湘教版初中数学七年级下册期中测试卷（标准难度）（含详细答案解析）

这是一份湘教版初中数学七年级下册期中测试卷（标准难度）（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=k+1x−2y=9的解互为相反数，则k的值是( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
2.现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b.用3个如图②的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为
( )
A. 15B. 16C. 17D. 18
3.若(a−b−2)2+|a+b+3|=0，则a2−b2的值是( )
A. −1B. 1C. 6D. −6
4.若a·24=28，则a等于( )
A. 2B. 4C. 16D. 18
5.下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A. (a+1)(a−1)=a2−1B. a2−2a+3=a(a−2)+3
C. x2⋅5x=5x3D. 4x2−4x+1=(2x−1)2
6.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. x2+x+1B. x2+2x−1C. x2−1D. x2−6x+9
7.已知某速食店贩售的套餐内容为一片鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一片鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜40元，阿俊打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一片鸡排就再送一片鸡排的促销活动，且单点一片鸡排再单点两杯可乐的总价钱比两份套餐的总价钱便宜10元，则根据题意可得到的结论为( )
A. 一份套餐的价钱必为140元B. 一份套餐的价钱必为120元
C. 单点一片鸡排的价钱必为90元D. 单点一片鸡排的价钱必为70元
8.某车间共30名工人，每人每天平均能制作10个凳面或20个凳腿，要求1个凳面配4个凳腿，为了使每天制作的凳面和凳腿恰好配套，制作凳面和凳腿的人数分别是多少？设安排x人制作凳面，y人制作凳腿，则可列方程组为( )
A. x−y=3010x=4×40yB. x+y=3010x=4×20y
C. x−y=3010x=4×20yD. x+y=304×10x=20y
9.我们知道，同底数幂的乘法法则为am⋅an=am+n(其中a≠0，m、n为正整数)，类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h(m+n)=h(m)⋅h(n).比如h(2)=3，则h(4)=h(2+2)=3×3=9.若h(6)=64，那么h(2022)的结果是
( )
A. 2022B. 22022C. 21011D. 21012
10.小琪用大小不同的9个长方形拼成一个大的长方形ABCD，则图中阴影部分的面积是( )
A. (a+1)(b+3)
B. (a+3)(b+1)
C. (a+1)(b+4)
D. (a+4)(b+1)
11.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为( )
A. a2−16+3a=(a−4)(a+4)+3aB. 10x2−5x=5x(2x−1)
C. x2−4x+4=x(x−4)+4D. a(m+n)=am+an
12.已知a，b，c是△ABC的三边，且满足(a2+b2)(a−b)−c2(a−b)=0，则△ABC的形状是( )
A. 直角三角形B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=m2x+y=4的解满足x−y=3，则m的值为______．
14.已知m+2n+2=0，则2m⋅4n的值为______．
15.对于任意的x，y，若存在a，b使得8x+y(a−2b)=ax−2b(x−2y)恒成立，则a+b= ．
16.若x2+x=1，则3x4+3x3+3x+1的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程组：x−2y=−1①3x+4y=17②．
18.(本小题8分)
某次知识竞赛有20道必答题，每一道题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一道题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲、乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1道题，其余均答对．
(1)甲队必答题答对的有多少道题？答错或不答的有多少道题？
(2)抢答赛中，乙队抢答对了第1道题，又抢到了第2道题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了！”，小汪说：“小黄的话不一定对！”，请你举一例说明“小黄的话”有何不对．
19.(本小题8分)
已知10a=5，10b=6，求102a+3b的值．
20.(本小题8分)
(12分)新考法 去伪存真法 小马和小睿两人共同计算一道整式乘法题：(3x+a)(2x+b)，由于小马抄错了a的符号，得到的结果为6x2−17x+12；由于小睿漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为3x2−5x−12．
(1)求出a，b的值；
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果．
21.(本小题8分)
某公司门前一块长为(6a+2b)米，宽为(4a+2b)米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖.两正方形区域的边长均为(a+b)米．
(1)求铺设地砖的面积是多少平方米；
(2)当a=2，b=3时，需要铺地砖的面积是多少？
(3)在(2)的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要______元钱．
22.(本小题8分)
在学习中，小朋发现：当n=1，2，3时，n2−6n的值都是负数.于是小朋猜想：当n为任意正整数时，n2−6n的值都是负数.小朋的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
23.(本小题8分)
利用因式分解的方法简便运算：
学校有一块边长为13.2米的正方形场地，现准备在四个角落各建一个边长为3.4米的正方形喷水池，剩余的部分铺成绿地，求绿地的面积是多少平方米？
24.(本小题8分)
用如图一中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图二的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板．
(1)根据题意完成下表格．
(2)问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？
25.(本小题8分)
如图，有足够多的边长为a的小正方形(A类)，长为b、宽为a的长方形(B类)及边长为b的大正方形(C类).发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
(1)取图①中的若干个(三种材料都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(2a+b)(a+2b)，画出图形，并根据图形回答：(2a+b)(a+2b)=______；
(2)若取其中的若干个(三种材料都要取到)拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．
①你画的图中需C类卡片______张；
②可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为______；
(3)如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n.若用x，y表示四个相同的长方形的两边长(x>y)，观察图形并判断下列关系式：①xy=m2n2②x+y=m③x2+y2=mn④x2+y2=m2−n22其中正确的是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解决本题的关键．由题意可得x+y=0，它与方程组中的第二个方程组成一个新的方程组，先求出x、y的值，再代入方程组中第一个方程求出k．
【解答】
解：∵x，y的二元一次方程组3x+2y=k+1x−2y=9的解互为相反数，
∴x+y=0．
解方程组x+y=0x−2y=9，得x=3y=−3．
把x=3，y=−3代入方程3x+2y=k+1，得9−6=k+1，
解得k=2．
2.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了图形的拼接、二元一次方程组的应用、长方形和正方形的性质等知识，解题的关键是：结合图形列出二元一次方程组．
由图③大长方形的宽为30cm，可得一个a，b的关系式；再由图③可知小长方形的4个长等于小长方形的3个长和3个宽，列出算式得出a，b的另一个关系式；联立两个关系式可求出a，b的值，进而可求出图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比．
【解答】
解：由图③大长方形的宽为30cm，可得a+3b=30-------①，
由图③可知小长方形的4个长等于小长方形的3个长和3个宽，可得4a=3a+3b-------②，
联立①②可得：a+3b=30−−−①4a=3a+3b−−−②
解得a=15b=5,
图③中阴影部分的面积为：3(a−b)2=3×(15−5)2=300 cm2，
图③整个图形的面积为：30×4a=30×4×15=1800cm2，
∴图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比3001800=16．
故选B．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性及平方差公式，属于基础题，难度不大.根据偶次方的非负性得a−b−2=0，根据绝对值的非负性得a+b+3=0，再利用平方差公式将(a−b)和(a+b)的值整体代入即可求解．
【解答】
解：∵(a−b−2)2+|a+b+3|=0，
∴a−b−2=0，a+b+3=0，
解得，a−b=2，a+b=−3，
∴a2−b2
=(a+b)(a−b)，
=(−3)×2，
=−6，
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：∵a·24=28，
∴a=28÷24=24=16，
故选：C．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查因式分解的定义.根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
【解答】
解：A．(a+1)(a−1)=a2−1不属于因式分解；
B.a2−2a+3=a(a−2)+3不属于因式分解；
C.x2⋅5x=5x3不属于因式分解；
D.4x2−4x+1=(2x−1)2属于因式分解．
6.【答案】D
【解析】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；
B、x2+2x−1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；
C、x2−1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；
D、x2−6x+9=(x−3)2，故D正确．
故选：D．
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．
7.【答案】C
【解析】设单点一片鸡排的价钱为x元，单点一杯可乐的价钱为y元，一份套餐的价钱为z元．根据题意，得x+y−z=40①,x+2y−2z=−10②,由①×2−②，得x=90，所以单点一片鸡排的价钱必为90元．
8.【答案】D
【解析】解：设安排x人制作凳面，y人制作凳腿，则可列方程组为：x+y=304×10x=20y，
故选：D．
根据车间共30名工人和要求1个凳面配4个凳腿且要使每天制作的凳面和凳腿恰好配套列出两个方程即可．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查整式的混合运算−化简求值、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．
根据h(m+n)=h(m)⋅h(n)，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
【解答】
解：∵h(6)=64，h(m+n)=h(m)⋅h(n)，
∴h(2022)
=h(6)·h(2016)
=h(6)·h(6)·h(2010)
=h6·h6·····h6337
=64337
=26337
=22022
10.【答案】B
【解析】解：由平移可知，图中阴影部分的长为(a+3)，宽为(b+1)，
则图中阴影部分的面积是(a+3)(b+1)．
故选：B．
根据平移和长方形面积公式即可求解．
考查了多项式乘多项式，关键是根据平移得到图中阴影部分的长和宽．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【解答】
解：A、a2−16+3a=(a−4)(a+4)+3a，等号的右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、10x2−5x=5x(2x−1)，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
C、x2−4x+4=x(x−4)+4，等号的右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、a(m+n)=am+an，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选B．
12.【答案】D
【解析】解：原式=(a−b)(a2+b2−c2)=0，
∴a2+b2−c2=0或a−b=0，
当a2+b2−c2=0时，△ABC是直角三角形；
当a−b=0时，△ABC是等腰三角形；
∴△ABC是直角三角形或等腰三角形，
故选：D．
将原式变形为=(a−b)(a2+b2−c2)=0，可得a2+b2−c2=0或a−b=0，因此分为两种情况：当a2+b2−c2=0时，△ABC是直角三角形；当a−b=0时，△ABC是等腰三角形；即可．
本题考查的是因式分解的应用，通过因式分解将多项式合理变形是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】【分析】
此题主要考查二元一次方程组的解以及一元一次方程的解法．
根据方程组的特征两个方程相减与已知x−y=3可得关于m的方程，解方程即可.
【解答】
解：x+2y=m①2x+y=4②,
②−①得x−y=4−m，
∵x−y=3，
∴4−m=3，
∴m=1．
故答案为1．
14.【答案】14
【解析】解：∵m+2n+2=0，
∴m+2n=−2，
∴2m⋅4n=2m⋅22n=2m+2n=2−2=14．
故答案为：14．
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
15.【答案】14
【解析】【分析】
本题考查了单项式乘多项式，等式恒成立，等式左右两边对应项系数相等是解题的关键．将已知等式左边展开，再比较等式左右两边对应项系数即可．
【解答】
解：∵8x+y(a−2b)=ax−2b(x−2y)恒成立，
∴8x+y(a−2b)=(a−2b)x+4by，
∴a−2b=8a−2b=4b ,解得a=12 b=2．
a+b=12+2=14．
故答案为：14．
16.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用和代数式求值，整体代入法；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
利用因式分解把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【解答】
解：∵x2+x=1，
∴3x4+3x3+3x+1
=3x2(x2+x)+3x+1
=3x2+3x+1
=3(x2+x)+1
=3+1
=4．
17.【答案】解：x=2y−1①3x+4y=17②，
把①代入②得：3(2y−1)+4y=17，
解得y=2，
把y=2代入①中，解得：x=3，
则方程组的解为x=3y=2．
【解析】利用代入消元法求解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18.【答案】解：(1)设甲队必答题答对x道，答错或不答y道，
则有10x−5y=170x+y=20，
∴x=18y=2，
则甲队必答题答对18道，答错或不答2道；
(2)甲队现在得分：170分，乙队得分：19×10−5+10=195(分)，
有两种情况，甲队可获胜：①若第2题乙队抢答错误：则乙得分：195−20=175(分)，第3题甲队抢答正确，则甲队得分170+10=180(分)，180>175，甲队获胜；
②若第2题乙队抢答错误：则乙得分：195−20=175(分)，第3题乙队抢答错误，则乙队最后得分：175−20=155(分)，甲队得分170，170>155，甲队获胜．
∴“小黄的话”不对．
【解析】(1)设甲队必答题答对x道，答错或不答y道，根据必答题共20道，甲队得分为170分列出关于x和y的方程组，求出上面得到的二元一次方程组的解即可解答；
(2)先计算出甲、乙两队现在的得分，然后可分情况讨论，即在第2题乙队抢答错误的情况下，判断第三题的可能，进行分析即可解答．
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题．
19.【答案】解：∵10a=5，10b=6，
∴102a+3b
=102a×103b
=(10a)2×(10b)3
=52×63
=25×216
=5400．
【解析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法的应用，用了整体代入思想．
先根据同底数幂变形，再根据幂的乘方进行变形，最后代入求出即可．
20.【答案】【小题1】解因为小马抄错了a的符号，得到的结果为6x2−17x+12，
所以(3x−a)(2x+b)=6x2−17x+12，
所以6x2+(3b−2a)x−ab=6x2−17x+12，所以3b−2a=−17.
因为小睿漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为3x2−5x−12，
所以(3x+a)(x+b)=3x2−5x−12，所以3x2+(a+3b)·x+ab=3x2−5x−12，
所以a+3b=−5，
解 3b−2a=−17,a+3b=−5, 得 a=4,b=−3. 所以a=4，b=−3．
【小题2】解：因为a=4，b=−3， 所以(3x+4)(2x−3) =6x2−9x+8x−12 =6x2−x−12．

【解析】1. 此题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式法则，本题属于基础题型．
先根据多项式乘以多项式法则计算列出关于a和b的二元一次方程组，最后解方程组即可求出a与b的值;
2. 此题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘以多项式法则，本题属于基础题型．
现代入a和b的值，然后根据多项式乘以多项式法则计算即可．
21.【答案】7575
【解析】解：(1)铺设地砖的面积为：(6a+2b)(4a+2b)−2(a+b)2
=24a2+20ab+4b2−2a2−4ab−2b2
=22a2+16ab+2b2(平方米)，
答：铺设地砖的面积为22a2+16ab+2b2平方米；
(2)当a=2，b=3时，
原式=22×22+16×2×3+2×32
=202(平方米)，
答：当a=2，b=3时，需要铺地砖的面积是202平方米；
(3)202÷0.22×1.5=7575(元)，
故答案为：7575．
(1)长方形空地的面积减去建筑物A、B的面积即可；
(2)把a=2，b=3时代入计算即可；
(3)计算出需要的地砖的块数，再求出总金额．
本题考查多项式乘以多项式，掌握计算法则是正确计算的前提．
22.【答案】解：小明的猜想不对．
∵n2−6n=n(n−6)，
当n≤0，或n≥6时，n2−6n≥0，
∴小明的说法不对．
【解析】根据因式分解，可得n(n−6)，再分类讨论，可得答案．
本题考查了因式分解，由因式分解，可得出代数式的值是非负数．
23.【答案】解：绿地的面积=13.22−4×3.42
=13.22−6.82
=(13.2+6.8)(13.2−6.8)
=20×6.4
=128．
【解析】用大正方形的面积减去小正方形的面积计算即可．
本题考查因式分解的应用、正方形的面积、平方差公式等知识，解题的关键是学会利用公式进行简便运算．
24.【答案】解：(1)x只竖式纸盒中，正方形纸板的张数为x，长方形纸板的张数为4x，
y只横式纸盒中，正方形纸板的张数为2y，长方形纸板的张数为3y，
故答案为：x，4x，2y，3y；
(2)根据题意得，x+2y=10004x+3y=2000，
解得：x=200y=400
答：第一种纸盒200个，第二种纸盒400个．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
(1)根据题意即可完成表格；
(2)根据共有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，列方程组求解．
25.【答案】2a2+5ab+2b2 6 (a+2b)(a+3b) ②
【解析】解：(1)图形如下：
(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2，
故答案为：2a2+5ab+2b2；
(2)①如图：
故答案为：①6；②(a+2b)(a+3b)；
(3)由题意得：x+y=m，x−y=n，m2=4xy+n2，
∴x2+2xy+y2=m2①，x2−2xy+y2=n2②，
∴①−②得：xy=m2−n24，
①+②得：x2+y2=m2+n22，
故正确的是：②．
(1)根据题意画出图形，根据图形写出因式；
(2)根据题意画出图形，根据图形写出因式；
(3)根据图形写出x，y，m，n之间的关系，再根据完全平方公式进行推理．
本题考查了因式分解的应用和多项式乘多项式，数形结合思想是解题的关键．x只竖式纸盒中
y只横式纸盒中
合计
正方形纸板的张数
______
______
1000
长方形纸板的张数
______
______
2000