四川省雅安市2023-2024学年高三下学期4月月考数学（理）试卷（Word版附解析）

这是一份四川省雅安市2023-2024学年高三下学期4月月考数学（理）试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容，若复数的实部为4，则点的轨迹是，函数是，若函数的值域为，则的取值范围是，已知函数，，则，的最小值为等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则B中元素的最大值为（ ）
A.4B.5C.7D.10
2.若圆C：与圆D：外切，则（ ）
A.2B.3C.4D.5
3.设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.若复数的实部为4，则点的轨迹是（ ）
A.短轴长为4的椭圆B.实轴长为4的双曲线
C.长轴长为4的椭圆D.虚轴长为4的双曲线
5.函数是（ ）
A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数
6.在平行四边形中，，且，则四边形的面积为（ ）
A.4B.C.8D.
7.若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.设的整数部分为，则数列的前20项和为（ ）
A.210B.211C.212D.213
9.已知函数，，则（ ）
A.当有2个零点时，只有1个零点
B.当有3个零点时，有2个零点
C.当有2个零点时，只有2个零点
D.当有2个零点时，有4个零点
10.的最小值为（ ）
A.B.5C.D.6
11.在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，与底面所成的角分别为，，且，则（ ）
A.B.C.D.
12.已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.一组样本数据12，15，12，13，18，10，16，19，15，12的众数为____________，中位数为___________.
14.若x，y满足约束条件则的取值范围是____________
15.对于1个字母串shanhushu，改变这个字母串中的字母位置顺序，可以得到___________个新的字母串.
16.已知定义在上的函数满足，，则___________.
三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.
（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关；
（2）在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社区任选3名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为X，求及X的数学期望.
参考公式：，
18.（12分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求A；
（2）若D为边上一点，且，证明：外接圆的周长为.
19.（12分）
如图，在直三棱柱中，，，D为的中点.
（1）证明：平面.
（2）若以为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.
20.（12分）
双曲线：上一点到左、右焦点的距离之差为6.
（1）求的方程.
（2）已知，，过点（5，0）的直线与交于M，N（异于A，B）两点，直线与交于点P，试问点P到直线的距离是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21.（12分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若，，且，证明：.
（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，曲线M的方程为，曲线N的方程为，其中m为常数.
（1）以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线M与N的直角坐标方程；
（2）设，曲线M与N的两个交点为A，B，点C的极坐标为，若的重心G的极角为，求的值.
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知.
（1）若，求b的取值范围；
（2）求的最大值.
2024届高三数学试题参考答案（理科）
1.C【解析】本题考查集合中的元素，考查逻辑推理的核心素养.
.
2.C【解析】本题考查圆与圆的位置关系，考查直观想象的核心素养.
依题意可得，解得.
3.D【解析】本题考查点、线、面的位置关系与充分必要条件的判定，考查空间想象能力与逻辑推理的核心素养.
如图1，当时，与不一定垂直.如图2，当时，m与n不一定垂直.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
4.C【解析】本题考查复数的运算与实部以及曲线与方程，考查数学运算的核心素养.
因为，所以，即，所以点的轨迹是长轴长为4的椭圆.
5.B【解析】本题考查三角函数的周期性与奇偶性，考查逻辑推理的核心素养.
因为，所以该函数为奇函数.因为，的最小正周期分别为，，所以的最小正周期为.
6.C【解析】本题考查平面向量，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
在平行四边形中，，，因为，所以四边形为矩形，又，所以四边形为正方形，所以四边形的面积为.
7.B【解析】本题考查对数函数、二次函数、一元二次不等式，考查逻辑推理的核心素养.
依题意可得要取遍所有正数，则，因为，所以，所以.
8.B【解析】本题考查数列的新定义与数列求和，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
，当时，，当时，，
所以则数列的前20项和为.
9.D【解析】本题考查函数的零点，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
作出，的大致图象，如图所示.由图可知，当有2个零点时，无零点或只有一个零点；当有3个零点时，只有1个零点；当有2个零点时，有4个零点.
10.B【解析】本题考查抛物线定义的应用，考查直观想象的核心素养及化归与转化的数学思想.
设，，，易知点P的轨迹是抛物线的上半部分.
.因为F为抛物线的焦点，所以等于P到抛物线的准线的距离，所以的最小值等于A到准线的距离，所以的最小值为5.
11.B【解析】本题考查线面角与三角恒等变换，考查直观想象与数学运算的核心素养.
设，，因为，所以，所以，.因为，所以，解得（负根已舍去）.
12.A【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想.
，的导函数为.
若，，在上单调递增，因为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，符合题意.
若，当时，，在上单调递增，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.
若，当时，，当时，，因为，所以，不符合题意.
若，当时，，，易得在递增，在上单调递减，不符合题意.
综上，的取值范围是.
13.12；14【解析】本题考查样本的数字特征，考查数据处理能力.
将这组数据按照从小到大的顺序排列为10，12，12，12，13，15，15，16，18，19，则这组数据的众数为12，中位数为.
14.【解析】本题考查简单的线性规划，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
作出约束条件表示的可行域（图略），当直线经过点时，取得最大值3，所以的取值范围是.
15.15119【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识.
因为字母串shanhushu有2个s，2个u，3个h，1个a，1个n，所以改变这个字母串中的字母位置顺序，可以得到个新的字母串.
16.【解析】本题考查抽象函数与数列的交汇，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
令，得.
设数列满足，，则，，
所以数列是首项为2，公比也为2的等比数列，则，则，
所以.
17.解：（1）2×2列联表如下.
，
所以有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关.
（2）在东小组的游客中，他们去青城山旅游的频率为，
所以乙社区游客去青城山旅游的概率为，所以，
则，
.
18.（1）解：因为，所以，
即，
又，所以.
因为，所以.
（2）证明：在中，由正弦定理，得，
则，
则.
设外接圆的半径为，则，
所以外接圆的周长为.
19.（1）证明：连接交于点E，
则E为的中点，
连接，因为为的中点，所以，
又平面，在平面，
所以平面.
（2）解：因为，为的中点，所以，
且.
因为以为直径的球的表面积为，所以，解得.
以为坐标原点，的方向为y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，，，
则
令，得.
设平面的法向量为，，
则令，得.
因为，
且由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
20.解：（1）依题意可得
解得，，
故的方程为.
（2）由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为，
设，，
联立得，
则，，.
直线：，直线：，
联立与，
消去得
，
解得，所以点在定直线上.
因为直线与直线之间的距离为，
所以点P到直线的距离为定值，且定值为.
21.（1）解：由，得，
则，.
故曲线在点处的切线方程为，即.
（2）证明：由，，且，不妨设，，，
则证明等价于证明，，
即证.
令，则，
当时，，单调递减，
故，，
即，，
则
.
要证，
只需证.
令，则.
令，得.
令，，则
令，，
则在上恒成立，
则，则在上恒成立，则单调递增.
当时，，则，则，单调递减，
当时，，则，则，单调递增.
因为，所以，即在上恒成立，从而.
22.解：（1）由，得，
则，
所以，所以曲线M的直角坐标方程为.
曲线N的直角坐标方程为.
（2）因为，所以曲线N的直角坐标方程为，代入，
得，
不妨设，，
依题意可得C的直角坐标为，则G的坐标为，
即.
因为重心G的极角为，所以，
解得.
23.解：（1）因为，所以且，
所以，则，
解得，
又，所以的取值范围为.
（2），
即，
当且仅当，时，等号成立.
，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为4+4=8.去峨眉山旅游
去青城山旅游
合计
东小组
西小组
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
去峨眉山旅游
去青城山旅游
合计
东小组
40
20
60
西小组
25
35
60
合计
65
55
120