福建省莆田市第三中学2023-2024学年下学期九年级数学第一次月考试卷

这是一份福建省莆田市第三中学2023-2024学年下学期九年级数学第一次月考试卷，共14页。试卷主要包含了下列实数中，比大的数是，下列运算结果正确的是，下列事件是必然事件的是等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中，比大的数是（ ）
A．1B．2C．0D．﹣2
2．2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．三位航天员进驻核心舱，进行了为期约为261000分钟的驻留，创造了中国航天员连续在轨飞行时长新纪录．将数据261000用科学记数法表示，其结果是（ ）
A．0.261×106B．261×103C．2.61×105D．2.61×103
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6B．（a+b）2＝a2+b2
C．﹣a6÷a2＝﹣a3D．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
4．下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
5．下列事件是必然事件的是（ ）
A．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
C．汽车累积行驶10000km，从未出现故障D．购买1张彩票，中奖
6．下面四个函数中，图象为双曲线的是（ ）
A．y＝5xB．y＝2x+3C．y＝D．y＝x2+2x+1
7．已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝5B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝﹣5
8．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（ ）
A．B．
C．D．＝
9．如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（ ）
A．140°B．70°C．110°D．80°
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得到矩形EBGF，再将矩形EBGF绕点G顺时针旋转90°得到矩形IHGJ，则点D在两次旋转过程中经过的路径的长是（ ）
A．4πB．5πC．πD．π
二．填空题（共6小题）
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．在平面直角坐标系中，与点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 ．
13．不透明袋子中装有3个白球，5个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到黑球的概率为 ．
14．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 ．
15．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣4，8），B（2，2），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 ．
16．反比例函数y1＝（a＞0，a为常数）和y2＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y2＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y1＝的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y1＝的图象于点B，当点M在y2＝的图象上运动时，以下结论：
①S△ODB＝S△OCA；
②四边形OAMB的面积为2﹣a；
③当a＝1时，点A是MC的中点；
④若S四边形OAMB＝S△ODB+S△OCA，则四边形OCMD为正方形．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
解答题（共9小题）
计算：π-10--8+-13-2
解不等式组：．
先化简，再求值：÷（1﹣），其中m＝﹣1．
20．为扩大销售，某乡镇农贸公司在某平台新开了一家网店进行线上销售．在对一种特产（成本为10元/千克）在网店试销售期间发现每天销售量y（千克）与销售单价x（元）大致满足如图所示的函数关系（其中14≤x≤25）．
（1）写出y关于x的函数解析式，并求x＝20时，农贸公司每天销售该特产的利润；
（2）设农贸公司每天销售该特产的利润为W元，当销售单价x为多少元时，W最大？最大是多少元？
21．如图，在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D，
（1）尺规作图：作△ACD的外接圆⊙O（保留痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：BC是⊙O的切线．
22．已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为上一点，连接BD、BC、DC．
（Ⅰ）如图1，若∠D＝28°，求∠P的度数．
（Ⅱ）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求CP的长．
23．国家利益高于一切，国家安全人人有责，2023年4月15日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成四组：不合格0≤x＜60，合格60≤x＜80，良好80≤x＜100，优秀x＝100），下面给出了部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：80，84，85，90，95，98
八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国安知识”掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级各有800人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
24．如图1，四边形ABCD为正方形，点E为AD上的定点，点F是射线BE上的动点，连接AF．将点F绕点A逆时针旋转90°得到点H，连接AH，过点F，H分别作AF和AH的垂线交于点G，射线DH与射线BE交于点P．
（1）求证：四边形AFGH为正方形；
（2）点F在运动过程中，判断点P的位置是否发生变化？并说明理由；
（3）连接CG，PG，AP，探究线段AB，AP，CG，PG的数量关系，并证明．
25．如图1，已知抛物线C1：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，若△BCP的内心恰好在y轴上，求出点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线C1向右平移三个单位长度得到抛物线C2，点M，N都在抛物线C2上，且分别在第四象限和第二象限，连接MN，分别交x轴、y轴于点E、F，若∠NOF＝∠MOE，求证：直线MN经过一定点．
年级
平均数
众数
中位数
满分率
七年级
82
100
a
25%
八年级
82
b
88
35%
2023-2024莆田三中九年级下学期第一次月考
参考答案与试题解析
一．选择题
1-5．B．C．D．D．A．6-10.C．C．A．C．D
10．【解答】解：如图，
第一次旋转时，点D绕点B旋转90°，旋转半径为BD，到达点F处，
BD＝＝＝6，
此时，点D运动的路径为：，
第二次旋转时，点F绕点G旋转90°，旋转半径为GF＝AB＝3，到达点J处，点F运动的路径为：，
故点D在两次旋转过程中经过的路径的长为：3，
故选：D．
二．填空题
11．x≠3．
12．（﹣2，3）．
13． ．
14．15（1+x）2＝21.6．
15．x1＝﹣4，x2＝2．
16．【解答】解：①由于A、B在同一反比例函数y＝图象上，则△ODB与△OCA的面积相等，都为×2＝1，正确；
②∵点M在y2＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y1＝的图象于点A，
∴四边形OAMB的面积＝S矩形DMCO﹣S△BDO﹣S△AOC＝2﹣a﹣a＝2﹣a；正确；
③连接OM，
∵a＝1，
∴y1＝＝，
∵A在函数y1＝的图象上，
∴S△AOC＝OC•AC＝，S△MOC＝OC•CM＝1，
∴AC＝，CM＝，
∴AC＝CM，
∴点A是MC的中点；正确；
由①②知，2﹣a＝a，解得：a＝1，
∵点M在y2＝的图象上运动，
∴OC不一定等于OD，
∴四边形OCMD不一定为正方形，与a的取值无关，故④错误；
故答案为：①②③．
三．解答题（共9小题）
17.【解答】解：原式=1-8+9=2
18．【解答】解：由x+4＞﹣2x+1，得：x＞﹣1，
由≤1，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
19．【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝•
＝，
当m＝﹣1时，原式＝＝．
20．【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式y＝kx+b（k≠0），
将（14，320），（25，210）代入得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+460；
当x＝20时，y＝﹣10×20+460＝260，
农贸公司每天销售该特产的利润为（20﹣10）×260＝2600（元），
∴当x＝20时，农贸公司每天销售该特产的利润为2600元；
（2）由题意得：W＝（x﹣10）（﹣10x+460）＝﹣10x2+560x﹣4600＝﹣10（x﹣28）2+3240，
∵﹣10＜0，
∴当x＜28时，W随x的增大而增大，
∵14≤x≤25，
∴当x＝25时，W最大，最大值为3150，
∴当销售单价x为25元时，W最大，最大是3150元．
21．【解答】（1）解：作AD的垂直平分线MN交AD于点O，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，如图：
⊙O即为所作的；
（2）证明：连接OC，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴AD是⊙O的直径；
∴OC是⊙O的半径；
∵∠A＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°，
∴∠BCO＝∠ACB﹣∠ACO＝120°﹣30°＝90°，
∴BC⊥OC，
∵OC是半径，
∴BC是⊙O的切线．
22．【解答】（Ⅰ）证明：如图1，连接OC，
∵∠D＝28°，
∴∠COP＝2×28°＝56°，
∵过点P作⊙O的切线，切点为点C，
∴∠OCP＝90°，
∴∠P＝90°﹣56°＝34°；
（Ⅱ）解：如图2，连接AC，OC，
∵四边形CDBP为平行四边形，
∴∠D＝∠CPB，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
由（1）得∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∵∠D＝∠A＝∠CPB，
∴∠D＝∠A＝∠CPB＝∠PCB，
在△ACP中，∠A+∠ACB+∠BCP+∠CPB＝180°，
∴∠A+∠BCP+∠CPB＝90°，
∴∠A＝∠CPB＝∠PCB＝30°，
∴∠OBC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝5，
∴PC＝OB＝5．
23．【解答】解：（1）七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（80+84）÷2＝82（分），
因此中位数是82分，即a＝82，
八年级学生竞赛成绩的中位数是88，因此在88分以上的应有10人，可得100分的有10﹣3＝7（人），
因此竞赛成绩的众数为100，即b＝100；
∴a＝82，b＝100；
（2）八年级学生对“国安知识”掌握的比较好，理由如下：
虽然七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但是八年级学生的中位数和满分率都高于七年级；
（3）七年级抽取的学生成绩优秀的人数为800×＝200（人），
八年级抽取的学生成绩优秀的人数为800×＝280（人），
则优秀人数为200+280＝480（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是480人．
24．【解答】（1）证明：由旋转可知：AF＝AH，∠FAH＝90°，
∵FG⊥AF，GH⊥AH，
∴∠AFG＝90°，∠GHA＝90°，
∴四边形AFGH为矩形，
又AF＝AH，
∴四边形AFGH正方形；
（2）解：点F在运动过程中，点P的位置不发生变化，理由如下：
如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠FAH＝90°，
∴∠BAD﹣∠DAF＝∠FAH﹣∠DAF，
即∠BAF＝∠DAH，
在△BAF和△DAH中，
，
∴△BAF≌△DAH （SAS），
∴∠ABE＝∠ADP，
∵点E为AD上的定点，
∴∠ABE为定角，∠ADP为定角，
∴点P为定点，F在运动过程中，点P的位置不发生变化；
（3）解：AP2+（CG+PG）2＝2AB2，理由如下：
如图，连接AP、AC、BD、PC、AG和FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，AB＝BC，∠CBD＝∠BDC＝45°，
∴AC2＝AB2+BC2＝2AB2，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝∠ADP，∠AEB＝∠PED，
∴∠ADP+∠PED＝90°，
∴∠BPD＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴B、C、D、P在以BD为直径的圆上，
∴∠CPD＝∠CBD＝45°，∠BPC＝∠BDC＝45°，
∵四边形AFGH正方形，
∴∠FGH＝∠AFG＝90°，∠FHG＝∠FAG＝45°，
∴∠FGH＝∠BPD＝90°，
∴F、G、H、P在以FH为直径的圆上，
∴∠FPG＝∠FHG＝45°，
∴∠FPG＝∠BPC＝45°，
∴点G在CP上，
∴PC＝CG+PG，
∵∠FPG＝∠FAG＝45°，
∴F、G、P、A在同一个圆上，
∴∠APG＝180°﹣∠AFG＝90°，
∴AP2+PC2＝AC2，
∴AP2+（CG+PG）2＝2AB2．
25．【解答】（1）解：把点A（﹣3，0）和点B（1，0）分别代入解析式，得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）解：作点B关于y轴的对称点B'，连接CA'并延长交抛物线于点P，点P为所求的点，如图1，
∴∠ACO＝∠A′CO，B'（﹣1，0），
∴△BCP的内心在y轴上，
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
故点C的坐标为（0，﹣3），
设直线CB'的解析式为y＝kx+b，把点C、B'的坐标分别代入解析式，得：
，
解得：，
∴直线CB'的解析式为y＝﹣3x﹣3，
联立得：，
解得：或，
∴点P的坐标为（﹣5，12）；
（3）证明：如图2：过点M作MQ⊥x于点Q，过点N作NP⊥y轴，
∵将抛物线C1：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4向右平移3个单位长度得到抛物线C2，
∴抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x，
∵点M，N都在抛物线C2上，且分别在第四象限和第二象限，
∴设点M的坐标为（x1，﹣4x1）（﹣4x_1＜0），点N的坐标为 （x2，﹣4x2）（x2＜0），
∴PN＝﹣x，OP＝﹣4x2，OQ＝x1，QM＝﹣（﹣4x1），
设直线MN的解析式为y＝mx+n，代入得：
，
得x2﹣（4+m）x﹣n＝0，
则x1+x2＝4+m，x1•x2＝﹣n，
∵∠NOP＝∠MOQ，∠OPN＝∠OQM＝90°，
∴△OPN∽△OQM，
∴＝，
∴，
得：x1x2＝，
得：（﹣n）2﹣4×（﹣n）×（4+m）+15×（﹣n）＝0，
整理得：n2+n+4mn＝0，
得n（n+1+4m）＝0，
由图象可知n≠0，
∴n+1+4m＝0，
∴m＝﹣，
∴y＝﹣，
当x＝4 时，y＝﹣1，
∴直线MN经过一定点（4，﹣1）．