】利用正方形的面积求得，，根据旋转的性质得出，，从而求得．
【解答】解：正方形和正方形的面积分别为7和9，
，，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，数形结合是解题的关键．
30．（2023•宿迁）如图，是正三角形，点在第一象限，点、．将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至；以此类推，则点的坐标是 ．
【分析】首先画出图形，发现旋转3次为一循环，由此得到点在射线延长线上，点在轴正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，画出前4次旋转后点的位置，
由图象可得，点，在轴正半轴上，
旋转3次为一个循环，
，
点在射线延长线上，点在轴正半轴上，
，是正三角形，
由旋转的性质可得，，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，，，
，
，
，
由旋转的性质可得，，
如图，过点作轴于点，
，
，
，
，，
点的坐标是．
故答案为：．
【点评】本题考查了坐标与图形变化，旋转，勾股定理，等边三角形的性质等知识，正确确定每次旋转后，点与旋转中心的距离是解题的关键．
一十四．作图-旋转变换（共3小题）
31．（2023•达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将向下平移3个单位长度得到△，画出△；
（2）将绕点顺时针旋转90度得到△，画出△；
（3）在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积．
【分析】（1）按平移变换的性质分别确定，，平移后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
（2）按旋转变换的性质分别确定，，绕点顺时针旋转90度后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
（3）将扫过的面积用规则图形的面积和差表示，求出即可．
【解答】解：（1）△如图所示；
（2）△如图所示；
（3），
，
，
在（2）的运动过程中扫过的面积．
【点评】本题考查网格作图平移、旋转，以及网格中图形面积的计算，解题涉及平移的性质，旋转的性质，勾股定理，扇形面积公式，掌握平移、旋转的性质和网格中图形面积的计算方法是解题的关键．
32．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
（1）画出线段绕点顺时针旋转后得到的线段，连接；
（2）画出与关于直线对称的图形，点的对称点是；
（3）填空：的度数为 ．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点的对称点，从而得到；
（2）延长到点使，则满足条件；
（3）先根据旋转的性质得到，，则可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用对称的性质得到的度数．
【解答】解：（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）线段绕点顺时针旋转后得到的线段，
，，
为等腰直角三角形，
，
与关于直线对称，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
33．（2023•宁波）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中先画出一个以格点为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的△．
（2）将图2中的格点绕点按顺时针方向旋转，画出经旋转后的△．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义，平移变换的性质作出图形即可；
（2）根据旋转变换的性质作出图形即可．
【解答】解：（1）如图1，△即为所求；
（2）如图2，△即为所求．
【点评】本题考查作图旋转变换，平移变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
一十五．几何变换综合题（共5小题）
34．（2023•巴中）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点．
①的度数是 ．
② ．
（2）类比探究．如图2，在和中，，且，，连接、并延长交于点．
①的度数是 ；
② ．
（3）问题解决．如图3，在等边中，于点，点在线段上（不与重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，为的中点，为的中点．
①说明为等腰三角形．
②求的度数．
【分析】（1）（2）从图形可辩知，这个是手拉手全等或相似模型，按模型的相关结论解题．
（3）稍有变化，受前两问的启发，连接、完成手拉手的构造，再结合三角形中位线知识解题．
【解答】解：（1）①，
，
．
又，，
．
，
，
，
，
即：，
．
故的度数是．
②由①得，
．
故．
（2）①，，
，
又，
，
，．
，
．
，
，
．
故 的度数是．
②由①得：．
，
，且，
，
．
．
（3）①解：连接、，延长交于点，交于点．
在等边中，又于点，
为的中点，
又为的中点，为的中点，
、分别是、的中位线，
，．
，
．
．
在和中，
，
．
．
．
为等腰三角形．
②，
，
由（1）（2）规律可知：，
，
又，，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定及性质．方法灵活多变，需要较强的构造能力．
35．（2023•重庆）如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：；
（3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值．
【分析】（1）根据旋转的性质得出，，进而证明 ，即可得证；
（2）过点作，交点的延长线于点，连接，，证明四边形四边形是平行四边形，即可得证；
（3）如图所示，延长，交于点，由（2）可知是等边三角形，根据折叠的性质可得，，进而得出是等边三角形，由（2）可得 ，得出四边形是平行四边形，则．进而得出 ，则，当取得最小值时，即时，取得最小值，即可求解．
【解答】（1）证明：为等边三角形，
，，
将绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）证明：如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，，
是等边三角形，
，
，
，
垂直平分，
，
又，
，，
，
在的垂直平分线上，
，
在的垂直平分线上，
垂直平分，
，，
，
又，，
是等边三角形，
，
，
，
又，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
解法二：连接，证明，可得结论．
（3）解：依题意，如图所示，延长，交于点，
由（2）可知是等边三角形，
，
将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，
，，
，
是等边三角形，
，
由（2）可得，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
由（2）可知是的中点，则，
，
，
折叠，
，
，
又，
，
当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示，
，
，
．
解法二：由两次翻折，推得，则，
由，推出的最小值，只需要求出的最小值，
当时，的值最小，最小值为1，
的最小值为．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
36．（2023•贵州）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，，过点作射线，垂足为，点在上．
（1）【动手操作】
如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为 135 度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据题意画出图形，由，，得，而，即得；
（2）过作交于，证明是等腰直角三角形，得，，即可证，故；
（3）当在线段上时，过作交于，结合（2）可得；当在线段的延长线上时，过作交于，证明是等腰直角三角形，可得，，，，即可证，，根据，即得．
【解答】解：（1）画出图形如下：
，，
，
，
，
；
故答案为：135；
（2），理由如下：
过作交于，如图：
，
是等腰直角三角形，
，，
，即，，
，
，
，
；
（3）当在线段上时，过作交于，如图：
由（2）可知，，，
，
，
，
；
当在线段的延长线上时，过作交于，如图：
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，当在线段上时，；当在线段的延长线上时，．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
37．（2023•辽宁）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点．
（1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
【分析】（1）可证得，进一步得出结果；
（2）连接，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出；
（3）分为两种情形：当点在的延长线上时，作于，可得出，，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，，进一步得出结果．
【解答】解：（1）是等边三角形，点是的中点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）如图1，
仍然成立，理由如下：
连接，
和是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（3）如图2，
当点在的延长线上时，
作于，
，
，
，
，
，
由（2）知：，
，
，
，
，
如图3，
当点在上时，
作于，
由上知：，，
，
，
，
综上所述：或．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型．
38．（2023•辽宁）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点，重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）如图2，当点在线段上时，求证：；
（3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．
【分析】（1）连接，由，，得，根据线段绕点逆时针旋转，得到线段，有，，可得，从而，，知是等腰直角三角形，，故；
（2）由，，为的中点，得，，证明，得，根据，即得；
（3）由，设，则，分两种情况：当在线段上时，延长交于，由，得，而四边形是矩形，有，，根据勾股定理可得，故，，即得；当在射线上时，延长交于，同理可得．
【解答】（1）解：，理由如下：
连接，如图：
，，
，
线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，，
，
，
，，
直线，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）证明：如图，
，，为的中点，
，，
，
，
直线，直线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由，设，则，
当在线段上时，延长交于，如图：
由（2）知，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当在射线上时，延长交于，如图：
同理可得，
，
，
，
，，为的中点，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或．
【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定于性质，矩形的判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．