知识必备07 三角形（3大模块知识清单+10种方法清单+22个考试清单真题专练）-2024年中考数学考点必备

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方法1：角平分线模型
一．选择题（共1小题）
1．（2023•衢州）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点．连结并延长，交于点．连结，．添加下列条件，不能使成立的是
A．B．C．D．
二．填空题（共1小题）
2．（2023•济宁）如图，是边长为6的等边三角形，点，在边上，若，，则 ．
三．解答题（共1小题）
3．（2023•黄石）如图，为的直径，和相交于点，平分，点在上，且，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）已知，求的值．
方法2：三角形的外心与外接圆有关问题
一．选择题（共2小题）
1．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，求的长度为何
A．4B．5C．D．
2．（2023•江汉区模拟）如图，为直径，点在圆上，为内心，交于点，，则的值是
A．B．C．D．
二．填空题（共2小题）
3．（2023•滨海县模拟）如图，等边内接于，，则图中阴影部分的面积等于 ．
4．（2023•黑龙江模拟）如图，是的外接圆，，于点，，则的长为 ．
三．解答题（共1小题）
5．（2023•枣庄二模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
方法3：三角形的内心与内切圆有关问题
一．选择题（共2小题）
1．（2023•汉阳区校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内能容纳的最大圆的直径是多少？”你的答案是
A．3步B．4步C．6步D．17步
2．（2023•凤阳县二模）如图，是等腰的外接圆，为弧 上一点，为的内心，过作，垂足为，若，则的值为
A．4B．C．2D．
二．填空题（共2小题）
3．（2023•霍林郭勒市二模）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为1，大正方形的面积为64，则小正方形的边长为 ．
4．（2023•海安市模拟）如图，中，，，，为的内心，若、分别是斜边和直角边上的动点，连接、，则的最小值为 ．
方法4：一线三等角构造全等模型
一．选择题（共2小题）
1．（2023•平阳县一模）如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点作于点，交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，交于点．若，，则的长为
A．6B．C．7D．
2．（2023•翼城县一模）如图，内接于圆，已知，，顶点，，恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
二．填空题（共2小题）
3．（2023•乌当区模拟）如图，四边形的对角线和相交于点，若，且，，，则的长为 ．
4．（2023•南谯区校级一模）如图，在矩形中，，分别为，上一点，，，若，矩形的周长为26，则矩形的面积为 ．
三．解答题（共5小题）
5．（2023•怀化三模）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点在上，已知，．
（1）求证：；
（2）求的长．
6．（2023•承德二模）如图1，经过的三个顶点，圆心在斜边上，，直径所对的弧长为长的3倍，将等腰的直角顶点放置在边上，于点．
（1） ；
（2）求证：；
（3）如图2，当点落在上时，求的长．
7．（2023•鄂伦春自治旗二模）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；
（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点的坐标．
8．（2023•潍坊三模）如图1，将一个等腰直角三角尺的顶点放置在直线上，，，过点作于点，过点作于点．
观察发现：
（1）如图1，当，两点均在直线的上方时
①猜测线段，与的数量关系并说明理由；
②直接写出线段，与的数量关系；
操作证明：
（2）将等腰直角三角尺绕着点逆时针旋转至图2位置时，线段，与又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；
拓广探索：
（3）将等腰直角三角尺绕着点继续旋转至图3位置时，与交于点，若，，请直接写出的长度．
9．（2023•郑州一模）在正方形中，是边上一点（点不与点，重合），，垂足为点，与正方形的外角的平分线交于点．
（1）如图1，若点是的中点，猜想与的数量关系是 ；证明此猜想时，可取的中点，连接．根据此图形易证．则判断的依据是 ．
（2）点在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接，，若正方形的边长为1，直接写出的周长的取值范围．
方法5：手拉手模型-旋转型全等
一．选择题（共1小题）
1．（2023•浠水县一模）如图，在正方形外取一点，连接、、．若，．则的最大值为
A．B．C．5D．6
二．填空题（共3小题）
2．（2023•武侯区模拟）如图，将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点落在边的延长线上，若，，则线段的长为 ．
3．（2023•娄底模拟）如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到，使得、、三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接，以下结论正确的是： ．
①；②；③点是线段的黄金分割点；④．
4．（2023•鞍山）如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在，上分别截取，，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点．若，，则的长为 ．
三．解答题（共1小题）
5．（2023•巴中）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点．
①的度数是 ．
② ．
（2）类比探究．如图2，在和中，，且，，连接、并延长交于点．
①的度数是 ；
② ．
（3）问题解决．如图3，在等边中，于点，点在线段上（不与重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，为的中点，为的中点．
①说明为等腰三角形．
②求的度数．
方法6：倍长中线模型
一．填空题（共1小题）
1．（2023•岱岳区二模）如图，在中，，为中点，，，，则 ．
二．解答题（共5小题）
2．（2023•兴宁区校级模拟）【模型启迪】
（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为 ，位置关系为 ；
【模型探索】
（2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：；
【模型应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长．
3．（2023•抚州三模）课本再现：
（1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质．
如图（1），在中，点，分别是，的中点，连接．则与的关系是 ．
定理证明
（2）请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程．
定理应用
（3）如图（2），在四边形中，点，，分别为，，的中点，，的延长线交于点．若，则的度数是 ．
（4）如图（3），在矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，点是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值．
4．（2023•蜀山区校级一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接．
（1）若，，求的长；
（2）求证：；
（3）求证：．
5．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，中，在上，在上，，在上，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，在上，，求证：；
（3）如图3，若，，，当周长最小时，请直接写出的面积．
6．（2023•南关区校级二模）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得，，再连接（或将绕点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【解决问题】如图②，在中，点是边的中点，点在边上，过点作，交边于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，则线段、、之间的等量关系为 ．
（3）【应用拓展】如图③，在中，，点为边的中点，点和点分别在边、上，点为线段的中点．若，，则的长为 ．
方法7：平行线+线段中点构造全等模型
一．选择题（共2小题）
1．（2023•灞桥区校级三模）如图，在中，延长至点，使，连接交于点，交于点，则的值是
A．B．C．D．
2．（2023•崇川区校级三模）如图，边长为的等边中，是上中线，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是
A．B．C．D．
二．填空题（共4小题）
3．（2023•泰山区校级三模）如图，已知，于，于，，．点是的中点，则的长是 ．
4．（2023•山西模拟）如图，在中，，，是的中点，是的中点，则的长为 ．
5．（2023•东莞市三模）如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于．下列结论：①且；②；③；④连接，当为边的中点时，值为，其中正确的结论有 ．
6．（2023•洪山区模拟）如图，在中，是的中点，为上一点，且，连结，若，，则的长为 .
三．解答题（共2小题）
7．（2023•射洪市校级一模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为40．求的长．
8．（2023•大安市三模）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，，在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题．（不需证明）
【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论．
【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，则的长为 ．
方法8：角平分线+垂直构造全等模型
一．选择题（共2小题）
1．（2023•雁塔区校级模拟）如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为
A．B．C．D．
2．（2023•定远县校级一模）如图所示，是的边的中点，平分，于点，且，，则的长是
A．12B．14C．16D．18
二．填空题（共2小题）
3．（2023•南岗区校级二模）如图，在矩形中，是中点，是上一点，且，于点，若，，则的长为 ．
4．（2023•随州）如图，在中，，，，为上一点，若是的角平分线，则 ．
三．解答题（共2小题）
5．（2023•武陟县一模）如图，在中，，点是边上一点，，于点，交于点，若，，求的长．
6．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，在中，，点为边上一点，连接．
（1）如图1，若，，，求线段的长；
（2）如图2，若，为边上一点且，为上一点且，为的中点，连接，，，．猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，当，时，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．点、点分别是线段、上的两个动点，连接、．点为延长线上一点，连接，将沿直线翻折到同一平面内的，连接．在、运动过程中，当取得最小值且，时，请直接写出四边形的面积．
方法9：正方形中的半角模型
一．填空题（共2小题）
1．（2023•衡山县二模）如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为 ．
2．（2023•庐江县二模）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．
（1）若正方形的边长为2，则的周长是 ．
（2）若，则 ．
二．解答题（共3小题）
3．（2023•增城区二模）在正方形中，点、分别在边、上，且，连接．
（1）如图1，若，，求的长度；
（2）如图2，连接，与、分别相交于点、，若正方形的边长为6，，求的长；
（3）判断线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论．
4．（2023•明水县二模）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、．当绕点旋转到时（如图，易证．
（1）当绕点旋转到时（如图，线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段、和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
5．（2023•昆明模拟）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：
如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，交于点，求证：．
数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：
由正方形的性质得到，，
再由垂直和平行可知，
再利用同角的余角相等得到，
则可根据“”判定，
得到，所以．
【建立模型】
该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：
（1）如图2，四边形是正方形，，是对角线上的点，，连接，．
求证：四边形是菱形；
【模型拓展】
该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；
（2）如图3，若正方形的边长为12，是对角线上的一点，过点作，交边于点，连接，交对角线于点，，求的值．
方法10：等腰三角形中的半角模型
一．填空题（共2小题）
1．（2023•衡山县二模）如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为 ．
2．（2023•长春模拟）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的和，点、、依次在同一条直线上，连接．若，，则点到直线的距离为 ．
二．解答题（共3小题）
3．（2023•昌平区二模）在等边中，点是中点，点是线段上一点，连接，，将射线绕点顺时针旋转，得到射线，点是射线上一点，且，连接，．
（1）补全图形；
（2）求度数；
（3）用等式表示，的数量关系，并证明．
4．（2023•大连模拟）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，点在边上，于交于，．求证．
独立思考：（1）请解答王师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，作于点，若，探究线段与之间的数量关系，并证明．”
问题解析：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点与点重合时，连接，若给出的值，则可求出的值．该小组提出下面的问题，请你解答．”
如图3，在（2）的条件下，当点与点重合时，连接，若，求的长”．
5．（2023•南岗区二模）圆内接，是圆的切线，点为切点，．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，当为直径，点在弧上，连接、、时；求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点，连延长与交于点，，，求的长．
一．三角形的面积（共1小题）
1．（2023•辽宁）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．
二．三角形的稳定性（共1小题）
2．（2023•吉林）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
三．三角形的重心（共3小题）
3．（2023•怀化）下列说法错误的是
A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B．一元二次方程有两个相等的实数根
C．任意多边形的外角和等于
D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
4．（2023•巴中）如图，在中，，，、分别为、中点，连接、相交于点，点在上，且，则四边形的面积为
A．B．C．D．
5．（2023•浙江）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为6，则的面积为
A．12B．14C．18D．24
四．三角形三边关系（共2小题）
6．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6
7．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，，则的值可以是
A．1B．5C．7D．9
五．全等三角形的性质（共1小题）
8．（2023•北京）如图，点，，在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接．设，，，给出下面三个结论：
①；
②；
③．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
六．全等三角形的判定（共2小题）
9．（2023•甘孜州）如图，与相交于点，，只添加一个条件，能判定的是
A．B．C．D．
10．（2023•凉山州）如图，点、点在上，，，添加一个条件，不能证明的是
A．B．C．D．
七．全等三角形的判定与性质（共6小题）
11．（2023•长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
12．（2023•辽宁）如图，在中，，点为的中点，过点作交的延长线于点，若，，则的长为 ．
13．（2023•湖北）如图，，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点，交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
14．（2023•南通）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是 ．
15．（2023•淮安）已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．
16．（2023•遂宁）如图，四边形中，，点为对角线的中点，过点的直线分别与、所在的直线相交于点、．（点不与点重合）
（1）求证：；
（2）当直线时，连结、，试判断四边形的形状，并说明理由．
八．角平分线的性质（共1小题）
17．（2023•绵阳）如图，在中，点，，，为圆周的四等分点，为切线，连接．并延长交于点，连接交于点．
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，求的值．
九．线段垂直平分线的性质（共1小题）
18．（2023•台湾）如图，中，点在上，且的中垂线与相交于点，的中垂线与相交于点，已知的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确
A．，B．，
C．，D．，
一十．等腰三角形的性质（共6小题）
19．（2023•眉山）如图，中，，，则的度数为
A．B．C．D．
20．（2023•西宁）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 ．
21．（2023•吉林）如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点．若，则的大小为 度．
22．（2023•淮安）若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是 ．
23．（2023•锦州）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为 ．
24．（2023•大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．
（1）求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
一十一．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
25．（2023•山西）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．若，，，则的长为 ．
一十二．等边三角形的性质（共3小题）
26．（2023•绵阳）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则
A．B．6C．8D．
27．（2023•金昌）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则
A．B．C．D．
28．（2023•武汉）如图，平分等边的面积，折叠得到，分别与，相交于，两点．若，，用含，的式子表示的长是 ．
一十三．等边三角形的判定与性质（共1小题）
29．（2023•雅安）如图，四边形中，，，，交于点，，，则的长为 ．
一十四．直角三角形的性质（共2小题）
30．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是
A．B．C．D．
31．（2023•攀枝花）如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则 ．
一十五．含30度角的直角三角形（共1小题）
32．（2023•扬州）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是
A．1B．2C．6D．8
一十六．直角三角形斜边上的中线（共2小题）
33．（2023•赤峰）如图，在中，，，．点是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是
A．16，6B．18，18C．16，12D．12，16
34．（2023•郴州）如图，在中，，，，点是的中点，求 ．
一十七．勾股定理（共5小题）
35．（2023•德阳）如图，在中，，，，，点是边的中点，则
A．B．C．2D．1
36．（2023•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸．则的长是
A．寸B．25寸C．24寸D．7寸
37．（2023•泰州）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．
38．（2023•淮安）在四边形中，，，为内部的任一条射线不等于，点关于的对称点为，直线与交于点，连接、，则△面积的最大值是 ．
39．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，与轴正半轴相交于点，则点的横坐标是 ．
一十八．勾股定理的证明（共1小题）
40．（2023•乐山）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则
A．B．C．D．
一十九．勾股定理的应用（共2小题）
41．（2023•无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
42．（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．
二十．等腰直角三角形（共2小题）
43．（2023•丽水）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是
A．B．C．2D．1
44．（2023•沈阳）如图，在中，，，点在直线上，，过点作交直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．
二十一．三角形中位线定理（共4小题）
45．（2023•陕西）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为
A．B．7C．D．8
46．（2023•云南）如图，、两点被池塘隔开，、、三点不共线．设、的中点分别为、．若米，则
A．4米B．6米C．8米D．10米
47．（2023•广州）如图，在中，，，，点是边上一动点，点，分别是，的中点，当时，的长是 若点在边上，且，点，分别是，的中点，当时，四边形面积的取值范围是 ．
48．（2023•湖州）如图，在中，，于点，点为的中点，连结．已知，，求，的长．
二十二．三角形综合题（共12小题）
49．（2023•重庆）如图，是边长为4的等边三角形，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为．
（1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点，相距3个单位长度时的值．
50．（2023•重庆）如图，是边长为4的等边三角形，动点，均以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，沿折线方向运动，沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为秒，点，的距离为．
（1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点，相距3个单位长度时的值．
51．（2023•大庆）如图，在中，将绕点顺时针旋转至，将绕点逆时针旋转至，得到△，使，我们称△是的“旋补三角形“，△的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ①②③ ．
①与△面积相同；
②；
③若，连接和，则；
④若，，，则．
52．（2023•兰州）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点和，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．请写出平分的依据： ；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点，重合，则过角尺顶点的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到岔路口的距离和休息椅到岔路口的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
53．（2023•镇江）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，、分别表示门框和门所在位置，点、分别是、上的定点，，，、是定长，大小可变．
（1）图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数；
（2）图1中的门在开合过程中的某一时刻，点的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）在门开合的过程中，的最大值 ．
参考数据：，，．
54．（2023•常德）如图，在中，，是的中点，延长至，连接．．
（1）求证：；
（2）在如图1中，若，其它条件不变得到图2，在图2中过点作于，设是的中点，过点作交于，交于．
求证：①；
②．
55．（2023•镇江）已知，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点与点关于原点对称，直线、分别与轴交于点、，点在点的上方，．
（1）分别求点、的纵坐标（用含、的代数式表示），并写出的取值范围；
（2）求点的横坐标、纵坐标满足的数量关系（用含的代数式表示；
（3）将线段绕点顺时针旋转，、的对应点分别是、．当线段与点所在的某个函数图象有公共点时，求的取值范围．
56．（2023•广西）如图，是边长为4的等边三角形，点，，分别在边，，上运动，满足．
（1）求证：；
（2）设的长为，的面积为，求关于的函数解析式；
（3）结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
57．（2023•临沂）如图，，，，．
（1）写出与的数量关系．
（2）延长到，使，延长到，使，连接．求证：．
（3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
58．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度；
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度；
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③：①让小军站在斜坡的底端处不动（小军眼睛离地面距离，小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至处，让小军恰好能看到塔顶；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即．通过他们给出的方案，请你算出信号塔的高度（结果保留整数）．
59．（2023•河北）如图1和图2，平面上，四边形中，，，，．，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．
（1）若点在上，求证：；
（2）如图2，连接．
①求的度数，并直接写出当时，的值；
②若点到的距离为2，求的值；
（3）当时，请直接写出点到直线的距离（用含的式子表示）．
60．（2023•扬州）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和△，，，设．
【操作探究】
如图1，先将和△的边、重合，再将△绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．
（1）当时， ；当时， ；
（2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取的中点，将△绕着点旋转一周，点的运动路径长为 ．