高中物理新教材同步必修第二册 第8章 专题强化 功的计算 机车的两种启动方式同步讲义

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专题强化　功的计算　机车的两种启动方式[学习目标]1.掌握功的公式的适用条件及求一般的变力做功的方法.2.进一步掌握瞬时功率和平均功率的计算方法.3.会分析机车恒定功率启动和匀加速启动过程中加速度和速度的变化.一、功的计算1.恒力做功的计算功的公式W＝Flcos α，只适用于恒力做功，即F为恒力，l是物体相对地面的位移，流程图如下：2.变力做功的计算(1)将变力做功转化为恒力做功.当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程的乘积.(2)当变力做功的功率P一定时，如机车恒定功率启动，可用W＝Pt求功.(3)用平均力求功：若力F随位移x线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功，如将劲度系数为k的弹簧拉长x时，克服弹力做的功W＝eq \f(0＋F,2)x＝eq \f(kx,2)·x＝eq \f(1,2)kx2.(4)用F－x图像求功若已知F－x图像，则图像与x轴所围的面积表示功，如图1所示，在位移x0内力F做的功W＝eq \f(F0,2)x0.图1在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为eq \f(R,2)和R的两个半圆构成.如图2所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为(　　)图2A.零 B.FRC.eq \f(3,2)πFR D.2πFR答案　C解析　小球受到的拉力F在整个过程中大小不变，方向时刻变化，是变力.但是，如果把圆周分成无数微小的弧段，每一小段可近似看成直线，拉力F在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后将各段做功累加起来.设每一小段的长度分别为l1，l2，l3…ln，拉力在每一段上做的功W1＝Fl1，W2＝Fl2…Wn＝Fln，拉力在整个过程中所做的功W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(l1＋l2＋…＋ln)＝Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π·\f(R,2)＋πR))＝eq \f(3,2)πFR.放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的图像和水平拉力的功率与时间的图像如图3甲、乙所示.下列说法正确的是(　　)图3A.0～6 s内物体的位移大小为20 mB.0～6 s内拉力做功为100 JC.滑动摩擦力的大小为5 ND.0～6 s内滑动摩擦力做功为－50 J答案　D解析　由题图甲可知，在0～6 s内物体的位移大小为x＝eq \f(1,2)×(4＋6)×6 m＝30 m，故A错误；由题图乙可知，P－t图线与时间轴围成的面积表示拉力做功的大小，则0～6 s内拉力做功WF＝eq \f(1,2)×2×30 J＋10×4 J＝70 J，故B错误；在2～6 s内，v＝6 m/s，P＝10 W，物体做匀速运动，摩擦力Ff＝F＝eq \f(P,v)＝eq \f(5,3) N，故C错误；在0～6 s内物体的位移大小为30 m，滑动摩擦力做负功，即Wf＝－eq \f(5,3)×30 J＝－50 J，D正确.二、机车的两种启动方式在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力恒定，且为车重的0.1倍(g取10 m/s2)，则：(1)若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？(2)当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？(3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？答案　(1)见解析　(2)eq \f(10,3) m/s　(3)10 m/s解析　(1)若汽车以不变的额定功率从静止启动，v变大，由P额＝Fv知，牵引力F减小，根据牛顿第二定律F－Ff＝ma知，汽车的加速度逐渐减小.(2)F－Ff＝ma1P额＝Fv1联立得：v1＝eq \f(10,3) m/s.(3)当汽车速度达到最大时，a2＝0，F′＝Ff，P＝P额，故vmax＝eq \f(P额,Ff)＝eq \f(105,0.1×104×10) m/s＝10 m/s.(2019·山西大学附中高一下学期期中)汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为4吨，当它行驶在坡度为α(sin α＝0.02)的长直公路上时，如图4所示，所受摩擦力为车重的0.1倍(g取10 m/s2)，求：(结果均保留三位有效数字)图4(1)汽车所能达到的最大速度vm；(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间；(3)当汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度匀加速行驶的速度达到最大值的过程中，汽车做功为多少.答案　(1)12.5 m/s　(2)13.9 s　(3)4.16×105 J解析　(1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即F阻＝kmg＋mgsin α＝4 800 N又因为F＝F阻时，P＝F阻·vm，所以vm＝eq \f(P,F阻)＝eq \f(6×104,4 800) m/s＝12.5 m/s(2)汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2的加速度匀加速行驶，有F′－kmg－mgsin α＝ma，所以F′＝ma＋kmg＋mgsin α＝4×103×0.6 N＋4 800 N＝7.2×103 N；保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度vm′，有vm′＝eq \f(P,F′)＝eq \f(60×103,7.2×103) m/s≈8.33 m/s由运动学规律可得t＝eq \f(vm′,a)＝eq \f(8.33,0.6) s≈13.9 s(3)汽车在匀加速阶段行驶时做功为W＝F′·l＝F′·eq \f(vm′2,2a)＝7.2×103×57.82 J≈4.16×105 J.机车启动问题中几个物理量的求法分析机车启动问题，要抓住两个核心方程：牛顿第二定律方程F－Ff＝ma联系着力和加速度，P＝Fv联系着力和速度.(1)机车的最大速度vm的求法.机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vm＝eq \f(P,F)＝eq \f(P,Ff).(2)匀加速启动持续时间的求法.牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度vm′＝eq \f(P额,ma＋Ff)，时间t＝eq \f(vm′,a).(3)瞬时加速度的求法.据F＝eq \f(P,v)求出牵引力，则加速度a＝eq \f(F－Ff,m).(2018·鹤壁市高一下学期期末)汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P0.快进入闹市区时司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶.下列四个图像中，哪个正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系图像(　　)答案　C解析　汽车匀速行驶时牵引力等于阻力；功率减小一半时，汽车的速度由于惯性来不及变化，根据功率和速度关系公式P＝Fv，牵引力减小一半，小于阻力，合力向后，汽车做减速运动，由公式P＝Fv可知，功率一定时，速度减小后，牵引力增大，合力减小，加速度减小，故汽车做加速度不断减小的减速运动，当牵引力增大到等于阻力时，加速度减为零，汽车重新做匀速直线运动，且v′＝eq \f(1,2)v0，故选C.1.(功的计算)一个物体在粗糙的水平面上运动，先使物体向右滑动距离l，再使物体向左滑动距离l，正好回到起点，来回所受摩擦力大小都为Ff，则整个过程中摩擦力做功为(　　)A.0 B.－2Ffl C.－Ffl D.无法确定答案　B解析　由题意可知，物体运动过程可分两段，两段内摩擦力均做负功，即W＝－Ffl，则全程摩擦力所做的功W总＝－2Ffl.2.(以恒定功率启动)(2018·宜昌一中高一下学期期末)质量为m的汽车在平直的公路上从静止开始以恒定功率P启动，最终以某一速度做匀速直线运动.此过程中，汽车所受阻力大小恒为Ff，重力加速度为g，则(　　)A.汽车的速度最大值为eq \f(P,Ff) B.汽车的速度最大值为eq \f(P,mg)C.汽车的牵引力大小不变 D.汽车在做匀变速直线运动答案　A3.(机车启动中的图像问题)(多选)(2018·运城市河东一中期末)一辆轿车在平直公路上行驶，启动阶段轿车牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过时间t0，其速度由零增大到最大值vm.若轿车所受的阻力Ff为恒力，关于轿车的速度v、牵引力F、功率P随时间t变化的情况，下列选项正确的是(　　)答案　BCD解析　轿车以恒定的牵引力F启动，由a＝eq \f(F－Ff,m)得，轿车先做匀加速运动，由P＝Fv知，轿车的输出功率均匀增加，当功率达到额定功率时，牵引力逐渐减小，加速度逐渐减小，轿车做加速度逐渐减小的加速运动，当F＝Ff时，速度达到最大，之后轿车做匀速运动，B、C、D正确，A错误.4.(机车启动中的图像问题)一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v－t图像如图5所示.已知汽车的质量为m＝2×103 kg，汽车受到的阻力为车重的eq \f(1,10)，g取10 m/s2，则(　　)图5A.汽车在前5 s内受到的阻力为200 NB.前5 s内的牵引力为6×103 NC.汽车的额定功率为40 kWD.汽车的最大速度为20 m/s答案　B解析　由题意知汽车受到地面的阻力为车重的eq \f(1,10)，则阻力Ff＝eq \f(1,10)mg＝eq \f(1,10)×2×103×10 N＝2 000 N，选项A错误；由题图知前5 s内的加速度a＝eq \f(Δv,Δt)＝2 m/s2，由牛顿第二定律知前5 s内的牵引力F＝Ff＋ma＝(2 000＋2×103×2) N＝6×103 N，选项B正确；5 s末达到额定功率P额＝Fv5＝6×103×10 W＝6×104 W＝60 kW，最大速度vmax＝eq \f(P额,Ff)＝eq \f(6×104,2 000) m/s＝30 m/s，选项C、D错误.一、选择题1.钢球在足够深的槽中由静止开始下降，若槽中的油对球的阻力正比于其速度，则球在下落的过程中阻力对球做功的功率大小随时间的变化关系最接近下列图像中的(　　)答案　A解析　开始阶段，球的速度小，阻力也小，由P＝Ffv知，功率就小.由于Ff＝kv，则P＝kv2，可见，阻力的功率随时间非线性增大.当重力与阻力相等时，球的速度不变，阻力的功率达到最大，故选项A正确.2.(2018·岷县一中高一下学期期末)质量为5 t的汽车，在水平路面上以加速度a＝2 m/s2启动，所受阻力恒为1.0×103 N，汽车启动后第1秒末发动机的瞬时功率是(　　)A.2 kW B.22 kW C.1.1 kW D.20 kW答案　B解析　根据牛顿第二定律得：F－Ff＝ma，则F＝Ff＋ma＝1 000 N＋5 000×2 N＝11 000 N，汽车第1 s末的速度：v＝at＝2×1 m/s＝2 m/s，所以汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率为：P＝Fv＝11 000×2 W＝22 000 W＝22 kW，故B正确.3.(多选)如图1所示，质量为m的滑块(可视为质点)，从半径为R的半球面的上端A点处以初速度v0滑下，B为最低点，O为球心，A、O、C三点等高，从A到C滑动过程中滑块所受到的摩擦力大小恒为Ff.则滑块(　　)图1A.从A到B过程，重力做功为零B.从A到B过程，弹力做功为零C.从A到B过程，摩擦力做功为－eq \f(1,4)πRFfD.从A到C过程，摩擦力做功为－πRFf答案　BD解析　滑块从A到B过程，重力做功不为零，选项A错误；弹力始终与位移方向垂直，弹力做功为零，选项B正确；从A到B过程，摩擦力方向始终与速度方向相反，摩擦力做功为W1＝－FfsAB＝－Ff(eq \f(1,4)×2πR)＝－eq \f(1,2)πRFf，选项C错误；同理，滑块从A到C过程，摩擦力做功W2＝－Ff(eq \f(1,2)×2πR)＝－πRFf，选项D正确.4.如图2所示，某个力F＝10 N作用在半径为R＝1 m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为(　　)图2A.0 B.20π JC.10 J D.10π J答案　B解析　由题意知力F的大小不变，但方向时刻都在变化，属于变力做功问题，转盘转动一周过程中，力和作用点的位移方向始终相同，所以力方向上的位移即周长，W＝Fx＝F·2πR＝20π J，选项B正确.5.(2018·长治二中期末)如图3甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点O处的小物块，在水平拉力F的作用下沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示.已知纵横坐标轴单位长度代表的数值相同，纵横坐标单位均为国际单位，曲线部分为半圆，则小物块运动到x0处时拉力所做的功为(　　)图3A.Fmx0B.eq \f(1,2)(Fm＋F0)x0C.eq \f(π,4)(Fm－F0)x0＋F0x0D.eq \f(π,4)x02＋F0x0答案　C解析　F－x图像的“面积”等于拉力做功的大小，则得到拉力做的功W＝F0x0＋eq \f(1,2)π(eq \f(x0,2))2＝F0x0＋eq \f(π,8)x02，由题图乙看出，Fm－F0＝eq \f(x0,2)，故W＝eq \f(π,4)(Fm－F0)x0＋F0x0，选项C正确.6.(2018·许昌市高一下学期期末)在平直的公路上，静止的汽车启动后先匀加速开始运动，达到额定功率后保持额定功率不变继续运动.设汽车所受阻力恒定，则关于汽车运动全过程中的加速度大小随时间变化图像可能是下图中的(　　)答案　A解析　先保持匀加速运动，当汽车的功率达到额定功率时，此时P额＝Fv，随着速度的增大，牵引力在减小，根据F－Ff＝ma知，加速度减小，故A正确.7.(2018·哈尔滨六校高一下学期期末联考)如图4所示为某新型电动汽车在阻力一定的水平路面上进行性能测试时的v－t图像.Oa为过原点的倾斜直线， bc段是与ab段相切的水平直线，ab段汽车以额定功率P行驶，下列说法正确的是(　　)图4A.0～t1时间内汽车的功率减小B.t1～t2时间内汽车的牵引力不变C.t2～t3时间内牵引力不做功D.汽车行驶时受到的阻力大小为eq \f(P,v2)答案　D解析　0～t1时间内，电动汽车做匀加速直线运动，牵引力不变，速度逐渐增大，根据P＝Fv知，汽车的功率逐渐增大，故A错误；在v－t图像中，斜率代表加速度，故在ab段加速度减小，牵引力减小，故B错误；t2～t3时间内，电动汽车做匀速直线运动，牵引力等于阻力，牵引力做正功，故C错误；匀速行驶时，牵引力等于阻力，根据P＝Fv＝Ffv2得Ff＝eq \f(P,v2)，故D正确.8.质量为m的汽车，其发动机额定功率为P.当它在倾角为θ的斜坡上向上行驶时，受到的阻力为车重力的k倍，则车在此斜坡上的最大速度为(　　)A.eq \f(P,mgsin θ) B.eq \f(Pcos θ,mgk＋sin θ)C.eq \f(Pcos θ,mg) D.eq \f(P,mgk＋sin θ)答案　D解析　当汽车做匀速运动时速度最大，此时汽车的牵引力F＝mgsin θ＋kmg，由P＝Fvm可得vm＝eq \f(P,mgk＋sin θ)，故选项D正确.9.某重型气垫船，质量为5.0×105 kg，最高时速为108 km/h，装有额定输出功率为9 000 kW的燃气轮机.假设该重型气垫船在海面航行过程所受的阻力Ff与速度v满足Ff＝kv，下列说法正确的是(　　)A.该重型气垫船的最大牵引力为3.0×105 NB.由题中给出的数据可算出k＝1.0×104 N·s/mC.当以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船所受的阻力大小为3.0×105 ND.当以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船发动机的输出功率为4 500 kW答案　B解析　最大速度vm＝108 km/h＝30 m/s，此时的牵引力F＝eq \f(P,vm)＝eq \f(9 000×103,30) W＝3×105 N，在达到最大速度前F>3.0×105 N，所以A错误；由kvm＝Ff＝F得：k＝eq \f(F,vm)＝eq \f(3×105,30) N·s/m＝1.0×104 N·s/m，B正确；Ff′＝k·eq \f(vm,2)＝eq \f(1,2)Ff＝1.5×105 N，此时发动机输出功率P′＝Ff′eq \f(vm,2)＝1.5×105×15 W＝2 250 kW，C、D错误.10.(多选)(2019·沙市中学高一下学期期中)质量为m的坦克在平直的公路上从静止开始加速，前进距离s速度便可达到最大值vm.设在加速过程中发动机的功率恒定为P，坦克所受阻力恒为Ff，当速度为v(v