吉林省长春市十一高中2024届高三下学期数学模拟试题（原卷版+解析版）

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考试说明：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答综合题时，将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 假设有一组数据为6，8，3，6，4，6，5，这些数据的众数与中位数分别是 （ ）
A. 5，6B. 6，4C. 6，5D. 6，6
2. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知复数（为虚数单位），是复数的共轭复数，则（ ）
A B. C. 3D. 5
4. 在等差数列中，是数列的前项和，，则（ ）
A. 100B. 50C. 90D. 45
5. 已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为( )
A. y＝－2xB. y＝2xC. y＝2x－8D. y＝2x＋4
6. 已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，若，则 （ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
7. 已知函数，则不等式解集为 （ ）
A. B. C. D.
8. 某中学运动会上一天安排长跑、跳绳等6场不同的比赛项目，若第一场比赛不安排长跑，最后一场不安排跳绳，则不同的安排方案种数为 （ ）
A. 504B. 510C. 480D. 500
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数的图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到
B. 函数的一个对称中心为
C. 函数的最小值为
D. 函数在区间单调递减
10. 已知点，为不同的两点，直线，，为不同的三条直线，平面，为不同的两个平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，，则直线
11. 定义在上的函数满足如下条件：①；②当时，.则（ ）
A. B. 在上是增函数
C. 是周期函数D.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合. 则_____________________.
13. 已知，则_____________________.
14. 已知三棱锥中，，则点到平面距离为______，该三棱锥的外接球的体积为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数f(x)=.
（1）若f(x)在上是增函数，求实数a的取值范围;
（2）若x=3是f(x)极值点，求f(x)在上的最小值和最大值．
16. 一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为.
（1）已知蚂蚁2秒后所在位置对应实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；
（2）记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望.
17. 如图，在梯形中，为线段上靠近点的三等分点，将沿着折叠，得到四棱锥，使平面平面为线段上的点．
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
18. 已知是椭圆的左、右焦点，、是椭圆上的两点，的周长为，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，问：直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由.
19. 若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”.
（1）求证：对任意“好数”一定为20的倍数；
（2）若，且为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值.