湖北省四校2022-2023学年高二数学下学期5月联考试题（Word版附解析）

这是一份湖北省四校2022-2023学年高二数学下学期5月联考试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

郧阳中学恩施高中随州二中襄阳三中高二下学期五月联考
高二数学试卷

考试时间： 试卷满分：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（    ）．
A．20 B．120 C．360 D．720
2．在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（    ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．近期襄阳三中在举行新团员竞选活动，已知襄阳三中优秀学生的概率约为10%，在全体学生中有20%是团员，他们中优秀学生概率约为40%，则非团员中优秀学生的概率约为（    ）
A．2.5% B．3.2% C．4.8% D．2%
4. 襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代。江汉大桥由主桥架、上下水平纵向联结系、桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（    ）





 
A． B． C． D．
5．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（    ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若函数在区间上有最大值，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
7．已知为椭圆上任一点，过作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最小值为（    ）
A．0 B．
C． D．
8．已知函数，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．下列说法中正确的是（    ）
A．已知随机变量X服从二项分布，则
B．“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件
C．已知随机变量X的方差为，则
D．已知随机变量X服从正态分布且，则
10．已知为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于，两点，过，作的切线交于点，则下列结论正确的是（    ）
A． B．若点为，且直线与倾斜角互补，则
C．点在定直线上 D．设点为，则的最小值为3
11．已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（    ）
A．直线 // 平面
B．若，则平面
C．直线到平面的距离为
D．若取得最小值，则
12．已知是函数的零点，是函数的零点，且，则下列说法正确的是（    ）
（参考数据：）
A．a≤0
B．若．则
C．存在实数a，使得，且成等差数列
D．存在实数a，使得成等比数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则_______.
14．已知，，，且，，，其中是自然对数的底数，则实数，，的大小关系是____________.（用“<”连接）
15．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，设该双曲线的方程为，右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为__________．

16． 有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明及演算步骤。

17．设正项数列的前n项和为，且，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．
18.某商场周年庆期间举行了一场抽奖活动，该商场在宣传时对外宣称他们的抽奖活动中奖率为90%，现从抽奖的顾客中随机抽取10人，计中奖的人数为X．
(1)若，从这10人中随机抽取3人进行采访，设被抽中的中奖人数为Y，求Y的分布列和数学期望；
(2)若，你是否怀疑商场的宣传？并说明理由，[附：，，，，，．]

19．如图，在三棱柱中，，侧面为菱形，为等边三角形．

(1)求证：；
(2)若，点E是侧棱上的动点，且平面与平面的夹角的余弦值为，求点B到平面的距离．

20．某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：
方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元；
方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.
(1)若用方案一，求的分布列与数学期望；
(2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由；
(3)若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量服从正态分布，则

21．已知过点的直线l与抛物线相交于A，B两点，当直线l过抛物线C的焦点时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点，连接QA，QB分别交抛物线C于点E，F，且与的面积之比为，求直线AB的方程．

22．设定义在R上的函数．
(1)若存在，使得成立，求实数a的取值范围；
(2)定义：如果实数s，t，r满足，那么称s比t更接近r．对于（1）中的a及，问：和哪个更接近？并说明理由．


数学参考答案
1.【答案】B
【分析】甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，利用倍缩法求解即可.
【详解】因为甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，
所以不同的上台顺序种数为.
故选：B.
2【答案】B
【分析】根据等比数列的性质得，再结合基本不等式即可求解．
【详解】各项均为正数的等比数列中，
由，则，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为8．
故选：B．
3【答案】A
【分析】根据全概率公式求得正确答案.
【详解】设非团员中优秀学生的概率为，
则，
解得.
故选：A
4
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.
【详解】以E为坐标原点，EB，ED，EI所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，
，
设直线AH与直线IG所成角为，
则，
故直线AH与直线IG所成角的余弦值为.

故选：D
5【答案】C
【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可．
【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，
事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，
又，则，
即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．
故选：C．
6【答案】A
【分析】利用导数可得是 函数的极大值点，再利用题意列出不等式组即解.
【详解】由得，
∴当或时，，当时，，
故是 函数的极大值点，
令，即，
∴，或，又函数在区间上有最大值，
∴，
解得.
故选：A.
7【答案】D
【分析】依题意不妨设，则，则根据平面向量数量积的定义得到，再设，根据平面直角坐标系上任意两点的距离公式得到，最后根据二次函数的性质计算可得；
【详解】解：不妨设，则，所以，设，则，可得，点，所以，因为，所以当时，取得最大值，所以的最小值为；
故选：D
8【答案】A
【分析】相同切线的位置上，设的切点坐标为，的切点坐标为，由导数求切点处切线的斜率，有，由切点求出切线方程，代入切点坐标，得，方程要有两个不同的实数根，设，利用导数研究单调性，找最值，可得的取值范围，即可得实数的取值范围.
【详解】时，，，不合题意，故，
，函数定义域为，，
，，
相同切线的位置上，设的切点坐标为，的切点坐标为，
则有，即，
公切线方程为
代入，得，即，整理得，
若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则方程有两个不同的实数根，
设，则，
，解得；，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
当时函数有最大值，所以，
当时，符合条件；
当时，有，
所以实数的取值范围为.
故选：A
【点睛】方法点睛：证明两曲线恰有两条公切线，一般涉及到曲线的切线都是利用切点来引入，通过假设切点，求出其中一条曲线的切线方程，利用切线方程与另一条曲线也相切可以得到切点满足的条件（方程），从而把曲线的切线问题转化为方程根的分布问题进而变成函数的零点问题，这就是转化与化归思想。

9【答案】BD
【分析】根据二项分布的期望公式判断A；根据对立事件与互斥事件的关系判断B；
根据方差公式判断C；根据正态分布的对称性判断D.
【详解】对于A：随机变量X服从二项分布，则，故A错误；
对于B：“A与B是互斥事件”不能推出“A与B互为对立事件”，“A与B互为对立事件”能推出“A与B是互斥事件”，故“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件，故B正确；
对于C：随机变量X的方差为，则，故C错误；
对于D：因为随机变量X服从正态分布且，根据对称性可知，，所以，故D正确．
故选：BD．
10【答案】AC
【分析】直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断AB；
分别求点处的切线方程，联立切线方程求点的坐标，即可判断C；
设，利用两点间距离，结合二次函数求最值，即可判断D.
【详解】A.设，，
联立，得，
，，


，故A正确；
B.因为，直线与倾斜角互补，
所以
，
，
得，且，
即，且
解得：，故B错误；
C.设点在轴上方，在轴下方，，，轴上方的抛物线方程为，轴下方的抛物线方程为，
此时在点处的切线的斜率，点处的切线的斜率，
所以点处的切线方程为，点处的切线方程为，方程化简为，，
两式相除化简得，故C正确；

D.设，,
，当时，的最小值为，故D错误.
故选：ABC
11【答案】ABC
【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，对每个选项逐一分析即可．
【详解】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示，

对于B：若，则，
所以，
因为，，设平面的一个法向量为，
则，取，则，
因为，
所以平面，即平面，故B正确；
对于C：因为点的坐标为，点的坐标为，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以，取，则，
因为，且直线平面，
所以直线平面，
所以点到平面的距离就是直线到平面的距离，
则点到平面的距离，
即直线到平面的距离为
对于D：因为正四面体的长为2，
所以正方体的棱长为，
则，，，
因为点，分别为和的重心，
所以点的坐标为，点的坐标为
所以
设，则，
所以，
所以，
，
对于Ａ：因为，
，
所以，
当时，即，，取得最小值，故D错误；
故选：ABC．
12【答案】BD
【分析】利用函数的性质可判断，观察到，进而找到之间的关系，利用对勾函数的性质求出的范围，由等比数列的性质及之间的关系将问题转化为方程解的问题，利用函数单调性及零点存在定理即可判断，由等差数列的性质及之间的关系即可求出的值，即可判断.
【详解】∵，
∴为偶函数，∴关于轴对称，
∵是函数的零点，∴，且，
∵，∴，
当时，，当时，，当时，，
则想要有两个零点，则，故错误；
∵是函数的零点，∴，且，
又∵，
∴，，
∵，，∴，且，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，，，
∴，即，由对勾函数的性质可知，故正确；
∵成等差数列,且 ∴，∴，
∴，解得，此时，则与矛盾，故C不正确.
∵成等比数列, ∴,∴，∴，∴，
∴，∴，
令，，则在上单调递增，
其中>0，，故在上存在唯一的零点，
即方程有解，则存在实数a，使得成等比数列，故D正确；
故选：BD.
13.511
14【答案】
【分析】构造函数，，，，，分别利用导数研究函数在上的单调性和在上的单调性，即可比较大小.
【详解】设，，则 ，，
由题意知，，，，
因为在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，即，
因为 在上恒成立，所以在上单调递减，
所以.
故答案为：
15
【答案】/
【分析】设，则，由双曲线的定义可得，由题意可知四边形为矩形，在中，由勾股定理解得，在中，由勾股定理可求得离心率.
【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为点，连接，设，则，

由双曲线的定义可得，
由于，则,又，则四边形为矩形，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
在中，由勾股定理得，即，
．
故答案为：.
16【答案】
【分析】记事件表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式即得.
【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，
所以，
，
，
进而可得，，
又，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
故答案为：；.
17
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据结合题意可得是以为首项，1为公差的等差数列，进而可得的通项公式；
（2）根据累加法与错位相减法求解即可.
【详解】（1）由，得，
因为，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以，当时，，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为．
（2）由知：
当时，，
①，
则②，
由得：，
化简得：，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为．
18【答案】(1)分布列见解析，
(2)答案见解析

【分析】（1）由题意Y的可能取值为0，1，2，3．利用超几何分布求出对应的概率，进而可得分布列，结合数学期望公式计算即可求解；
（2）利用间接求法和题意中给的数据求出的概率，结合概率的定义和表示意义即可下结论.
【详解】（1）Y的可能取值为0，1，2，3．
；；
；．
所以Y的分布列如下：
Y
0
1
2
3
P




．
（2）
.
0.013概率非常小，因此中奖人数不超过6人是小概率事件，
在一次试验中几乎不可能发生，而现在发生了，从这个角度，就可以怀疑商场是虚假宣传．
换一个角度，因为样本数据较少，中奖人数不超过6人是一个随机事件，
在一次试验中可能发生，所以从这个角度也可以不怀疑商场的宣传.
19【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）先证明平面,再根据线面垂直的性质定理即可证明结论；
（2）建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，设，求出平面的一个法向量，根据平面与平面的夹角的余弦值求得参数，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）连接与相交于点，连接，如图所示：

∵四边形为菱形，∴为的中点，则．
为等边三角形，有，平面，
，∴平面,
平面，∴，
又，平面，，
∴平面,∵平面，∴．
（2）由（1）知，，且平面，
故平面，而平面，故平面平面，
分别取的中点，连接，
则，∴平面，为等边三角形，，
而平面平面，平面，故平面，
以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
设，则，
∴，，
设平面的一个法向量，则有，
令，则，，即，
又∵平面的法向量为，
∴平面与平面的夹角的余弦值为,
∴，∴或（舍），
此时，又，
∴点到平面的距离为：．
20【答案】(1)分布列见解析，
(2)方案二，理由见解析
(3)（万元）

【分析】（1）根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式，计算出概率，列分布列即可得出期望；
（2）根据方案二，按照（1）的方法计算期望，比较方案一的期望即可；
（3）根据正态分布，利用给定区间的概率计算即可得解.
【详解】（1）对于方案一，由条件可知有可能取值为3，4，5，6，
， ，
，  ，
∴的分布列为：

3
4
5
6





期望值.
（2）对于方案二，由条件可得值为3，4，5，6，
，  ，
，  ，
∴的期望值
∵所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高.
（3）由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为，
则给员工颁发奖金的总数为（万元），
设每位职工为企业的贡献的数额为，
所以获得奖金的职工数约为
.
（人）
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.
21【答案】(1)方程为．
(2)方程为．

【分析】（1）直线AB的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式求出的值，即可得解；
（2）设直线AB的方程为，与抛物线联立可得，直线AQ的方程与抛物线联立，设，则，设，同理可得，利用三角形面积公式可得，求解即可.
【详解】（1）设，因为抛物线C的焦点为，
所以当直线l过C的焦点时，直线AB的方程为，
由得．
则，
，
整理得，
所以，故抛物线C的方程为．
（2）易知直线AB的斜率在且不为零，设直线AB的方程为，
由得，
则，即或，．
易知直线AQ的方程为，
由得，
设，则，
设，同理可得，
则
，
得，故直线AB的方程为．

22【答案】(1)
(2)比更接近，理由见解析

【分析】（1）根据已知条件转化为最值问题，讨论的单调性，从而求出a的取值范围；
（2）根据已知条件转化为比较两个函数的大小，利用函数的单调性，求出比更接近
【详解】（1）因为存在，使得成立，即
由题设知，，
①当时，恒成立，在R上单调递增；
即在单调递增，，不满足，
所以舍去.
②当时，令，得，
当时，单调递减，当时，单调递增；
当时，在单调递增，，不满足，所以，舍去.
当时，，在单调递减，在单调递增，               所以成立，故当时成立.
综上：实数a的取值范围.
（2）令，
，在单调递减．因为
故当时，；当时，；
令，
，令，，在单调递增，
故，所以，则在单调递增，
所以，由（1）知，;
①当时，，,
令，
所以，故在单调递减，
所以，由（1）知，所以，
即，故，
所以比更接近；
②当时，，，
令，，令，
，在上单调递减，
所以，，在单调递减，
所以，由（1）知，所以，
即，故，
所以比更接近；
综上：当及，比更接近．