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2024年湖南省郴州市桂阳县蒙泉学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）
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1. 在实数，，，中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
3. 我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截止2022年2月17日，湖南省免费接种数量已达亿剂次，将亿用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 54，55B. 54，54C. 55，54D. 52，55
6. 关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞2B. m＜2C. m＞4D. m＜4
7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（ ）
A. 18B. 17C. 16D. 15
9. 观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）
A. PQ为∠APB的平分线
B. PA=PB
C. 点A、B到PQ的距离不相等
D. ∠APQ=∠BPQ
10. 已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
11. 要使二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是________．
12. 一元一次方程2x+1=3的解是x=_____．
13 因式分解：__________．
14. 一个正多边形的每一个内角是，则这个正多边形的边数为______．
15. 为从甲乙两名射击运动员中选出一人参加竞标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，其中，他们射击的平均成绩为8.9环，方差分别是，从稳定性的角度看，_________的成绩更稳定．（填“甲”或“乙”）
16. 如图，在中，若，，，则______．
17. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为___________．
18. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则______．
三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分0分）
19. 计算：．
20. 先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
21. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有_____________名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为___________度；
（2）请你将条形统计图补全；
（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
22. 今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
23. 如图，灯塔位于港口北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．
（1）求的长；
（2）求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：）
24. 如图，是的直径，点C是上异于的点，连接，点D在的延长线上，平分，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若求的长．
25. 综合与实践
【问题情境】：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，其中，，将和图2所示方式摆放，其中点与点重合，（标记为点B）．当时，延长交于点G，试判断四边形的形状，并说明理由．
【数学思考】：（1）请你解答老师提出的问题；
【深入探究】：（2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题：
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
26. 【建立模型】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到、直线交x轴于点D．
①点C的坐标为______；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，直接写出点M的横坐标．
1. 在实数，，，中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
3. 我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截止2022年2月17日，湖南省免费接种数量已达亿剂次，将亿用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 54，55B. 54，54C. 55，54D. 52，55
6. 关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞2B. m＜2C. m＞4D. m＜4
7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（ ）
A. 18B. 17C. 16D. 15
9. 观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）
A. PQ为∠APB的平分线
B. PA=PB
C. 点A、B到PQ的距离不相等
D. ∠APQ=∠BPQ
10. 已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
11. 要使二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是________．
12. 一元一次方程2x+1=3的解是x=_____．
13 因式分解：__________．
14. 一个正多边形的每一个内角是，则这个正多边形的边数为______．
15. 为从甲乙两名射击运动员中选出一人参加竞标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，其中，他们射击的平均成绩为8.9环，方差分别是，从稳定性的角度看，_________的成绩更稳定．（填“甲”或“乙”）
16. 如图，在中，若，，，则______．
17. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为___________．
18. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则______．
三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分0分）
19. 计算：．
20. 先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
21. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有_____________名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为___________度；
（2）请你将条形统计图补全；
（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
22. 今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
23. 如图，灯塔位于港口北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．
（1）求的长；
（2）求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：）
24. 如图，是的直径，点C是上异于的点，连接，点D在的延长线上，平分，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若求的长．
25. 综合与实践
【问题情境】：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，其中，，将和图2所示方式摆放，其中点与点重合，（标记为点B）．当时，延长交于点G，试判断四边形的形状，并说明理由．
【数学思考】：（1）请你解答老师提出的问题；
【深入探究】：（2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题：
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
26. 【建立模型】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到、直线交x轴于点D．
①点C的坐标为______；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，直接写出点M的横坐标．
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