2024年湖南省岳阳市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 2024的相反数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：2024的相反数是，
故选：A．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选；B．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C
4. 九（2）班同学张铭每周有五天晨跑锻炼身体，他记录的上周每次跑步的时间（单位：）分别为：19，23，20，19，21.这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 20，19B. 21，19C. 23，19D. 19，20
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．根据中位数的和众数的定义求解即可．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：由小到大是：19，19，20，21，23，
∴最中间的数据为20，19出现次数最多，
这组数据的中位数是20，众数为19，
故选：A．
5. 2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心发射成功．火箭起飞质量约497000千克．数据497000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．，运用科学计数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：依题意，
故选：B
6. 反比例函数 图象过点， 则k是（ ）
A. 6B. C. 5D. -5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．直接把代入函数解析式即可求出k的值．
【详解】解：把代入函数解析式，得：，
∴．
故选：A．
7. 暑假时一批中学生参加夏令营，途径某旅店住宿．如果每间客房安排住7人，就会有3人没地方住；如果每间客房安排住8人，就会出现一间房还有5个人没住满．设中学生的人数为x人，旅店的客房数为y间，则列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际问题．根据如果每间客房安排住7人，就会有3人没地方住；如果每间客房安排住8人，就会出现一间房还有5个人没住满可列出二元一次方程组．
【详解】解：由每间客房安排住7人，就会有3人没地方住得，
由每间客房安排住8人，就会出现一间房还有5个人没住满得，
列方程组为．
故选：A．
8. 如图，一架民航客机在飞行途中前方出现雷暴区域，机组请示后决定从C点处以仰角直线爬升至云层上方，爬升后客机所在的A点处相对于C点处的飞行高度上升了米，则客机直线爬升的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键．由的正弦即可求解，
【详解】，
米，
故选：．
9. 如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】解：如图：
；
；
则．
故选：D．
10. 如图，已知开口向上的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（ ）
①；
②函数的最小值为；
③若关于 x 的方程无实数根，则；
④代数式
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项．
【详解】解：由图象可知，图象开口向上，，
对称轴为，故，即，则，故①正确；
由图象可知当时，函数取最小值，
将，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为，
设函数解析式为：，
故化简得：，
将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确；
变形为：，
要使方程无实数根，则，
将，代入得：，
因为，则，则，
综上所述，故③正确；
因为，
所以
，
因为，
所以，即，故④正确；
则①②③④正确，
故选：D．
二、填空题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）
11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查分式和二次根式有意义时的取值范围．根据题意可得，即可得到本题答案．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，解得：，
故答案为：且．
12. 若点在轴上，则点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点坐标，掌握在坐标轴上点的坐标特征是正确解答的前提．根据在轴上点的坐标特征，即纵坐标为0，进行解答即可．
【详解】解：点在轴上，
，
即，
当时，，
点的坐标为，
故答案为：．
13. 因式分解______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数4，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，、、、均为正方形网格的格点，线段和相交于点，则的值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据网格的特点证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：由题意得，
由网格的特点可知，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，为直径，为圆上一点，的平分线与交于点，若，则_____________．
【答案】##18度
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．由题意易得，，则有可求解．
【详解】解：∵是直径，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴；
故答案为．
16. 甲口袋中装有两个相同的小球，它们上面分别写有数字1和2，乙口袋中装有三个相同的小球，它们上面分别写有数字3，4和5，从两个口袋中各随机摸一个小球，两个小球上的数字都是偶数的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中两个小球上的数字都是偶数的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两个小球上的数字都是偶数的结果有1种，
两个小球上的数字都是偶数的概率是，
故答案为：．
17. 对于任意四个有理数可以组成两个有理数对与．我们规定： ．例如： ．当满足等式时，的值为________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据题干中新定义的规则列式计算解答即可.
【详解】根据题意可知：
所以
所以
所以
所以
故答案为9.
【点睛】本题考查的是新定义运算，只要考查的是理解能力与一元一次方程解答能力，能够读懂题意是解题的关键.
18. 如图，在，中，，的平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，的长为半径的圆恰好经过点D，分别交，于点E，F若，则阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求不规则图形面积，涉及切线的判定，解直角三角形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
连接，结合已知可证明，得到即可得到，根据计算即可．
【详解】连接，
∵，平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算的法则是解题的关键．
化简绝对值，负整数指数幂，分母有理化，代入特殊角的三角函数值，然后算乘法，最后算加减．
【详解】解：
=
=
=．
20. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）证明四边形是菱形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力﹒
（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可；
（2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可．
【小问1详解】
解∶，
是的中点，
在与中，
【小问2详解】
由（1）可知，，
是的中点，
四边形是平行四边形，
又为直角三角形，D是的中点，
四边形是菱形．
21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接、，求的面积．
【答案】（1），
（2）8
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键．
（1）用待定系数法求解析式即可求解；
（2）如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，根据几何图形面积的计算方法，图形结合即可求解．
【小问1详解】
解：（1）∵点在的图象上，
代入得：，
∴反比例函数的表达式为，
∵点在的图象上，
∴，
，
将，代入中，
得：，解得：，
∴一次函数的表达式为.
【小问2详解】
解：把代入得：，
∴，如图所示，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，

∴．
22. 某网络经销商购进了一批 A型钥匙扣和B型钥匙扣．已知购进A型钥匙扣个、B型钥匙扣个共需 元，购进 A 型钥匙扣个、B型钥匙扣 个共需 元．
（1）每个 A 型钥匙扣和 B型钥匙扣的进价分别是多少元?
（2）该经销商决定购进 A 型钥匙扣和 B型钥匙扣共 个，投入资金不超过 元，并将 A 型钥匙扣的售价定为每个 元，B型钥匙扣的售价定为每个 元，请问如何进货可以使该经销商获得最大利润? 最大利润是多少元?
【答案】（1）每个A 型钥匙扣进价元，B型钥匙扣的进价为元
（2）该经销商应购进 A 型钥匙扣 个，B型钥匙扣 个，可获得最大利润，最大利润为元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键；
（1）根据“购进A型钥匙扣个、B型钥匙扣个共需 元，购进 A 型钥匙扣个、B型钥匙扣 个共需 ．”列方程组求解，
（2）先求出利润的函数，再根据一次函数的性质求解．
【小问1详解】
解：设每个A 型钥匙扣进价x元，B型钥匙扣的进价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每个A 型钥匙扣进价元，B型钥匙扣的进价为元．
【小问2详解】
解：设购进A 型钥匙扣a个，则B型钥匙扣件，利润为W元，根据题意得：
，
即：，
，
，且a为非负整数
，
W随着a的增大而增大，
当时，W最大，最大值为：
，
该经销商应购进 A 型钥匙扣 个，B型钥匙扣 个，可获得最大利润，最大利润为元．
23. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A．健美操；B．跳绳；C．剪纸；D．书法．为了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为______度；
（3）若全校共有学生1800人，则估计喜欢跳绳的学生人数约有______人；
（4）在4名跳绳成绩最好的学生中，有1名男生和3名女生．要从中随机抽取2名参加比赛，请用列表法或画树状图，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）40，图见解析
（2）72 （3）720
（4）选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（2）用360度乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
；
故答案为：40；
【小问2详解】
解：，
故答案为：72；
【小问3详解】
解：（人），
故答案为：720；
【小问4详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为．
24. 如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于．过点作于点，交于，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解，
（2）由，是的直径，可得，根据锐角三角函数可求，的长度，由，可得，在中，根据锐角三角函数，即可求解，
本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，锐角三角函数，解题的关键是：根据切线的判定定理，连接辅助线．
【小问1详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是的切线，
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，解得：，
故答案为：．
25. 和的顶点重合，，，，．

（1）特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：________，直线与直线的位置关系是________．
（2）探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，点在的外部，连接、，当时，请你利用第（2）题的结论，求的值．
【答案】（1），垂直
（2）结论成立，见解析
（3）
【解析】
【分析】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
（1）解直角三角形求出，，可得结论；
（2）结论不变，证明，推出，，可得结论；
（3）由，结合，可推出，，，四点共圆，由，可得，进而得到四边形是矩形，推出，最后根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
在中，，，
，
，，
，此时，
故答案为：，垂直；
【小问2详解】
结论成立．
理由：，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
，
，
又，
，，，四点共圆，
，
，
又，
，即，
四边形是矩形，
，
．
26. 如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作轴于N，是否存在点M，使为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，取得最大值为．此时
（3）为直角三角形时，点M的坐标为：或
【解析】
【分析】（1）把点坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求线解析式，设点的横坐标为，再用的代数式表示的长度建立二次函数求解即可；
（3）先求直线BE的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
【小问1详解】
由题意得，解得：．
则抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
过点P作轴于点H，交于点G
当时，，解得或3，
∴
设直线的解析式为：，
则
解得：
∴
设点（），则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
∴当时，取得最大值为．此时．
【小问3详解】
在上存在点M，使为直角三角形．
抛物线顶点，设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴．
设，
①∵，∴，不可能直角；
②当时，则 ∴轴，
则，∴，∴．
③当时，过点M作轴于点F．
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∵，∴不合题意，应舍去，∴
∴
综上所述，为直角三角形时，点M的坐标为：或．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．