2024年广东省揭阳市揭东区白塔镇中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年广东省揭阳市揭东区白塔镇中考数学一模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下( )
A. 小明的影子比小强的影子长B. 小明的影子比小强的影子短
C. 小明的影子和小强的影子一样长D. 无法判断谁的影子长
2.若点A(x1,−5)，B(x2,2)，C(x3,5)都在反比例函数y=10x的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是( )
A. x13.抛物线y=(x+2)2+1是由抛物线y=x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为( )
A. 向左平移1个单位B. 向左平移2个单位C. 向右平移1个单位D. 向右平移2个单位
4.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB=CD，∠AOB=42°，则∠CED=( )
A. 48°
B. 24°
C. 22°
D. 21°
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则csB的值为( )
A. 513B. 125C. 512D. 1213
6.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AODO等于( )
A. 12
B. 13
C. 23
D. 2 53
7.如图，点A在双曲线y1=2x(x>0)上，点B在双曲线y2=kx(x<0)上，AB//x轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值( )
A. −6B. −8C. −10D. −12
8.关于x的一元二次方程x2−4x+3=0的解为( )
A. x1=−1，x2=3B. x1=1，x2=−3
C. x1=1，x2=3D. x1=−1，x2=−3
9.如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD.若点C的坐标为(−1,−23)，则点A的坐标为( )
A. (23,2)
B. (2,3)
C. (3,23)
D. (3,2)
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc>0；
②b2<4ac；
③2c<3b；
④a+2b>m(am+b)(m≠1)；
⑤若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为2，
其中正确的结论有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为______．
12.已知反比例函数y=k−1x(k是常数，k≠1)的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是______．
13.甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是______．
14.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED=90°，∠EAD=30°，F是AD边的中点，EF=4cm，则BE= ______cm．
15.如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cs∠AOB的值是______．
16.如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD，正确的是______(填序号)．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(x− 3)0+(12)−1−2 3−1−tan60°+ 12
18.(本小题4分)
四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．
19.(本小题4分)
如图，△ABC与△ADE中，∠C=∠E，∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
20.(本小题6分)
抛物线顶点坐标是(2,−1)且经过点C(5,8)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
21.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA，DE，BE．
(1)若∠DEB=30°，求∠AOD的度数；
(2)若CD=2，AB=8，求⊙O的半径长．
22.(本小题8分)
有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式．
(2)如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？
23.(本小题10分)
在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
(1)若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
24.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O外一点，AB=AD，BD交⊙O于点C，AD交⊙O于点E，点P是AC的延长线上一点，连接PB、PD，且PD⊥AD
(1)判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)连接CE，若CE=3，AE=7，求⊙O的半径．
25.(本小题12分)
如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(−3,0)、(0,4)，抛物线y=23x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x=52上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t，MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
故选：D．
在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
2.【答案】A
【解析】解：当y=−5时，10x1=−5，解得：x1=−2；
当y=2时，10x2=2，解得：x2=5；
当y=5时，10x3=5，解得：x3=2．
∴x1故选：A．
利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出x1，x2，x3的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x1，x2，x3的值是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：原抛物线的顶点为(0,1)，新抛物线的顶点为(−2,1)，
∴是抛物线y=x2+1向左平移2个单位得到，
故选：B．
找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是掌握二次函数图象平移的性质．
4.【答案】D
【解析】解：连接OC、OD，
∵AB=CD，∠AOB=42°，
∴∠AOB=∠COD=42°，
∴∠CED=12∠COD=21°．
故选D．
连接OC、OD，可得∠AOB=∠COD=42°，由圆周角定理即可得∠CED=12∠COD=21°．
本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理．
5.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=13，AC=5，
∴BC= AB2−AC2= 132−52=12，
则csB=BCAB=1213，
故选：D．
先根据勾股定理求出BC=12，再利用余弦函数的定义可得答案．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DAO+∠EAO=90°，
∵E为AB的中点，
∴AE=12AB=12AD，
∵AF⊥DE，
∴∠AOE=∠DOA=90°，
∴∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠EAO=∠ADO，
∴△AOE∽△DOA，
∴AODO=AEAD=12．
故选：A
先证明△AOE∽△DOA，得出AO：DO=AE：AD，再由AE=12AB=12AD，即可得出结论．
本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M，
∵AB//x轴，点A在双曲线y1=2x(x>0)上，点B在双曲线y2=kx(x<0)上，
∴S△AOM=12×|2|=1，S△BOM=12×|k|=−12k，
∵S△ABC=SΔAOB=S△AOM+SΔBOM=6，
∴1−12k=6，
∴k=−10．
故选C．
根据AB//x轴可以得到S△ABC=S△AOB=6，转换成反比例函数面积问题即可解答．
本题考查反比例函数系数k的几何意义．
8.【答案】C
【解析】解：x2−4x+3=0，
分解因式得：(x−1)(x−3)=0，
化为一元一次方程得：x−1=0或x−3=0
解得：x1=1，x2=3，
故选：C．
利用因式分解法求出已知方程的解．
此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，此题还可以利用其它方法解一元二次方程．
9.【答案】D
【解析】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，C(−1,−23)，
∴点A的坐标为(−1×(−3),−23×(−3))，即(3,2)，
故选：D．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
10.【答案】A
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，①错误．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴b2>4ac，②错误．
∵x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∵b=−2a，
∴a=−b2，
∴−32b+c<0，
∴2c<3b，③正确．
∵x=1时，y=a+b+c为函数最大值，
∴a+b+c>m(am+b)+c(m≠1)，
∴a+b>m(am+b)(m≠1)，
∵b>0，
∴a+2b>a+b>m(am+b)(m≠1)，④正确．
方程|ax2+bx+c|=1的四个根分别为ax2+bx+c=1和ax2+bx+c=−1的根，
∵抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，
∴抛物线与直线y=1的交点的横坐标为之和为2，
抛物线与直线y=−1的交点横坐标为之和为2，
∴方程|ax2+bx+c|=1的四个根的和为4，⑤错误．
故选：A．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，由b=−2a，x=−1时y<0可判断③，由x=1时函数取最大值可判断④，由函数y=ax2+bx+c与直线y=1及直线y=−1的交点横坐标为方程|ax2+bx+c|=1的解及抛物线的对称轴为直线x=1可判断⑤．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11.【答案】94
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=32−4c=0，
解得c=94，
故答案为：94．
根据判别式的意义得到Δ=32+4c=0，解得即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
12.【答案】k<1
【解析】【分析】
本题考查的是反比例函数的性质，由于反比例函数y=k−1x的图象有一支在第二象限，可得k−1<0，求出k的取值范围即可．
【解答】
解：∵反比例函数y=k−1x的图象有一支在第二象限，
∴k−1<0，
解得：k<1．
故答案为：k<1．
13.【答案】23
【解析】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲、乙二人相邻的有4种情况，
∴甲、乙二人相邻的概率是：46=23．
故答案为：23．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙二人相邻的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】6
【解析】解：∵∠AED=90°，F是AD边的中点，EF=4，
∴AD=2EF=8，
∵∠EAD=30°，
∴AE=AD⋅cs30°=8× 32=4 3，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠BEA=∠EAD=30°，
在Rt△ABE中，
BE=AE⋅cs∠BEA=4 3×cs30°=4 3× 32=6cm，
故答案为：6．
先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AD长，进而求出AE，再根据矩形的性质得出AD//BC，∠B=90°，然后解直角三角形ABE即可．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线以及锐角三角函数定义，关键是利用直角三角形斜边上的中线求出AD的长．
15.【答案】 22
【解析】解：连接AB，
∵OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，
∴OA2+AB2=OB2，OA=AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB=90°，
∴∠AOB=45°，
∴cs∠AOB=cs45°= 22．
故答案为： 22．
首先连接AB，由勾股定理易求得OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cs∠AOB的值．
此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16.【答案】①②③④
【解析】解：在⊙O中，AB=CD，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴AC=BD故④正确；
∴AC=BD，故②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．
利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
本题考查了定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
17.【答案】解：原式=1+2−( 3+1)− 3+2 3
=1+2− 3−1− 3+2 3
=2．
【解析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，
∴AC⊥BD，DO=BO，
∵AB=5，AO=4，
∴BO= 52−42=3，
∴BD=2BO=2×3=6．
【解析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再利用勾股定理求出BO的长，即可得出答案．
此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，根据已知得出BO的长是解题关键．
19.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE. (2分)
∵∠C=∠E，(3分)
∴△ABC∽△ADE. (5分)
【解析】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE.问题得证．
此题考查了相似三角形的判定，内容单一，简单．
20.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=a (x−2)2−1，
把C(5,8)代入，得a (5−2)2−1=8，
解得a=1，
则y=(x−2)2−1或y=x2−4x+3，
所以抛物线解析式为y=(x−2)2−1或y=x2−4x+3；
(2)令y=0，则x2+4x+3=0，
解得x1=1，x2=3．
∴抛物线与x轴的交点(1,0)，B(3,0)，
令x=0，则y=3，
∴抛物线与y轴交点(0,3)，
【解析】(1)由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a (x+2)2−1，然后把H(1,8)代入求出a即可；
(2)令y=0，则x2+4x+3=0，解方程求得抛物线与x轴交点的横坐标坐标，x=0，则y=3，即可求得抛物线与y轴的交点坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
21.【答案】解：(1)∵OD⊥AB，
∴AD=BD，
∴∠AOD=∠BOD．
∵∠DEB=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOD=∠BOD=60°；
(2)设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OC=r−2，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=12AB=12×8=4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：(r−2)2+42=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径长为5．
【解析】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
(1)根据垂径定理得到AD=BD，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠BOD=∠AOD，然后根据圆周角定理得到∠BOD的度数即可得到∠AOD的度数；
(2)设⊙O的半径为r，则OC=r−2，根据垂径定理得到AC=BC=4，然后利用勾股定理得到(r−2)2+42=r2，再解方程即可．
22.【答案】解：(1)设这条抛物线所对应的函数关系式是y=a(x−5)2+4，
∵该函数过点(0,0)，
∴0=a(0−5)2+4，
解得，a=−425，
即这条抛物线所对应的函数关系式是y=−425(x−5)2+4；
(2)当x=6时，
y=−425(6−5)2+4=9625，
即在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是9625m.
【解析】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，根据x的值，可以求得相应的函数值．
(1)根据题意可以设抛物线的顶点式，然后根据函数图象过点(0,0)，即可求出这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)将x=6代入(1)中的函数解析式即可求得在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高度．
23.【答案】解：(1)设花边的宽度为xcm，根据题意得：
(60−2x)(40−x)=60×40−650，
解得：x=5或x=65(舍去)．
答：丝绸花边的宽度为5cm；
(2)设每件工艺品定价x元出售，获利y元，则根据题意可得：
y=(x−40)[200+20(100−x)]−2000=−20(x−75)2+22500；
∵销售件数至少为800件，故40∴当x=70时，有最大值，y=22000
当售价为70元时有最大利润22000元．
【解析】(1)设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；
(2)先根据题意设每件工艺品定价为x元出售，获利y元，则定价x元后可卖出的总件数为200+20(100−x)，每件获得的利润为(x−40)元，此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润−2000，列出二次函数，再根据求二次函数最值的方法求解出获得的最大利润即可．
考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，特别是二次函数的应用，其关键是从实际问题中整理出二次函数模型，难度中等．
24.【答案】解：(1)PB与⊙O相切
理由如下：∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BD，
又AB=AD，
∴AP是线段BD的垂直平分线，
∴PB=PD，
在△ABP和△ADP中，
AB=ADPB=PDAP=AP，
∴△ABP≌△ADP(SSS)
∴∠ABP=∠ADP=90°，
∴PB与⊙O相切；
(2)∵△ABP≌△ADP，
∴∠BAC=∠DAC，
∴BC=CE，
∴BC=CE=3，
∵AB=AD，AC⊥BD，
∴BC=CD=3，
由切割线定理得，DC⋅DB=DE⋅DA，即3×6=DE×(DE+7)，
解得，DE=2，
∴DA=2+7=9，
∴AB=AD=9，
∴⊙O的半径为4.5．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到PB=PD，证明△ABP≌△ADP，根据全等三角形的性质得到∠ABP=∠ADP=90°，根据切线的判定定理证明；
(2)根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠DAC，得到BC=CE=3，根据切割线定理计算即可．
本题考查的是切线的判定定理、全等三角形的判定和性质，切割线定理的应用，掌握切线的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=23x2+bx+c的顶点在直线x=52上，
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=23(x−52)2+m
∵点B(0,4)在此抛物线上，
∴4=23×(−52)2+m
∴m=−16
∴所求函数关系式为：y=23(x−52)2−16=23x2−103x+4
(2)在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB= OA2+OB2=5
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0)；
当x=5时，y=23×52−103×5+4=4
当x=2时，y=23×22−103×2+4=0
∴点C和点D在所求抛物线上；
(3)设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′，
则5k+b′=42k+b′=0；
解得：k=43b′= −83；
∴y=43x−83
∵MN//y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t；
则yM=23t2−103t+4，yN=43t−83，
∴l=yN−yM=43t−83−(23t2−103t+4)=−23t2+143t−203=−23(t−72)2+32
∵−23<0，
∴当t=72时，l最大=32，yM=23t2−103t+4=12．
此时点M的坐标为(72,12).
【解析】(1)已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
(2)首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．
(3)根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．
此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数的应用等知识．