湖北省鄂西南三校2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题（Word版附解析）

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1. 已知A，B，C，D是空间中互不相同四个点，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知数列为等比数列，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C D.
4. 已知向量，向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 双曲线的虚轴长为4，离心率，分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且│AB│是的等差中项，则│AB│等于（ ）
A. 8B. 4C. 2D. 8
7. 古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9. 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）
A. 是它的一条对称轴B. 它的离心率为
C. 点是它的一个焦点D.
10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 是锐角三角形
D. 的最大内角是最小内角的倍
11. 已知函数的定义域均为是偶函数，且，若，则（ ）
A.
B. 的图象关于点中心对称
C.
D
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度跑步速度均相同，则先到教室的是 __．
13. 已知数列的前项之和，则数列的通项公式__________．
14. 若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15. 已知正项数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求.
16. 树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；
（2）如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；
（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．
17. 如图，在中，，，．将绕旋转得到，分别为线段的中点．

（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18. 如图，在圆上任取一点，过点作轴垂线段，为垂足，且满足．当点在圆上运动时，的轨迹为．

（1）求曲线的方程；
（2）点，过点作斜率为的直线交曲线于点，交轴于点．已知为的中点，是否存在定点，对于任意都有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得 （其中），则称为的“重覆盖函数”．
（1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
（2）若，为，“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）函数表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”请直接写出正实数的取值范围．