2024年广东省汕头市汕头金中华侨试验区实验学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，利用配方法直接求解即可得到答案，熟记配方法解一元二次方程是解决问题的关键．
【详解】解：，
配方可得，
故选：A．
3. 如图所示几何体的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：如图所示，几何体的左视图是：
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．
4. 在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸中哪种球的概率最大（ ）
A. 红球B. 黄球C. 白球D. 蓝球
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率的求法，因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大．
【详解】在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，
因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大，
摸到红球的概率是：
故选：A
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P (A) = ．
5. 如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】∵，
，，，
选项A、B、C错误，不符合题意；D正确，符合题意；
故选：D．
6. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．
【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．
7. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 图象分布在一、三象限
B. y随x的增大而减小
C. 图象与坐标轴无交点
D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴图象分布在一、三象限，在每一个象限内，随着增大而减小，
∵，
∴图象与坐标轴没有交点，
若点在它的图象上，则：，
∴点也在它图象上；
综上，错误的选项B．
故选B．
8. 在中，，，则的形状（ ）
A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得、，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，得，
，
故是锐角三角形，
故选：A．
9. 以原点O为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点C的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了位似图形的性质，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此即可求得答案．
【详解】解：在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，点的坐标为，
∴则点的坐标为：；
不在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，点的坐标为，
∴则点的坐标为：，
故选：D．
10. 如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2020，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A. ﹣6B. 6C. ﹣8D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），结合函数图象观察整个函数图象得到每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，而2020＝12×168+4，由此即可计算．
【详解】解：由y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），结合函数图象观察整个函数图象得到每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，
又∵2020＝12×168+4，
所以m的值等于x＝4时的纵坐标，
所以m＝﹣42+6×4＝8．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数与几何变换，解决此题的关键在于能根据函数图象发现规律：m的值等于x＝4时的纵坐标．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 若，则锐角______°．
【答案】45
【解析】
【分析】根据即可求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：45．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，熟记角的正弦值为是解题的关键．
12. 已知扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积是__________．
【答案】
【解析】
【详解】根据扇形的面积公式即可求解．
【分析】解：扇形的面积．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
13. 抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣3，0），则关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0的解是_____．
【答案】x1＝﹣3，x2＝1．
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性得到抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴的另一个交点坐标为（1，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题求解．
【详解】抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣3，0），
∴抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴关于x一元二次方程ax2+2ax+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．
故答案是：x1＝﹣3，x2＝1．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的对称轴和抛物线的性质；理解y=0时，ax2+bx+c=2（a≠0）得出x的值是解决问题的关键．
14. 某鱼塘养了200条鲤鱼、150条鲢鱼和若干条草鱼，通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若随机在鱼塘中捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设鱼塘养了x条草鱼，由题意易得，然后可得鱼塘总共鱼的条数，进而根据概率公式可求解．
【详解】解：设鱼塘养了x条草鱼，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴捞到鲤鱼的概率为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解数量的问题是解题的关键．
15. 如图，在等边△ABC中，，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
【详解】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝3，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝，
∴DQ＝，
∴DQ的最小值是，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理、线段最小值问题等知识点，找到最短线段出现的点是解答本题的关键．
三、解答题（共75分）
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，先将常数项移到方程右边，方程两边都加上一次项系数一半的平方，配方后再开方，得到两个一元一次方程，求解即可．
【详解】解：
移项得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
17. 计算：
【答案】-3
【解析】
【分析】先根据零次幂、绝对值、负整数次幂、特殊角的三角形函数值进行化简，然后计算即可．
【详解】解：
=1+ -1+(-3)-3×
=(-3)+ -
=-3．
【点睛】本题主要考查了零次幂、绝对值、负整数次幂、特殊角的三角形函数值等知识点，灵活应用相关概念成为解答本题的关键．
18. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．
求证：△ABC∽△EBD．
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：先根据垂直的定义得出∠EDB＝90°，故可得出∠EDB＝∠C．再由∠B＝∠B，根据有两个角相等的两三角形相似即可得出结论．
试题解析：
解：∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°．
∵∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠C．
∵∠B＝∠B，
∴∽．
点睛：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
19. 如图，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.
【答案】AB=2,BC= .
【解析】
【分析】要求AB和BC，由已知∠B、∠C为特殊角，故可构造直角三角形来辅助求解.过点A作AD⊥BC于D，首先在Rt△ACD中求出CD和AD，然后在Rt△ABD中求出BD和AB，从而BC=BD+DC可求.
【详解】
解：作三角形的高AD.
在Rt△ACD中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=.在Rt△ABD中,∠B=30°,AD=，
∴BD=，AB=.
∴CB=BD+CD=+.
故答案为AB=2, BC= .
【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理与特殊角的三角函数值.
20. 如图，一次函数y＝x＋b与反比例函数y＝ (k＜0)图象交于点A(－4，m)，B(－1，2)，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）填空：m= ，b= ，k= ；
（2）观察图象，直接写出在第二象限内x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若S△PCA=S△PDB，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）－4＜x＜－1 （3）
【解析】
【分析】（1）将点B代入反比例函数和一次函数即可求出k和b的值，再将点A代入求出的一次函数中求出m的值；（2）根据两函数图象的上下关系结合A、B的坐标，即可得出不等式的解集；（3）P是线段AB上的一点，设，分别表示△PCA和△PDB的面积，列出等式求解即可．
【小问1详解】
将B(－1，2)代入y＝x＋b 和y＝中，
解得，，k=-2,
∴一次函数为，
将A代入得，，
解得；
故答案为：；
【小问2详解】
根据两函数图象一次函数图象在反比例函数图象上方时，－4＜x＜－1；
【小问3详解】
P是线段AB上的一点，设，
，
，
∴，
∴,
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，利用待定系数法求函数解析式及反比例函数图象上点的坐标特征以及面积问题，掌握数形结合思想是解题的关键．
21. 某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表：
（1）求出关于售价函数关系式；
（2）设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
【答案】（1）
（2），当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键．
（1）设，待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可．
【小问1详解】
解：设，由题意，得：
，解得：，
∴；
【小问2详解】
由题意，得：，
∴当时，有最大值为，
∴当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大．
22. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E．作于点F，于点G．
（1）求证：是的切线，
（2）已知，，求的半径，
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题主要考查了圆切线的判定，垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定：
（1）连接，根据，得出，根据，，推出，进而得出，即可求证；
（2）根据垂径定理可得，通过证明四边形为矩形，可得，，设的半径为r，则，根据勾股定理列出方程求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，则，
∴，即是的切线．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴四边形为矩形，，
∴，，
设的半径为r，即
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，解得：．
∴的半径为5．
23. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为，点C的坐标为，直线1经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2），；（3）存在，或1．
【解析】
【分析】（1）将点，点代入中，即可求解析式；
（2）求出BC的直线解析式为，设，则，所以，即可求面积的最大值；
（3）设，①当时，，可求P点横坐标；②当时，，可求P点横坐标．
【详解】解：（1）将点，点代入中，
则有，
，
；
（2），
对称轴为，
轴，
，
，
点，点，
的直线解析式为，
设，
交线段BC于点F，
，
，
当时，四边形ECFD的面积最大，最大值为；
此时；
（3）设，
①当时，
，
，
，
，
点横坐标为1；
②当时，
，
，
或（舍），
点横坐标为．
综上所述：P点横坐标为或1．
【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形，边，分别与x轴，y轴的正半轴重合，点D是对角线上的一点，过点D作，交x轴于点E，点F在射线上，且，连接，设点D坐标为．
（1）若点D的坐标为，求所在直线的表达式；
（2）求的最大值；
（3）如图2，延长与直线交于点G，当为等腰三角形时，求点G坐标．
【答案】（1）
（2）的最大值为4
（3）或
【解析】
【分析】（1）过点D作于点H，根据点D的坐标，可求得点F的坐标，再根据待定系数法，可求得所在直线的表达式；
（2）先证明，得到，进一步得到，延长与交于点I，可求得，根据二次函数的性质即得答案；
（3）当点G在边上时（如图2），先证明，利用三角函数即可求得和的长，即得点G的坐标；当点G在边的延长线上时（如图3），同样可求得，再利用三角函数即可求得和的长，即得点G的坐标．
【小问1详解】
如图1，过点D作于点H，
，
，
，
，
，
设直线的表达式为，
，
，
直线的表达式为；
【小问2详解】
四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
延长与交于点I，
∴四边形是矩形，
依题意得，
，
，
，
当时，有最大值为4；
【小问3详解】
当点G在边上时（如图2），
，
，
，
，
，
，
，
；
当点G在边的延长线上时（如图3），
如图3，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，直角三角形的性质，二次函数的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识是解题的关键．
售价（元/件）
55
65
销售量（件/天）
90
70