2024年重庆市九龙坡区实验外国语学校九年级下学期4月一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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数学试题
（满分150分，120分钟完成）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1. 在，，，0这四个数中，无理数的个数有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：，
在，，，0这四个数中，无理数有，共1个，
故选：A．
2. 下列立体图形中，左视图是圆的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形，据此回答．
【详解】解：A、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
C、圆台的左视图是梯形，故此选项不合题意；
D、球的左视图是圆形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3. 已知，则的补角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两个角的和为180°，两个角互为补角，由此即可解答．
【详解】解：∵∠A=75°，
∴∠A的补角为:180°-75°=105°．
故选B．
【点睛】本题考查了补角的定义，熟知和为180°的两个角互补是解决问题的关键．
4. 2023年我国出生人口约为9020000人，将9020000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此可得出结果．
【详解】解：，
故选：C．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，有同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟记各法则是解题的关键．
依次运用各运算法则计算即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
6. 九章算术中有这样一个问题“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何？”译文“两匹马和一头牛的总价比一万多，且多出的部分等于半匹马的价钱；同时，一匹马和两头牛的总价比一万少，且少的部分等于半头牛的价钱，问一匹马和一头牛的价钱分别是多少”设一匹马的价格为元，一头牛的价格为元，根据题目描述可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每匹马的价格为元，每头牛的价格为元，根据题意列出方程即可．
【详解】解：设每匹马的价格为元，每头牛的价格为元，
根据题意可得．
故选：A．
7. 如图，在平面直角坐标系中，直线过原点，与反比例函数图象交两点，轴于点，则的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数的对称性和反比例函数系数的几何意义，可求出，再根据的值求面积即可．
【详解】解：由对称性可知，，
，
轴，，
，
．
故答案为．
8. 如图，在中，直径弦于点，若，，则的半径为（ ）
A. 10B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理的联系是解题的关键；
连接，根据，得，根据得与半径的关系，设半径为r，在中根据勾股定理即可解答．
【详解】连接，
直径弦于点，，
，
设的半径为r，
则，
，
，
在中
即
解得或（舍去），
故选：D．
9. 如图，在中，平分交于点，过点分别作、的平行线，交、于点、，已知，，，四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的判定和性质和面积计算、勾股定理等知识．由已知易得四边形是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得，，得出四边形是菱形；因为菱形的对角线互相垂直平分，可得，根据勾股定理，，即可求菱形的面积．
【详解】解：是的角平分线，
，
，
∴四边形是平行四边形，，
，
，
∴四边形是菱形；
，
，
，
，
，
，
连接，与交于点，
∵四边形是菱形，
互相垂直且平分，
，
，
根据勾股定理，，
，
∴四边形的面积．
故选A．
10. 四个单项式依次为、、、，在每两个单项式之间添上“+”、“-”“×”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为（每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次）．比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“+”、“-”、“×”就得到一个式子，记为；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“×”，“-”，“+”就得到另一个式子，记为；那么，下列说法中，正确的个数有（ ）个．
①将得到所有化简后，总共只有三种不同结果；
②对于得到的每一个，令，就得到一个关于的方程，若所有关于的方程都有两个不相等的实数根，那么；
③当取一个确定值时，每个都能得到一个对应值，将这些对应值中最大的值记为，这样，对于每一个的确定值，都有一个值与之对应．那么的最小值为0．
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，一元二次方程的根的情况，以及配方法求最值，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
①“×”，“-”，“+”打乱顺序分6种情况讨论，运用整式运算的法则计算即可；
②根据，分别求每一个一元二次方程的中参数n的取值范围；
③对每一个代数式进行配方即可求出最值．
【详解】解：、、、
①；；；；
；，
∴或或三种，故①符合题意；
②，有两个不相等的实数根，则；，则，∴；，则，∴，∴，故②符合题意；
③，，，因此的最小值为0，故③符合题意．
故选：A．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上．
11. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
本题中利用负整数指数幂的运算法则和代入特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知点在函数的图象上，则的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数自变量．熟练掌握求一次函数自变量是解题的关键．
将代入得，，计算求解即可．
【详解】解：将代入得，，
解得，，
故答案为：2．
13. 一个不透明的袋子里装了四个除标号外其余都相同的小球，小球的标号分别为．若一次性随机抽取两个小球，则两个小球的对应标号之和大于的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数和摸出的两个小球标号之和大于的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：

摸出的两个小球标号之和有：，共种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和大于的结果有种，
摸出的两个小球标号之和大于的概率为，
故答案为：．
14. 已知关于、的二元一次方程，下表列出了当分别取值时对应的值．
则关于的不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，一次函数的图象与性质，不等式的解集等知识．熟练掌握二元一次方程的解，一次函数的图象与性质，不等式的解集是解题的关键．
由，可得，由表格可得，随着的增大而增大，进而可求的解集．
【详解】解：∵，
∴，
由表格可得，随着的增大而增大，
∴的解集为，
故答案为：．
15. 如图，已知四边形内接于圆，连接、．若为等边三角形，，点、、共线，则阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、锐角三角函数、扇形面积公式等知识，过点作于点，与相交于点，由点共线，可知是的直径，进而得垂径定理，根据是等边三角形，求得的长，分别求出，即可求解．
【详解】解：过点作于点，与相交于点，
点共线，
是的直径，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为．
16. 如图，已知点、点分别是正方形的边、上的点，将正方形沿折叠，点、点的对应点分别为点、点，点恰好落在边上，交于点，连接交于点，当度时，请用含的式子表示为__________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形的外角等知识，熟练运用角的等量代换是解题的关键．
利用角的等量代换进行转化求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴由翻折的性质可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵为正方形对角线，
∴
∴，
故答案为：
17. 若实数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数的值之和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程的知识，解题的关键是先求出不等式组，根据不等式无解求出的值，再根据分式方程的解为负数，求出的取值范围，根据为整数，确定的值，即可．
【详解】解：由不等式组，
解不等式：，
解不等式：，
∵不等式无解，
∴；
，
解得：，
∵分式方程的解为负数，
∴，
解得：；
∴的取值范围为：，
∵为整数，
∴的值为：，，，，
∴整数的值之和为：．
故答案为：．
18. 对于一个四位自然数，如果它满足千位数字与百位数字的和大于十位数字，千位数字与百位数字的差的绝对值小于个位数字，且各个数位上的数字互不相等，那么我们称这个数为“三角数”．例如：3729，因为，，所以3729是“三角数”；又如4057，因为，所以4057不是“三角数”．若是最小的“三角数”，则__________；若“三角数”（，，，，，为整数），记的千位数字与十位数字的和为，当是4的倍数时，满足条件的的最大值和最小值的差为__________．
【答案】 ①. 1203 ②. 5056
【解析】
【分析】本题考查了新定义、数的整除、实数的运算等知识，掌握分类讨论是解题的关键．
①设，且，当，数字重复，时，则，只能为0，故，即可求解；
②当时，则N为，有是4的倍数，只有，则，此时符合题意；当时，则N为，则，是4的倍数，只有时，符合题意．
【详解】解：①若是最小的“三角数”，设，且，
当时，则，则，数字重复，故不符合题意；
当，数字重复，故不符合题意；
当时，则，
∴b可取1，2，0，b为1数字重复，b为2数字重复，故b为0，
∴这个四位数目前为，
∵且数字不重复，
∴，故，
故答案为：1203．
②当时，则N为，
∴，
∵是4的倍数，
∴当，则，此时，舍；
当，则，此时，此时，不满足千位数字与百位数字的和大于十位数字，舍，
当，则，此时，此时，由于，
故最小为；
当时，则N为，则，
∵是4的倍数，且，
∴当时，，而，故最大为，
当时，，而，故最大为，因此最大数为，最小数为，
∴差为5056．
故答案为：1203，5056．
三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，平方差公式，分式的混合运算；
（1）根据整式的乘法，平方差公式进行进行计算即可求解．
（2）根据分式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
20. 请完成以下作图和填空：如图，在平行四边形中，于点．
（1）尺规作图：过点A作交延长线于点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求证：平行四边形为菱形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：四边形是平行四边形，
① ，
，
，，
② ．
在与中：
，
．
③ ，
平行四边形是菱形（ ④ ）．
【答案】（1）作图见解析
（2）， ， ，有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【解析】
【分析】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
（1）根据垂线的作图方法作图即可；
（2）先根据平行四边形的性质得，由平行线的性质得再由垂直得，进而证明，得出，根据菱形判定定理得出结论．
【小问1详解】
如图所示即为所求，
【小问2详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
在与中：
，
，
，
平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
故答案为：， ， ，有一组邻边相等的平行四边形是菱形
21. 为了解学生的课外阅读情况，某校调研了七、八年级学生，分别从七、八年级中各随机抽取20名学生了解平均每天课外阅读时长（单位：小时），对调查结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息1．七年级20名学生平均每天课外阅读时长如下所示：
3.0 2.8 2.6 2.5 2.4 2.3 2.0 2.0 2.0 1.7
1.6 1.6 1.4 1.2 1.0 1.0 0.8 0.6 0.3 0.2
信息2．（1）八年级20名学生平均每天课外阅读时长的频数分布直方图如下图：（阅读时长用表示，数据分为六组：，，，，，）．
（2）八年级阅读时长范围为的数据如下：
1.6 1.8 1.9 2.0 2.1 2.1 2.1 2.4；
信息3．七、八年级抽取学生平均每天课外阅读时长统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：__________，__________；请补全频数分布直方图；
（2）该校八年级共1800人，估计八年级每天课外阅读不少于1.5小时的学生人数；
（3）根据以上数据，你认该校七、八年级在课外阅读方面哪个年级做得更好？请说明理由．（写出一条理由即可）
【答案】（1）2.0，1.7；见详解
（2）990人 （3）该校八年级在课外阅读方面做得更好，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义，确定的值；结合八年级阅读时长范围为的数据，补画频数分布直方图即可；
（2）利用八年级学生总人数乘以参与调查的20名学生中每天课外阅读不少于1.5小时的学生占比，即可获得答案；
（3）根据该校参与调查的七、八年级学生平均每天课外阅读时长统计数据的中位数，分析判断即可．
【小问1详解】
解：∵七年级20名学生平均每天课外阅读时长统计数据中，2.0出现了3次，出现的次数最多，
∴七年级20名学生平均每天课外阅读时长统计数据中，众数；
将八年级20名学生平均每天课外阅读时长统计数据按从小到大排列，排在第10，11位的是1.6，1.8，
∴八年级20名学生平均每天课外阅读时长统计数据的中位数；
由题目中的信息可知，八年级阅读时长范围为的数据有1.6，1.8，1.9，共计3个，
阅读时长范围为的数据有2.0，2.1，2.1，2.1，2.4，共计5个，
故可补画频数分布直方图如下：
【小问2详解】
解：（人），
∴估计八年级每天课外阅读不少于1.5小时的学生人数为990人；
【小问3详解】
解：我认为该校八年级在课外阅读方面做得更好，理由如下：
∵八年级抽取学生平均每天课外阅读时长的中位数为，大于七年级抽取学生平均每天课外阅读时长的中位数1.65，
∴我认该校八年级在课外阅读方面做得更好．
【点睛】本题主要考查了中位数、众数、频数分布直方图、利用样本估计总体以及统计数据的应用等知识，通过题目中描述获得所需信息是解题关键．
22. 为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点在点的正东方向．点在点的正北方向，米．点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据：，）
（1）求步道的长度（结果保留根号）；
（2）体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？
【答案】（1）米；
（2）选时，消耗的热量更多．
【解析】
【分析】本题主要考查与方位角有关的解直角三角形的应用，
过点B作垂线与过点D作垂线交于点E，过点C作交DE的延长线于点F，交延长线于点G，则，根据题意得，利用，解得，由题意知，即可求得．
在中，利用，解得，进一步求得米，分别计算比较两条路线消耗热量即可．
【小问1详解】
解：过点B作垂线与过点D作垂线交于点E，过点C作交DE的延长线于点F，交延长线于点G，如图，
则四边形是矩形，
∴米，
∵点位于点的北偏东方向，
∴，
∵米，
∴，解得（米），
∵点正好在点的东北方向，
∴，
∵米．
∴米．
【小问2详解】
解：在中，，解得（米），
则米，
那么，选时，消耗热量为：（千卡），
选时，消耗热量为：（千卡），
，
选时，消耗的热量更多．
23. 走洛克之路，赏人间仙境．洛克之路是甘南旅游网红自驾线路，起点为迭部县扎尔那，终点为卓尼县扎古录，全程共105千米．甲、乙两人分别驾车从迭部县扎尔那和卓尼县扎古录出发，沿洛克之路自驾旅游，3小时后两人相遇，相遇后甲、乙继续往目的地行驶并走完全程，乙走完全程所用时间是甲走完全程所用时间的1.5倍．
（1）甲、乙两人单独走完全程各需多少小时？
（2）风干牦牛肉是甘南特色小吃．甲购买了种牦牛肉，乙购买了种牦牛肉，甲购买的袋数比乙的2倍少5袋，已知种牦牛肉价格为每袋35元，种牦牛肉价格为每袋50元，计算发现乙购买牦牛肉花费更多．问乙最多购买了多少袋牦牛肉？
【答案】（1）甲、乙两人单独走完全程各需5小时，小时；
（2）乙最多购买了8袋牦牛肉．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用等知识，
（1）设甲走完全程用时小时，根据题意列出分式方程，即可求解；
（2）设乙购买了袋牦牛肉，根据题意列出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：设甲走完全程用时小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，为所列分式方程根且符合题意，
，
答：甲、乙两人单独走完全程各需5小时，7.5小时．
【小问2详解】
解：设乙购买了袋牦牛肉，
根据题意得：，
解得：，
的最大整数解为．
答：乙最多购买了8袋牦牛肉．
24. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿着方向运动，当点到达点A时停止运动．设点运动的路程为，的面积为．
（1）直接写出与之间的函数表达式，并写出的取值范围；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出一条该函数图象的性质： ．
（3）根据函数图象，直接写出当的面积大于的面积时，的取值范围： ．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）或．
【解析】
【分析】（1）先求出，再分点P位于线段上和点P位于线段上两种情况表示出的高，根据面积公式即可列出函数解析式；
（2）根据解析式即可画出函数图象，根据图象即可写出函数性质；
（3）先求出，再分别把代入和求出和，结合函数图象即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形为矩形，
∴，，
∴．
如图1，当点P位于线段上时，
由题意得．
∴，
根据三角形面积公式得；
如图2，点P位于线段上时，过点P作，分别交于点M、N，
由题意得．
∵，,
∴四边形为矩形，
∴，分别为，的高，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴与之间的函数表达式为；
【小问2详解】
解： 列表得
描点，连线，
的图象如图所示；
；
图象性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大；
【小问3详解】
解：由题意得，
把代入得，解得，
把代入得，解得．
由题意得当时，或．
【点睛】本题为一次函数与几何图形综合题，考查了求分段函数解析式，一次函数与不等式的关系，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，本题要注意分类讨论，从而列出分段函数解析式．
25. 如图1，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，其中．
（1）求线段的长度．
（2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，作轴交于点，为中点，连接，请求出的最大值以及此时点的坐标．
（3）将抛物线水平向右平移个单位后得到抛物线，点、点的对应点分别为点、点，抛物线与轴交于点（点不与原点重合），连接、．在平移过程中，当时，请直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）；；
（3），．
【解析】
【分析】（）根据抛物线过点即可求出，然后令求出点即可或根据对称轴求解即可；
（）由题意和三角函数先证为等边三角形，得，即有最大时，也取最大值，设，，得出即可；
（）设抛物线（，），则，
令，求出，，，又得，从而，即，再分情况讨论即可求解；
本题考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键．
【小问1详解】
将代入抛物线，得到解析式为，
法一：令解出，
∴，
∴；
法二：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（）得解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意得是直角三角形，
∵为中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
设，
由题意可得，解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴当，即时，，
∴时，的最大值为；
【小问3详解】
①设抛物线（，），则，
令，求出，，
、点；
令，求出，
，
②时，，从而，即；
③情况，当时，如备用图1，，，，
代入得：，
，
又，
，
，
，
，
，
；
情况2，当时，如备用图，，，，
代入得：，
，
又，
，
，
，
，
，
．
综上：或．
26. 如图，在中，平分交边于点，在边上取点，使得，连接．
（1）如图1，当时，求的大小．
（2）如图2，过点作于点，当时，请证明：．
（3）如图3，在（2）问的条件下，连接，当时，在四边形内部是否存在点，使得点到四边形四条边的距离相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；
（2），证明见解析；
（3）存在点，使得点到四边形四条边的距离相等，且．
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、中位线定理、等腰三角形三线合一、黄金三角形等知识，
（1）设，则，，根据即可求解；
（2）取中点，连接；由三线合一得为中位线，根据，即可证明；
（3）根据，平分可得，设，则，，，根据可得，进而得是三个内角分别为，，的“黄金三角形”，作的平分线交于点，证明得出，证明得出平分，再证明即可求解；
【小问1详解】
解：，理由如下：
设，则，，
又，．
【小问2详解】
证明：取中点，连接；
由三线合一得出为中点，
中位线，
且
，
，
，
．
【小问3详解】
解：存在点，使得点到四边形四条边的距离相等，且，理由如下：
，平分，
，
设，则，，
，
，
，
，
是三个内角分别为，，的“黄金三角形”，
如图，作的平分线交于点，
设，则，
，
，
，
，
，平分
，
平分
当点为角平分线与交点时，点到四边形四条边的距离相等，
，，
，，
平分
平分
在中，
在中，，
,
由对称性可知，
，
．…
0
1
2
3
…
…
1
3
5
7
…
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
1.65
1.65
0.63
八年级
1.65
2.1
0.61
x
0
3
8
y
10
4
10