（单元培优讲义）第五单元数学广角—鸽巢问题(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年六年级下册数学高频考点重难点讲义（人教版）

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抽屉原理
【知识点归纳】
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体．
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4＝4+0+0 ②4＝3+1+0 ③4＝2+2+0 ④4＝2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体．
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：
①k＝[nm]+1个物体：当n不能被m整除时．
②k=nm个物体：当n能被m整除时．
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数．
例：[4.351]＝4；[0.321]＝0；[2.9999]＝2；
板块二：典题精练
关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算．
1．红、黄、黑、白、绿五种颜色大小相同的球各4个放到一个袋子里，若要保证取到的两个球颜色相同，至少要取多少个球？
2．从1～20这20个自然数中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是2的倍数？
3．7个小朋友乘6只小船游玩，至少要有多少个小朋友坐在同一只小船里，为什么？
4．一副扑克牌(大、小王除外)，有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，至少要抽几张，才能保证有四张牌是同一花色的？
5．从1到2006中，至少要取出多少个奇数，才能保证其中必定存在两个数，他们的和为2008？
6．从13个连续的自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12的倍数。任意取多少个连续的自然数，才能保证至少有两个自然数的差是7的倍数？
7．六（1）班有个书架，40名同学可以任意借阅，试问书架上至少要多少本书，才能保证至少有一名同学能借到两本或两本以上的书？
8．加工一批零件，第一天加工了总数的，第二天比第一天多加工5个，这时已加工的与未加工的零件个数比是7∶5，这批零件共多少个？
9．把5双手套（手套分左、右手）放进暗箱里，要保证取出的手套中至少有1双，至少要取出几只手套？
10．体育老师把35个毽子分给4个班，总有一个班至少分到多少个毽子？
11．如图所示，盒子中有4种不同颜色的球，小华蒙着眼睛往外摸球，至少要摸出多少个，才能保证摸出的球至少有3种不同的颜色？
12．阳关小学学生的年龄最大13岁，最小6岁，至少需要从中挑选几名同学，才能保证有2名年龄相同的同学？
13．元旦时老师给表现最好的12个小朋友送贺卡，其中收到贺卡最多的小朋友至少收到5张贺卡，那么老师至少要准备多少张贺卡？
14．将相同质地和大小的红、黄、蓝三种颜色的彩球各5个放入一个盒子里。
（1）要保证取出的彩球至少有两种颜色，至少应取出几个球？
（2）要保证三种颜色都有，则至少应取出几个球？
15．爸爸比小明大28岁，爸爸今年的年龄是小明的3倍．小明今年几岁？
16．学校买来270本儿童图书，按4∶5借给五、六年级。每个年级各借了多少本？
17．做一个小正方体,两个面上写1,两个面上写2,两个面上写3．至少要抛多少次才能保证至少有3次朝上的面上的数字相同?
18．口袋里有红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个。小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸出1个球。他至少要摸出多少个球才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？
19．从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数？
20．7个小朋友相约去看电影，共有《哈利·波特》、《驯龙高手》、《功夫熊猫》三部电影可选择，每个小朋友可选一个电影组合（不重复的两部电影）观看，至少有几个小朋友选的电影组合相同？
21．把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？
22．一个盒子中装有2个白球，4个绿球，9个黑球，这些球除颜色外其他都相同，为保证取出的球中有两个球颜色不同，则至少要取出多少个球？
23．某班有23名同学订报纸，至少订一种报纸，最多可订三种报纸。已知报纸有A、B、C三种。
24．宁宁到舅舅家去做客。舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的水果，不过我要先考考你。盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共12个，其中柚子的个数是菠萝的2倍。随便拿出4个，其中至少有1个苹果，你知道这三种水果各有几个吗？”
25．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车，甲说：“我会开”乙说：“我不会开”丙说：“甲不会开”三人的话只有一句是真话。问会开车的是谁？
26．有5050张数字卡片，其中1张上面写着数字“1”，2张上面写着数字“2”，3张上面写着数字“3”，……，99张上面写着数字“99”，100张上面写着数字“100”。现在要从中任意取出若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张完全相同的数字，至少要抽出多少张卡片？
27．10封信投入3个信箱里，至少有4封信投入同一个信箱里，为什么？
28．有49名同学共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁．参加体操表演的学生是否一定有两个学生肯定是同年同月出生的？
29．有4个运动员练习投篮，一共投进了35个球，一定有1个运动员至少投进几个球？
30．小亮从家去植物园,如果骑车轮直径为56 cm的自行车,车轮要滚动1800周;如果改骑车轮直径为48 cm的自行车,车轮要滚动多少周?
31．同学们到图书馆借书，每人最多借5本，最少借1本。
（1）至少有几名同学去借书，就会有两名同学借书的本数一样多？
（2）如果有11名同学去借书，至少有几名同学借书的本数一样多？
32．把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？你知道吗？
33．在一次世界极限运动会中，意大利、法国、美国、加拿大分别有7名运动员参赛。
（1）至少几人报名参加滑板街道赛，可以保证有两人来自同一个国家？
（2）至少有几人参加极限单车比赛，可以保证有来自两个国家的运动员？
34．合唱队的30名同学要排成4行，总有1行至少要站8人．为什么？
35．一个盒子里有红、绿、黄三种颜色的玻璃球各12个．
（1）从盒子里至少摸几个玻璃球，才能保证一定有2个是同色的？
（2）从盒子里至少摸多少个玻璃球，才能保证一定有2个是不同色的？
36．把22个“三好学生”的名额分配给4个班，至少有一个班分到6个“三好学生”的名额，为什么？
37．一个布袋中有60块大小、形状相同的木块，编上号码1、2、3、4的各有15块。一次至少要摸出多少块木块，才能保证其中至少有3块的号码相同？
38．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？
39．10只苹果放进几个抽屉，才能保证至少一个抽屉有4只或4只以上的苹果？
40．11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
41．学校成立了音乐、舞蹈、剪纸社团，第一小组有8名同学报了这三个社团中的一个或几个。那么，这8个人中至少有几个人所报的社团是完全相同的？
参考答案：
1．6个
【分析】考虑最倒霉的情况，取出的前5个球颜色都不相同，再取一个无论是什么颜色，都可保证有两个球颜色相同，据此分析。
【详解】5＋1＝6（个）
答：至少要取6个球。
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
2．11个
【分析】1～20中2的倍数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，共10个2的倍数，不是2的倍数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，共10个不是2的倍数，最不利的情况是取出的前10个都不是2的倍数，再取一个一定是2的倍数。
【详解】10＋1＝11（个）
答：至少要取出11个不同的数。
【点睛】本题考查了抽屉原理，抽屉原理的解答思路，从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。
3．2个
【分析】把6只船看做6个抽屉，考虑最差情况：7个小朋友，最差情况是：每只船上分的人相等，7÷6＝1（人）……1（人）；那剩下1人，随便分给哪一只船，都会使得一只船分得1＋1＝2人，据此解答。
【详解】7÷6＝1（人）……1（人）；
1＋1＝2（人）；
答：至少要2个小朋友坐在同一只小船里。
【点睛】抽屉原理问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数（商）；然后根据：至少数＝商＋1（在有余数的情况下）求解。
4．13张
【详解】3×4＋1＝13(张)
5．503个奇数
【详解】从1到2006中总共有2006÷2=1003个奇数，3+2005=2008，5+2003=2008到1003+1005=2008，和为2008的奇数对有1003÷2=501对……1个．最坏的情况是一直取不到符合条件的奇数对，一直到不成对的全部取完，即每对只取一个；因此，第501+1+1=503个奇数一定能在之前取到的奇数中找到与其之和为2008的对应奇数．
答：至少要取出503个奇数才能保证其中必定存在两个数，他们的和为2008．
6．8个
【分析】因为余数相同的两数之差一定能被除数整除，此题可以先找出除以7的余数的所有情况分别为：0、1、2、3、4、5、6，这样就可以把它们看做7个抽屉，利用抽屉原理即可解决问题。
【详解】自然数除以7的余数为：0、1、2、3、4、5、6，因此7就把自然数分成了7类，
即：除以7余0、1、2、3、4、5、6，因此，可以把它看成是7个抽屉，
至少要有8个数，才能必然有一个抽屉里有两个数，而这两个数除以7的余数相同，也就是差是7的倍数，
答：根据上述分析，至少任意取8个连续的自然数，就能保证其中必有两个数，它们的差是7的倍数。
7．41本
【分析】把40个同学看做40个抽屉，要保证至少有1个学生拿到2本或2本以上的书，则书的数量应该是比学生数多1，即40+1=41，据此即可解答．
【详解】解：根据题干分析可得：40+1=41（本），
答：书架上至少要41本书，才能保证至少有一名同学能借到两本或两本以上的书．
8．420个
【分析】把这批零件的总个数看作单位“1”，第一天和第二天加工的零件总个数占这批零件总个数的，计算出第二天加工的零件个数占零件总个数的分率，根据“量÷对应的分率”求出这批零件的总个数，据此解答。
【详解】5÷（－－）
＝5÷[－（＋）]
＝5÷[－]
＝5÷
＝420（个）
答：这批零件共420个。
【点睛】本题考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。
9．6只
【分析】考虑最不利的情况，取出的5只手套要么都是左手，要么都是右手，此时是不符合要求的最大数量，但只要再取1个，一定是满足要求的。
【详解】先取出5个左手的手套或5个右手的手套，此时不符合要求；
5＋1＝6（只）
答：至少要取出6只手套。
【点睛】本题考查的是抽屉原理，要求符合要求的最小数量，可以先求出不符合要求的最大数量。
10．9个
【分析】本着尽量平均分配的原则是本题的关键思路。
【详解】35÷4＝8（个）……3（个）
8＋1＝9（个）
答：总有一个班至少分到9个毽子。
【点睛】此类“至少”题型只要进行除法计算，再将商加上1就可以得到结果。
11．10个
【分析】此题要从最差情况考虑：摸出5个红球、4个黑球共9个球，只有2种颜色的球，此时再摸出任意一个都会出现3种不同颜色的球，据此即可解答。
【详解】5＋4＋1＝10（个）
答：至少要摸出10个球，才能保证摸出的球至少有3种不同的颜色。
【点睛】此题考查抽屉原理的应用，注意考虑最差情况，从最极端情况分析。
12．9名
【详解】6岁到13岁共有8种年龄
8+1=9（名）
13．49张
【分析】此题中求至少要准备多少件礼物，即为“最不利原则”问题。收到最多贺卡的小朋友即“抽屉王”收到5张贺卡，则其他小朋友应收到：5－1＝4（张），根据抽屉原理：4×12＝48（张），再加上“抽屉王”多出的1张贺卡，则至少准备：48＋1＝49（张），所以老师至少准备49张贺卡。
【详解】5－1＝4（张）
4×12＝48（张）
48＋1＝49（张）
答：老师至少要准备49张贺卡。
【点睛】根据抽屉原理中的“最不利原则”进行分析是完成本题的关键。
14．（1）6个
（2）11个
【分析】利用极端思想从最差的情况考虑：
（1）任意取出全部1种颜色的彩球5个，再任意取出1种彩球，都能保证一定有两种彩球是不同色的。
（2）任意取出全部2种颜色的彩球5＋5＝10个，再任意取出1种彩球，都能保证一定有三种彩球是不同色的。
【详解】（1）5＋1＝6（个）
答：至少应取出6个球。
（2）5＋5＋1
＝10＋1
＝11（个）
答：则至少应取出11个球。
【点睛】考查了学生分析问题的能力，利用极端思想是解决此题的好方法。
15．14岁．
【详解】试题分析：运用差倍问题的解法，即差÷（倍数﹣1）=较小的数，由此即可求得小明今年的年龄．
解：28÷（3﹣1）
=28÷2
=14（岁）
答：小明今年14岁．
【点评】本题主要考查年龄问题，主要利用差倍问题来解决实际问题．
16．五年级120本；六年级150本
【分析】五年级借的图书数量占图书总数量的，六年级借的图书数量占图书总数量的，根据比的应用求出五六年级借的图书数量，据此解答。
【详解】五年级：270×＝120（本）
六年级：270×＝150（本）
答：五年级借了120本书，六年级借了150本书。
【点睛】掌握按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。
17．7次
【详解】3×2+1=7(次)
18．16个
【分析】要保证摸出的球每种颜色都有，则考虑最不利的情况，即拿出了其中3种颜色的全部球，在这种情况下，再拿一个球必能出现全部颜色的球。
【详解】3×5＝15（个）
15＋ 1＝16（个）
答：至少要摸出16个球。
【点睛】本题考查的是最不利原则，首先要找到不符合要求的最大数量，然后加上1，得到符合要求的最低数量。
19．33个
【分析】把构成倍数关系的数分成一组，既然要使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数，那么每一组中只能选出1个数。
【详解】利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组，如下：
（1，3，9，27，81），（5，15，45），（7，21，63），（11，33），（13，39），（17，51），（19，57），（23，69），（25，75），（29，87），（31，93），（35），（37），（41），（43），…，（97）共33组；
前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一个数；
即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数；
答：最多可以选出33个数。
【点睛】1~2n个自然数中，任意取出n＋1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从2，3…，2n＋1中任取n＋2个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从1，2，3…3n中任取2n＋1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是3倍；从1，2，3，…，mn中任取（m－1）n＋1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是m倍（m、n为正整数）。
20．3个
【分析】先列出所有可能的两组电影组合，再用抽屉原理将7个小朋友分配。
【详解】每个小朋友的观影方式有3种：《哈利·波特》和《驯龙高手》、《哈利·波特》和《功夫熊猫》、《驯龙高手》和《功夫熊猫》，相当于3个抽屉。
将7个小朋友看成苹果，根据平均分配的思想：7÷3＝2（个）……1（个），根据抽屉原理：2＋1＝3（个）。
答：至少有3个小朋友选的电影组合相同。
【点睛】本题考查抽屉原理。
21．41人
【分析】这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。本题可以变为：125件物品放入若干个抽屉，无论怎样放，至少有一个抽屉中放有4件物品，求最多有几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反，所以反着用抽屉原理2即可。由125÷（4﹣1）＝41……2知，125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。也就是说这个班最多有41人。
【详解】根据题干分析可得：125÷（4﹣1）＝41……2，即125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。
也就是说这个班最多有41人。
答：这个班最多有41人。
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用。
22．10个
【详解】9＋1＝10(个)
答：至少要取出10个球．
23．4人
【详解】23÷7＝3（人）……2（人）
3＋1＝4（人）
答：至少有4人订的报纸是完全相同的。
24．苹果有9个；菠萝有1个；柚子有2个
【分析】根据抽屉原理，随便拿出4个，其中至少有1个苹果，除苹果以外的其它水果共有3个，可知苹果有12－3＝9个，又因为柚子的个数是菠萝的2倍，且柚子与菠萝共有3个，可求得柚子有2个，菠萝有1个，据此解答即可。
【详解】苹果有：12－3＝9（个）
菠萝有：3÷（1＋2）
＝3÷3
＝1 （个）
柚子有：3－1＝2（个）
答：柚子有2个，菠萝有1个，苹果有9个。
【点睛】理解抽屉原理，读清题意，运用规律灵活解题。
25．乙
【详解】假设甲会开车，那么，甲和乙说的是真话，所以和已知矛盾，所以甲不会开车；
假设乙会开车，那么甲和乙说的是假话，丙说的是真话，符合题意，
假设丙会开车，那么乙和丙说的是真话，也和题意矛盾。
所以，乙会开车，则会开车的是乙。
26．865张
【分析】根据极端思想从最不利的情况解答此题。
【详解】最不利情形是写着1到9的全抽了，写着10到100的各抽了9张，则只要再任抽一张，就能保证抽出的卡片至少有10张的数字完全相同，至少要抽：
（1＋2＋…＋9）＋（100﹣10＋1）×9＋1
＝45＋819＋1
=45+820
＝865（张）
答：至少要从中抽出865张，才能确保在抽出的卡片中至少10张卡片上的数字完全相同。
【点睛】解决此类问题利用极端思想是一种有效的方法。计算时，要认真，不要出错。
27．因为平均每个邮箱放3封，还余1封，这1封无论怎么放，都至少有4封信投入同一个信箱里．
【详解】10÷3＝3（封）…1（封）
3+1＝4（封）
答：至少有4封信投入同一个信箱里；因为平均每个邮箱放3封，还余1封，这1封无论怎么放，都至少有4封信投入同一个信箱里．
28．是的
【详解】12×（11－8＋1）＝48
49÷48＝1……1
答：参加体操表演的学生一定有两个是同年同月出生的．
29．9个
【分析】此题考查简单的抽屉问题， 4个运动员看作4个抽屉，一共投进35个球看作物体总个数；35÷4＝8（个）……3（个），即平均每个运动员进8个球的话，还余3个球，所以一定有一个运动员至少投进8＋1＝9个球。
【详解】35÷4＝8（个）……3（个）
8＋1＝9（个）
答：一定有1个运动员至少投进9个球。
【点睛】此题考查简单的抽屉问题，解答方法为：至少数＝商＋1（有余数的情况下）。
30．2100周
【详解】解:设车轮要滚动x周。
3.14×48×x=3.14×56×1800
x=2100
31．（1）6名 （2）3名
【解析】略
32．5个
【分析】最坏情况是4种颜色的球各摸出一个，此时再摸出1个，一定有2个同色的，所以至少需要摸出5个球。
【详解】4＋1＝5（个）
答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
33．（1）至少5人。（2）至少有8人。
【分析】可采用假设的方法解决。
【详解】（1）一共有4个不同国家，按照最不利原则，先报名的4位运动员分别来自4个不同的国家，这时再有1位运动员报名，无论来自哪个国家，这个项目都会有2名运动员来自同一个国家。
答：至少5人报名参加滑板街道赛，可以保证有两人来自同一个国家。
（2）每个国家有7名运动员参赛，按照最不利原则，先报名的7位运动员都来自同一个国家，当再有1位运动员报名时，无论来自其他三国中的哪个国家，这个项目都会有2个不同国家的运动员参赛。
答：至少有8人参加极限单车比赛，可以保证有来自两个国家的运动员。
【点睛】比种类数多1即可保证有两者属于同一类别，比单类人数多1即可保证有分属不同类别的对象。
34．30÷4＝7（人）…… 2（人） 7＋1＝ 8（人）
【详解】略
35．（1）4个 （2）13个
【详解】（1）3＋1＝4（个）
（2）12＋1＝13（个）
36．因为4个班，平均每班分5人，还余下2人，所以至少有一个班分到6个名额。
【分析】用三好学生名额的人数除以班级的数量，即可得知每个班最少可以有几个名额，有余数，则其中一个班多加一个名额。
【详解】22÷4＝5（个）……2（个）
5＋1＝6（个）
答：所以把22个“三好学生”的名额分配给4个班，不管怎样分，总有一个班至少分到6个名额。
【点睛】本题考查有余数的除法计算的应用。
37．9块
【分析】把号码1、2、3、4的木块看作4个抽屉，利用抽屉原理解答即可。
【详解】把号码1、2、3、4的木块看作4个抽屉，考虑最差的情况，每个抽屉摸出2块木块，则共有2×4＝8块，只要再摸出1块，无论在哪个抽屉里摸出，都满足至少有一个抽屉摸出3块，也就是保证至少有3块的号码相同，用算式表示为：
2×4＝8（块）
8＋1＝9（块）
答：一次至少要摸出9块木块，才能保证其中至少有3块的号码相同。
【点睛】本题考查抽屉问题，解答本题关键在于理解考虑最差的情况下，每个抽屉摸出2块木块，共有8块，再多摸出1块，无论在哪个抽屉里摸出，都能保证至少有3块的号码相同。
38．9个
【详解】首先应弄清不同的水果搭配有多少种．两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）．将这10种搭配作为10个“抽屉”．
81÷10=8……1（个）．
根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同．
39．小于4个．
【详解】根据如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞​m，那么必有一个抽屉至少有：
①k=[n÷m ]+1个物体：要使至少有一个抽屉有4只或4只以上的苹果，就要使抽屉数量小于4.即n不能被m整除时；k=[n÷m ]+1个物体。
40．见详解
【分析】典型的抽屉问题。将11只尽量平均分到4个鸽笼里面，每个笼子分到了2个鸽子，剩下3只鸽子，多出的3只鸽子至少有1只是飞到任意一个笼子里面的。
【详解】11÷4＝2（只）……3（只）
2＋1＝3（只）
故总有1个鸽笼至少飞进了3只鸽子。
41．2个
【分析】假设音乐、舞蹈、剪纸社团三个社团是A、B、C，可得报名社团的情况有A、B、C、AB、AC、BC、ABC七种。将7种情况看作7个抽屉，如此列式为8÷7，求出商与余数。余下的人会选择7种中的任—种，相同的人数为商＋1。
【详解】8÷7＝1（个）……1（个）
1＋1＝2（个）
答：这8个人中至少有2个人所报的社团是完全相同的。