安徽省合肥市庐江县汤池镇初级中学2023-2024学年八年级数学下册期中测试卷（人教版）

这是一份安徽省合肥市庐江县汤池镇初级中学2023-2024学年八年级数学下册期中测试卷（人教版），共21页。试卷主要包含了二次根式有意义的条件是，下列运算中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．二次根式有意义的条件是（ ）
A．x＞3B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≥3
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．B．＝1C．D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．225B．200C．150D．无法计算
5．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连结MN，若AB＝6，BC＝10，则MN为（ ）
A．3B．4C．1D．2
6．如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
A．B．7C．D．8
7．如图，在△ABC中，BC＝26，且BD，CE分别是AC，AB上的高，F，G分别是BC，DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（ ）
A．10B．12C．13D．14
8．在长方形ABCD中，AB＝5，CB＝12，连接AC，∠BAC的角平分线交BC于点E，则线段BE的长为（ ）
A．B．C．3D．4
9．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝3，则AC的长是（ ）
A．3．B．4C．5D．6
10．对于平面直角坐标系内的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”为dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．已知不同三点A，B，C满足dAC＝dAB﹣dBC，下列四个结论中，不正确的结论是（ ）
A．A，B，C三点可能构成锐角三角形
B．A，B，C三点可能构成直角三角形
C．A，B，C三点可能构成钝角三角形
D．A，B，C三点可能构成等腰三角形
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11．小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a+b＝ ．
12．如图，一根橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，其中A点坐标（0，0），B点坐标（8，0），然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
13．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①∠C＝45°；
②∠A＝∠BHE；
③∠BHD＝∠BDG；
④BH2+BG＝AG2．
其中正确的结论有 ．
14．图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d的值为 ；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′．以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为 ．
三．解答题（共9小题，共9题，共90分）
15．（8分）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．
16．（8分）观察下列各式：
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）＝
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
17．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，求证：DE＝BF．
18．（8分）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝3m，若秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
19．（10分）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
20．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
21．（12分）已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．
（1）求证：DH＝EF；
（2）求证：∠DHF＝∠DEF．
22．（12分）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．
（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，求△ABC中AB边的“中偏度值”；
（2）在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上的高AD＝12，求△ABC中BC边的“中偏度值”．
23．（14分）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：ED＝EF；
（2）若AB＝2，，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据二次根式有意义的条件求出x+3≥0，求出即可．
【解答】解：∵要使有意义，必须x+3≥0，
∴x≥﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件的应用，注意：要使有意义，必须a≥0．
2．【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．
【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、，是最简二次根式，故此选项正确；
C、＝2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、＝，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
3．【分析】根据二次根式的运算法则进行判断便可．
【解答】解：A．不是同类二次根式不能合并，选项错误；
B．不是同类二次根式不能合并，选项错误；
C.，选项正确；
D.，选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟记法则是解题的关键．
4．【分析】根据勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝152＝225，从而得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．【分析】根据等腰三角形的性质得到AM＝MD，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵BD＝AB，AB＝6，BM⊥AD，
∴BD＝6，AM＝MD，
∵BC＝10，
∴CD＝BC﹣BD＝10﹣6＝4，
∵AM＝MD，AN＝AC，
∴MN是△ADC的中位线，
∴MN＝DC＝2，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
6．【分析】根据三角形中中位线定理证得DE∥BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，
∴△DEF∽△BMF，
∴＝＝＝2，
∴BM＝，
CM＝BC+BM＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
7．【分析】连接EF、DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得FG⊥ED，，然后利用勾股定理列式计算即可求解．
【解答】解：如图：连接EF、DF，
，
∵F是BC的中点，BD⊥AC，CE⊥AB，
∴，
∵G是DE的中点，
∴FG⊥ED，，
在Rt△DGF中，，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及勾股定理，作辅助线利用性质是解题的关键．
8．【分析】作EF⊥AC于点F，由∠B＝90°，AB＝5，CB＝12，根据勾股定理求得AC＝13，由角平分线的性质得FE＝BE，再证明Rt△AFE≌Rt△ABE，得AF＝AB＝5，则CF＝8，再由勾股定理得BE2+82＝（12﹣BE）2，即可求得BE＝．
【解答】解：作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝∠CFE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，CB＝12，
∴∠B＝90°，
∴EB⊥AB，AC＝＝＝13，
∵AE平分∠BAC，
∴FE＝BE，
在Rt△AFE和Rt△ABE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），
∴AF＝AB＝5，
∵FE2+CF2＝CE2，且CF＝13﹣5＝8，CE＝12﹣BE，
∴BE2+82＝（12﹣BE）2，
∴BE＝，
故选：A．
【点评】此题重点考查矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得EF＝AC，即AC＝2EF＝4．
【解答】解：如图，连接AF．
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD．
在Rt△ACF中，
∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝3，
∴AC＝2EF＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD是解题的关键．
10．【分析】不妨设C（0，0），A（1，0），B （x1，y1），则||AC||＝1，||CB||＝|x1|+|y1|，||AB||＝|x1﹣1|+|y1|，讨论x1，y1的值即可判定．
【解答】解：不妨设C（0，0），A（1，0），B （x1，y1），则dAC＝1，dCB＝|x1|+|y1|，dAB＝|x1﹣1|+|y1|，
由||AC||+||CB||＝||AB||，可知1+|x1|＝|x1﹣1|，
当x1＝0，y1≠0时1+|x1|＝|x1﹣1|成立，此时△ABC为直角三角形，故B正确；
当x1＝0，y1＝1时，此时△ABC为等腰三角形，故D正确；
当x1＞0时，无解，故A错；
当x1＜0时，此时∠BCA为钝角，且1+|x1|＝|x1﹣1|成立，故C正确．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查了以命题的真假为载体，考查新定义，解题的关键是理解新的定义，同时考查了学生的推理能力．
二．填空题（共4小题）
11．【分析】找出一系列等式的规律为（n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，即可求得a+b的值．
【解答】解：根据题中的规律得：（n≥1的正整数），
∵＝a•，
∴a＝8，b＝82+1＝65，
则a+b＝8+65＝73．
故答案为：73．
【点评】此题考查了数字类规律，找出题中的规律是解本题的关键．
12．【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝＝5（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．【分析】根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH＝CD，CE＝EH，可对①进行判断；通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE＝DE，根据等角的余角相等得到∠BHE＝∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，则∠A＝∠BHE，于是可对②进行判断；因为∠BDH＝90°+∠EBH，∠BDG＝90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，可对③进行判断；接着由平行四边形的性质得AB＝CD，则AB＝BH，可对④进行判断．
【解答】解：在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴EH＝EC，
∴CE≠DE，
∴∠C≠45°，故①错误；
∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴△DEB是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，
∵BF⊥CD，
∴∠FHD+∠FDH＝90°，
∵∠C+∠FDH＝90°，
∴∠C＝∠FHD，
∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE，
∴∠A＝∠BHE，故②正确；
∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠HBE，
∴∠BDG＞∠BHD，故③错误；
∵△BEH≌△DEC，AB＝CD，
∴BH＝CD，
∴AB＝BH，
∵BF⊥CD，
∴BG⊥AB，
∴AB2+BG2＝AG2，
∴BH2+BG2＝AG2，故④正确；
故答案为：②④．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
14．【分析】如图，连接FW，由题意可知点A′，O，C′在线段FW上，连接OB′，B′C′，过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°，解直角三角形求出JK，OH，B′H，再求出OB′2，可得结论．
【解答】解：如图，连接FW，由题意可知点A′，O，C′在线段FW上，连接OB′，B′C′，过点O作OH⊥B′C′于H．
∵大正方形的面积＝12，
∴FG＝GW＝2，
∵EF＝WK＝2，
∴在Rt△EFG中，tan∠EGF＝＝＝，
∴∠EGF＝30°，
∵JK∥FG，
∴∠KJG＝∠EGF＝30°，
∴d＝JK＝GK＝（2﹣2）＝6﹣2，
∵OF＝OW＝FW＝，C′W＝，
∴OC′＝﹣，
∵B′C′∥QW，B′C′＝2，
∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°，
∴OH＝HC′＝﹣1，
∴HB′＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
∴OB′2＝OH2+B′H2＝（﹣1）2+（3﹣）2＝16﹣8，
∵OA′＝OC′＜OB′，
∴当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为（16﹣8）π．
故答案为：6﹣2，（16﹣8）π．
【点评】本题考查正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，圆等知识，解题的关键是读懂图象信息，推出∠EGF＝30°，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共9小题）
15．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．
【解答】解：依题意得：x＝，则y＝，
所以＝＝，＝＝2，
所以﹣＝﹣＝﹣＝．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
16．【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）＝1＝1；故答案为：1；
（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；
（3）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
17．【分析】由平行四边形的性质和已知条件证明∠ADE＝∠CBF，根据ASA证明△ADE≌△CBF，即可得到DE＝BF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，∠ADC＝∠CBA．
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠ADE＝∠ADC，∠CBF＝∠CBA，
∴∠ADE＝∠CBF，
在ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，注意证得△ADE≌△CBF是解题的关键．
18．【分析】设秋千的绳索长为x m，根据题意可得AC＝（x﹣2）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣2）2．
【解答】解：∵CE＝BF＝3m，DE＝1m，
∴CD＝CE﹣DE＝3﹣1＝2（m），
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，BC＝4m，
设秋千的绳索长为x m，则AC＝（x﹣2）m，
故x2＝42+（x﹣2）2，
解得：x＝5，
答：绳索AD的长度是5m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
19．【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分∠BPE＝90°、∠BEP＝90°两种情况，根据勾股定理计算．
【解答】解：（1）∵CD＝10，DE＝7，
∴CE＝10﹣7＝3，
在Rt△CBE中，BE＝＝5；
（2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7，
则t＝7÷1＝7（秒），
当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，
解得，t＝，
∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
20．【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
21．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF＝AB，根据直角三角形的性质得到DH＝AB，证明结论；
（2）连接DF，证明△DHF≌△DEF，证明结论．
【解答】证明：（1）∵E、F分别是边BC、AC的中点，
∴EF＝AB，
∵AH⊥BC，D是AB的中点，
∴DH＝AB，
∴DH＝EF；
（2）连接DF，
由（1）得，DH＝EF，
同理DE＝HF，
在△DHF和△DEF中，
，
∴△DHF≌△DEF，
∴∠DHF＝∠DEF．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
22．【分析】（1）根据勾股定理得到AB＝＝5，过C作CD⊥AB于D，设CE是斜边AB上的中线，求得BE＝AE＝AB＝，根据三角形的面积公式得到CD＝，根据勾股定理得到BD＝，于是得到△ABC中AB边的“中偏度值”＝；
（2）如图，当△ABC为锐角三角形时，设AE是△ABC中BC边的中线，根据勾股定理得到BD＝5，CD＝9，得到BC＝5+9＝14，如图，当△ABC为钝角三角形时，设AE是△ABC中BC边的中线，得到BC＝CD﹣BD＝4，于是得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
过C作CD⊥AB于D，
设CE是斜边AB上的中线，
∴BE＝AE＝AB＝，
∵S△ABC＝，
∴CD＝＝＝，
∴BD＝＝＝，
∴DE＝BE﹣BD＝＝，
∴△ABC中AB边的“中偏度值”＝＝；
（2）如图，当△ABC为锐角三角形时，
设AE是△ABC中BC边的中线，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝13，AC＝15，AD＝12，
∴BD＝＝＝5，CD＝＝＝9，
∴BC＝5+9＝14，
∴BE＝CE＝BC＝7，
∴DE＝2，
∴△ABC中BC边的“中偏度值”为＝＝6，
如图，当△ABC为钝角三角形时，
设AE是△ABC中BC边的中线，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝13，AC＝15，AD＝12，
∴BD＝＝＝5，CD＝＝＝9，
∴BC＝CD﹣BD＝4，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∴DE＝7，
∴△ABC中BC边的“中偏度值”为＝．
综上所述，△ABC中BC边的“中偏度值”为6或．
【点评】本题考查了勾股定理，理解新定义和掌握勾股定理是解题的关键．
23．【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED；
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形考虑问题即可；
【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
（2）解：如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．
（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．