2023年广东省揭阳市榕城区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省揭阳市榕城区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数如果表示向东走，那么表示(    )

A. 向东走 B. 向西走 C. 向东走 D. 向西走

2.  我国天然林保护修复工程建设开展以来，截至年月日，天然林面积增加亿亩、蓄积增加亿立方米数据“亿”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图(    )

A.
B.
C.
D.

4.  若有意义，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：

该店主决定本周进货时，增加了一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是(    )

A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数

6.  五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，，，为直线与五线谱横线相交的三个点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在矩形中，对角线、交于点若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，某书店拿取高处书籍的登高梯靠书架放置，顶端恰好放在书架第七层的顶端，已知米，，则书架第七层顶端离地面的高度为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

9.  如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点是轴负半轴上一点，点在反比例函数的图象上，交交于点，若，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若、是方程的两个实数根，则的值为______ ．

12.  因式分解：______．

13.  往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为______ ．

14.  如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作交于点，若，，则的周长为__________．

15.  如图，已知等边的边长为，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，当最短时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，将▱的对角线向两个方向延长，分别至点和点，求证：四边形是平行四边形．

19.  本小题分
为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：聆听航天科普讲座；参加航天梦想营；参观航天科技展；制作航天火箭模型每位同学从中随机选择一项参加．
该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是______ ；
用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率．

20.  本小题分
为强化防溺水安全教育，提高学生安全意识和自护自教能力，某校组织了“防溺水”知识竞赛，并购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，奖励给表现优异的班级已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需元；购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需元．
求副乒乓球拍和副羽毛球拍的价格；
若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共副，且支出不超过元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？

21.  本小题分
已知等边，其中点、是过顶点的一条直线上两点．
如图，，求证：；
如图，，，，求的长．

22.  本小题分
如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点直线：经过、两点．
求直线和抛物线的解析式；
如图，将位于轴下方的抛物线沿轴向上翻折形成“”图象，将直线向上平移个单位得到直线当直线与“”图象有两个交点时，求的取值范围．

23.  本小题分
欧几里德，古希腊著名数学家被称为“几何之父”他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．

如图，设点是已知点，圆是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
连接，作线段的中点；
以为圆心，以为半径作圆，与圆交于两点和；
连接、，则、是圆的切线．
按照上述作图步骤在图中补全图形；
为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“、是圆的切线”的过程；
如图，连接并延长交圆于点，连接，已知，，求圆的半径．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：表示向东走，那么表示向西走．
故选：．
正数与负数即意义相反的两个数，表示向东走，那么则表示向西走．
此题考查相反意义的量，解题关键是表示意义相反的量，表示向东走，那么表示反方向走，即向西走．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：的俯视图为．
故选：．
俯视图即从上往下看，直接选择即可．
此题考查三视图，掌握空间想象能力是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得：且，
故选：．
根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数，分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作于，交于，

，
，
，
．
故选：．
过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
在矩形中，对角线、交于点，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
中，
．
故选：．
先证明是等边三角形，然后根据的直角三角形三边关系直接求解即可．
此题考查矩形的性质和勾股定理，解题关键是根据一个角为的等腰三角形即为等边三角形，然后根据勾股定理直接求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，米，，
，
．
故选：．
在中利用的余弦求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决此问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
平分，
，
，
．
点是的中点，
，
，
．
故选：．
由题意推出，在中，，即可求出的长，进而可求出的长．
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键在于根据已知推出．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，如图所示．

，
设，
则，
，，，
，，
，
即，
则，
，，
．
故选：．
过点作轴于点，设，则根据题意结合图形及含度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，进而得出，再由三角形面积求解即可．
题目主要考查反比例函数与三角形面积及含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个实数根，
，
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，过点作于点，交于点，如图所示：
，
，
的直径为，
，
在中，，
，
即水的最大深度为，
故答案为：．
连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意得平分，再根据平行线的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作交于，取中点，连接，

是等边三角形，
，，
绕点逆时针旋转得到，
，，
，
≌，
，
同理可得≌，
，
最短时，即最短时，
即时，最短，
等边的边长为，
，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，．
故答案为：．
根据旋转得到全等，然后将最短转化为最短，即取垂线段最短，然后构造直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可．
此题考查勾股定理，解题关键是根据旋转得到全等三角形，难点是灵活构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】根据特殊角三角函数值的混合运算法则直接求解即可．
此题考查特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是任意非零实数的零次幂等于，．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】证明：连接，与交于点如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即．
四边形是平行四边形． 

【解析】连接，与交于点，由平行四边形的性质得，，再证得，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：依题意，内容有四项，该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是，
故答案为：．
画树状图如下：
 
   共有种等可能结果，其中符合题意的有种，
该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率为．
根据概率公式直接求解即可；
根据画树状图法求概率即可求解．
本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：设副乒乓球拍的价格为，副羽毛球拍的价格为，
由题意可得：，解得，
答：副乒乓球拍的价格为元，副羽毛球拍的价格为元；
设购买副羽毛球拍，则乒乓球拍买副，
由题可知：，解得，
答：最多能够购买副羽毛球拍． 

【解析】设两个未知数，列出二元一次方程组直接求解即可．
设一个未知数，列出三个不等式组求解集，然后取最大值即可．
此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式求解．
 

21.【答案】证明：为等边三角形，
，，
，
，
，
，
≌，
；
解：如图，分别作，且角的顶点落在直线上，

由可知≌，
，．
设，则．
在中，，，
．
在中，，
，即，
解得：，
． 

【解析】由等边三角形的性质结合题意易证≌，即得出；
分别作，且角的顶点落在直线上．由可知≌，即得出，设，则在中，利用锐角三角形函数可求出，，从而可求出再在中，利用锐角三角形函数可得出，即可列出关于的等式，解出的值，即可求出的长．
本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形等知识．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．在解时作出辅助线构造全等三角形也是关键．
 

22.【答案】解：抛物线中，
令，，
，
在直线：上，
，
：，
令，，
，
将代入，
，解得，
，
故直线解析式为，抛物线的解析式为．
将直线移动到如图位置时，直线与“”图象有三个交点，
平移后的：，
当与翻折后的抛物线只有一个交点时，
翻折后的函数解析式为：，
，化简得，
，解得，
当过点时，
由可知，，
，
将代入：，
，解得，
直线与“”图象有两个交点，
或，
 

【解析】先后求出，坐标即可求出解析式；
画出平移后的图象，分析当在与之间移动时，和在上方移动时，直线与“”图象有两个交点，分情况讨论，然后直接求解直线解析式即可．
此题考查函数的综合应用，解题关键是取已知点代入解析式进行求解，难点是判断函数的交点个数，直接画出函数图象，找到函数有两个交点的范围，分情况讨论求解．
 

23.【答案】解：如图，

连接，，，，

，
，，
，
，
，
是圆半径，
是圆的切线，
同理可得，是圆的切线；
连接交于点，连接，

、是圆的切线，
，
，
是线段的垂直平分线，
，，
，，
，
，，
∽，
，
设圆的半径为，
，
在中，，
，
解得负值舍去． 

【解析】根据题意画图即可；
画圆得到半径相等，然后推论出直角即可证切线；
根据相似得到边的数量关系，列方程求解即可．
此题考查圆的综合应用，通过相似三角形得到边的数量关系，然后根据勾股定理列方程是解题的关键．