河北省保定市高碑店市崇德实验中学2024届高三下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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说明：本试题满分150分考试时间120分钟，请在答题卡上作答.
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 已知集合，则与集合的关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用代入法进行判断即可.
【详解】当时，，所以，
故选：A
2. 已知命题：，都有，则（ ）
A. ：，都有B. ：，都有
C. ：，都有D. ：，都有
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定的知识即可得解.
【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，注意到是否定结论，不是否定条件，所以C选项正确.
故选：C
3. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知解方程组求得，然后由复数的乘法法则计算．
【详解】由解得，
所以．
故选：C．
4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，向量在向量上的投影向量是.
故选：B.
5. 若关于x的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.
【详解】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个正整数，这3个正整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不合题意；
当时，不等式解集为，显然解集中不可能有3个正整数，故不合题意；
故实数m的取值范围为．
故选：C.
6. 如图，正三棱柱的各棱长相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】取中点，证得平面，得到，再证得，从而证得平面，得到，即可求解.
【详解】取中点，因为，可得，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在正方形中，分别为的中点，
设可得，
可得，所以，
所以，即，
因为且平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以异面直线与所成的角为.
故选：D.
7. 数据，，，的平均数为4，标准差为2，则数据，，，的方差和平均数分别为（ ）
A. 12，14B. 14，36C. 36，14D. 18，12
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数和方差的性质可得.
【详解】由题意，，，的平均数，方差为，
则，，，的平均数为，
方差为，
故选：C
8. 如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设的中点为E，过点A作，说明为二面角的平面角；证明平面，从而证明平面，解直角三角形，即可求得答案.
【详解】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F，
因为均为等边三角形，故，
故为二面角的平面角；

又平面，故平面，
而平面，故，
又，平面，
故平面，则点A到平面的距离为，
又为等边三角形，边长为2，故，
故在中，，则，即，
故二面角的大小为，
故选：A
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断.
【详解】对于选项：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于选项：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故D错误；
因为是空间中不共面的三个向量，
对于选项B：设，显然不存在实数使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故B正确；
对于选项C：设，
则，方程无解，即不存在实数使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故C正确；
故选：BC.
10. 下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）
A. 运用最小二乘法求得回归直线一定经过样本点的中心
B. 若相关系数的绝对值越接近于1，则相关性越强.
C. 若相关指数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好.
D. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由最小二乘法求回归方程的过程可知回归直线一定经过样本点的中心；对于B，C，由相关系数和相关指数的性质判断；对于D，由残差点分布的特征判断.
【详解】解：对于A，由最小二乘法求回归方程的过程可知回归直线一定经过样本点的中心，所以A正确；
对于B，相关系数的绝对值越接近于1，则相关性越强，所以B正确；
对于C，根据相关概念，相关指数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，越接近于0，表示效果越差，C错误；
对于D，由残差图的特征可知，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，所以D正确.
故选：ABD.
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，对a、b的符号分类讨论，结合作差法判断；
对BCD，由不等式的性质判断
【详解】对A，当或或，则；当或，则，即，A对；
对BC，，∴，，B对C错；
对D，，∴，D对；
故选：ABD
12. 直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则直线平面
B. 若，则直线平面
C. 若，则直线与平面所成角的大小为
D. 若，则平面，所成锐角的大小为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线的方向向量与平面法向量之间的关系，逐一判断线面、面面关系即可得结论.
【详解】对于A：若，则直线平面或在平面内，故选项A不正确；
对于B：若，则也是平面的一个法向量，所以直线平面；故选项B正确；
对于C：直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若，则直线与平面所成角的大小为，故选项C正确；
对于D：若，则平面，所成锐角的大小为或，故选项D正确，
故选：BCD.
第II卷（本卷包括填空题和解答题两部分，共90分）
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13. 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种.(用数字作答)
【答案】9
【解析】
【分析】根据分类加法计数原理以及分步乘法计数原理即可求解.
【详解】分为两类：两名老队员，一名新队员时，有3种选法；
两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6(种)选法，
即共有9种不同选法.
故答案为：9
14. 不等式解集用区间表示为______.
【答案】
【解析】
【分析】先将原不等式化为，得到或，求解，即可得出结果.
【详解】因为可化为，即，
即，即；
所以有或，
解得：或或；
即原不等式的解集为：
故答案为
【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，灵活运用转化与化归的思想，以及一元二次不等式的解法即可，属于常考题型.
15. 已知向量是单位向量，，且满足，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解.
【详解】因为向量是单位向量，，可知，
因为，则，化简可得，
所以．
故答案为：3.
16. 的展开式中，含项的系数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由二项式展开式的通项公式找出含的项，然后系数相加即可.
【详解】的展开式中，含项的系数为．
故答案为：．
四､解答题（本题共有六道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？
（1）女生不站在两端；
（2）女生相邻；
（3）女生不相邻.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先排两端再排中间即可得解.
（2）用捆绑法即可得解.
（3）使用插空法即可得解.
【小问1详解】
先考虑两端站的人，再考虑其他位置，满足条件的站法有（种）.
【小问2详解】
将2名女生捆绑，当作一个对象，与其他对象一起全排列，可得满足条件的站法有（种）.
【小问3详解】
分两步：第一步，先排男生，有种站法，
第二步，将2名女生插入男生所形成6个空（包括两端）中，有种站法，
由分步乘法计数原理知，满足条件的站法有（种）.
18. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次命中的环数如下：
（1）分别计算以上两组数据的平均数；
（2）分别计算以上两组数据的方差；
（3）根据计算结果，对甲乙两人射击成绩作出评价.
【答案】（1）甲乙的平均数都为7；
（2）甲的方差为3，乙的方差为1.2；
（3）甲乙平均成绩一样，但乙的成绩比甲稳定.
【解析】
【分析】（1）（2）（3）利用平均数、方差公式求甲乙的平均数和方差，比较它们的大小判断甲乙的成绩情况.
【小问1详解】
甲的平均数，
乙的平均数.
【小问2详解】
甲的方差为，
乙的方差为.
【小问3详解】
由（1）知：，由（2）知：，
所以甲乙平均成绩一样，但乙的成绩比甲稳定.
19. 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
已知（），若的展开式中，______.
（1）求n的值；
（2）求的系数；
（3）求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）选择条件①，②，③，利用二项式系数的性质求出.
（2）由（1）的结论，结合二项式定理求出.
（3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值.
【小问1详解】
选择条件①，只有第6项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即，
所以.
选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，
所以.
选择条件③，所有二项式系数的和为，则，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，的展开式中项为：，
所以.
【小问3详解】
由（1）知，的展开式中，当时，，
当时，，
所以.
20. 随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；
（2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（，均保留一位小数）
附：经验回归方程，其中，
样本相关系数
参考数据：.
【答案】（1）0.96
（2）万元
【解析】
【分析】（1）由题意根据参考公式线分别算得以及，进一步代入相关系数公式即可求解；
（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得，由此即可得经验回归方程并预测.
【小问1详解】
，
所以.
【小问2详解】
由题意，
所以，
所以关于的经验回归方程为，
所以预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.
21. 某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
（1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？
（2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望．
附：
【答案】（1）列联表见解析；与性别有关.
（2）分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】（1）根据题意补全列联表，再计算出卡方值并与边界值比较即可；
（2）根据独立事件的乘法公式计算出概率分布列，最后再利用期望公式即可.
小问1详解】
依题意，列联表如下：
零假设:该校学生喜欢篮球与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该校学生喜欢篮球与性别有关.
【小问2详解】
依题意，的可能值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
22. 如图，平面，平面，，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行判定定理得平面，面面平行判定定理平面平面，再由面面平行性质定理解决即可.（2）建立空间直角坐标系，空间向量法解决即可.
【小问1详解】
证明：
由题知，，平面，平面,
所以平面，
因为平面，平面，
所以平面平面，
因为平面平面,平面平面
所以.
【小问2详解】
根据题意，建立以为原点，
分别以得方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，
因为平面，平面，，，，，
所以，
所以，
设为平面的法向量，
所以，即，令，可得，
设直线与平面所成角为
所以，
所以
所以直线与平面所成角的余弦值为.
甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
乙
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份编号
1
2
3
4
5
6
销售金额/万元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
40
女生
30
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200