2022-2023学年广东省佛山市南海实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省佛山市南海实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.代数式75x，1π，2x2+4，x2−23中，属于分式的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.下列等式从左到右变形，属于因式分解的是( )
A. 2a−1=a(2−1a)B. (a+b)(a−b)=a2−b2
C. x2−2x+1=(x−1)2D. x2+6x+8=x(x+6)+8
4.若m>n，则下列不等式中正确的是( )
A. m−20
5.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 若a=b，则a2=b2B. 等边三角形是锐角三角形
C. 相等的角是对顶角D. 全等三角形的面积相等
6.如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH=3cm，EF=7cm，则阴影部分的面积为( )
A. 16cm2
B. 12cm2
C. 11cm2
D. 8cm2
7.把分式3mnm+n中的m、n都扩大到原来的8倍，那么此分式的值( )
A. 扩大到原来的8倍B. 缩小到原来的8倍C. 是原来的18D. 不变
8.如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N.作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB=8，AC=14，BC=6，则△ABD的周长为( )
A. 25
B. 22
C. 20
D. 14
9.某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为( )
A. 36x−4=2×30xB. 36x+4=2×30xC. 36x=2×30x−4D. 36x=2×30x+4
10.已知x2+x=1，那么x3+2x2+2023的值为( )
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：1−4a2= ．
12.若式子 xx−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
13.如图，直线y1=−x+a与y2=bx−4相交于点P，已知点P的坐标为(1,−3)，则关于x的不等式−x+a≤bx−4的解集是______．
14.若关于x的分式方程x−ax−1−3x=1有增根，则a=______．
15.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形OA2023B2023C2023，那么点B2023的坐标是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.先化简，再求值：(1−1a−1)÷a2−4a+4a2−a，其中a=2+ 2．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组4(x−1)>x+2x−12−1≤x，并把它的解集在数轴上表示出来．
18.(本小题8分)
如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
(1)求∠ODC的度数；
(2)若OB=4，OC=5，求AO的长．
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标都在格点上，已知C点坐标为(−2,1)．
(1)△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，请直接写出B1的坐标______，并画出△A1B1C1．
(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P′(a+2,b−6)，请画出平移后的△A2B2C2．
(3)若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
20.(本小题9分)
“六⋅一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
(1)求第一批玩具每套的进价是多少元？
(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
21.(本小题9分)
对于实数x，规定：f(x)=xx+1.如：f(2)=22+1=23，f(12)=1212+1=13．
(1)求值：f(3)+f(13)= ______；f(5)+f(15)= ______；
(2)猜想：f(x)+f(1x)= ______，并证明你的结论；
(3)解方程：f(x−1)+f(x+1)=2．
22.(本小题12分)
有些多项式的某些项可以通过适当地结合，(或把某项适当地拆分)成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如将x2−4y2−2x+4y因式分解．
原式=x2−4y2−2x+4y=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)=(x−2y)(x+2y−2)．
请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式x2+x−5x−5；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2+ab+c2−bc=2ac，判断△ABC的形状，并说明理由．
(3)“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b)，斜边长是4，小正方形的面积是1.根据以上信息，先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，再求值．
23.(本小题12分)
班级数学兴趣小组开展“直角三角板拼拼拼”活动.爱思考的小华拿到了两块相同的直角三角板，已知三角板的最小边长为10cm.他先把两块三角板的斜边拼在一起，并画出如图1所示图形．
活动一：将一块三角板固定，另一块三角板以30°角的顶点为中心，按逆时针方向旋转，如图2．
(1)若旋转到两块三角板较长直角边垂直，连接两直角顶点，如图3所示，则△ABD的面积为______．
(2)在旋转过程中，小华想探究两直角顶点连线与60°角顶点连线的位置关系，设旋转角为α，若旋转角为α满足0n−2，那么A错误，故A不符合题意．
B.由m>n，得−2m2，
解不等式②得：x≥−3，
∴该不等式组的解集为：x>2．
不等式组的解集在数轴上表示如下：

【解析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据：解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，即可得到不等式组的解集．
此题主要考查了解一元一次不等式组，再数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由旋转的性质得，CD=CO，∠ACD=∠BCO，
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°，
∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°．
∴△OCD为等边三角形．
∴∠ODC=60°．
答：∠ODC的度数为60°．
(2)由旋转的性质得，AD=OB=4.∠ADC=∠BOC=150°
∵△OCD为等边三角形，
∴OD=OC=5．
∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO= AD2+OD2= 42+52= 41．
答：AO的长为 41．
【解析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等边三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
(1)根据旋转的性质即可求解；
(2)根据旋转的性质和勾股定理即可求解．
19.【答案】(4,−2) (1,−3)
【解析】解：(1)如图1所示，△A1B1C1即为所求；
∵△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，B(−4,2)，
∴B1(4,−2)，
故答案为：(4,−2)；
(2)如图2所示，△A2B2C2即为所求；
(3)∵A1(3,−4)，A2(−1,−2)，B1(4,−2)，B2(−2,−4)，
∴A1A2的中点坐标为(1,−3)，B1B2的中点坐标为(1,−3)，
∴△A1B1C1和△A2B2C2的对称中心的坐标为(1,−3)，
故答案为：(1,−3)．
(1)直接利用关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得出对应点坐标，然后顺次连接即可；
(2)直接利用平移的性质得出对应点坐标，然后顺次连接即可；
(3)连接各对应点，进而得出对称中心的坐标．
本题考查了图形的平移、中心对称的性质，解题的关键是正确得出对应点坐标．
20.【答案】解：(1)设第一批玩具每套的进价是x元，
2500x×1.5=4500x+10，
解得：x=50，
经检验x=50是分式方程的解，符合题意．
答：第一批玩具每套的进价是50元；
(2)设每套售价是y元，
250050×1.5=75(套)．
50y+75y−2500−4500≥(2500+4500)×25%，
解得：y≥70，
答：如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是70元．
【解析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，关键是根据价格做为等量关系列出方程，根据利润为不等关系列出不等式求解．
(1)设第一批玩具每套的进价是x元，则第一批进的件数是：2500x，第二批进的件数是：4500x+10，再根据等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数×1.5，可得方程；
(2)设每套售价是y元，利润=售价−进价，根据这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，可列不等式求解．
21.【答案】1 1 1
【解析】解：(1)∵f(x)=xx+1，
∴f(3)+f(13)
=33+1+1313+1
=34+14
=1；
f(5)+f(15)
=55+1+1515+1
=56+16
=1；
故答案为：1，1；
(2)f(x)+f(1x)=1，证明如下：
∵f(x)=xx+1，
∴f(x)+f(1x)
=xx+1+1x1x+1
=xx+1+1x+1
=x+1x+1
=1；
(3)∵f(x−1)+f(x+1)=2，
∴x−1x−1+1+x+1x+1+1=2，
∴x−1x+x+1x+2=2，
∴(x−1)(x+2)+x(x+1)=2x(x+2)，
∴x2−x+2x−2+x2+x=2x2+4x，
∴x=−1，
检验，当x=−1时，x(x+2)≠0，
∴原方程的解为x=−1．
(1)根据所给的新定义代值计算即可；
(2)根据所给的新定义结合分式的加法计算法则求解即可；
(3)根据新定义得到方程x−1x−1+1+x+1x+1+1=2，解方程即可．
本题主要考查了新定义，解分式方程，分式的加法计算，正确理解题意是解题的关键．
22.【答案】解：(1)x2+x−5x−5
=(x2+x)−5(x+1)
=x(x+1)−5(x+1)
=(x+1)(x−5)；
(2)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a2+ab+c2−bc=2ac，
∴a2+ab+c2−bc−2ac=0，
∴(a2−2ac+c2)+b(a−c)=0，
∴(a−c)2+b(a−c)=0，
∴(a+b−c)(a−c)=0，
∵a+b−c>0，
∴a−c=0，即a=c，
∴△ABC是等腰三角形；
(3)a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4
=(a4+2a2b2+b4)−2ab(a2+b2)
=(a2+b2)2−2ab(a2+b2)
=(a2+b2−2ab)(a2+b2)
=(a−b)2(a2+b2)，
∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b)，斜边长是4，小正方形的面积是1，
∴4×12ab=4×4−1×1，a2+b2=42，
∴2ab=15，a2+b2=16，
∴(a−b)2=a2+b2−2ab=1，
∴原式=1×16=16．
【解析】(1)仿照题意进行因式分解即可；
(2)把原式因式分解变形为(a+b−c)(a−c)=0，由此求出a=c，则△ABC是等腰三角形；
(3)先对所求式子因式分解为(a−b)2(a2+b2)，再根据勾股定理和面积法求出2ab=15，a2+b2=16，进一步求出(a−b)2=1，由此即可得到答案．
本题主要考查了因式分解的运用，勾股定理，完全平方公式的变形求值，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键．
23.【答案】100cm2
【解析】解：活动一：(1)延长ED交CB的延长线于点T．
∵∠E=∠EAC=∠C=90°，
∴四边形AETC是矩形，
∵AE=AC，
∴四边形AETD是正方形，
∵DE=BC=10cm，∠EAD=∠BAC=30°，
∴AE=AC=10 3(cm)，
∴ET=TC=10 3(cm)，
∴DT=TB=(10 3−10)(cm)，
∴S△ABD=S正方形AETC−S△AED−S△ACB−S△DTB
=10 3×10 3−2×12×10×10 3−12(10 3−10)2
=100(cm2).
故答案为：100(cm2)；
(2)结论：EC//DB．
理由：如图2中，设AD交EC于点J，AB交EC于点K．
∵AE=AC，
∴∠AEJ=∠ACK，
在△AEJ和△ACK中，
∠EAJ=∠CAKAE=AC∠AEJ=∠ACK，
∴△AEJ≌△ACK(ASA)，
∴AJ=AK，
∴∠AJK=∠AKJ，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∵2∠AJK+∠JAK=180°，2∠ADB+∠DAB=180°，
∴2∠AJK=2∠ADB，
∴∠AJK=∠ADB，
∴EC/​/DB；
活动二：如图4−1中，当点F与D重合时，DA′=DC′，此时AA′=A′D=10cm．
如图4−2中，当A′F=A′C′=10 3cm时，过点C′J//DE交DB′于点J．
∵DE//C′J，
∴∠EDF=∠C′JF=120°，
∴∠C′JB′=60°，
∵∠C′B′J=60°，
∴△C′B′J是等边三角形，
∴C′J=B′C′=DE，
在△C′JF和△EDF中，
∠JFC′=∠DFE∠C′JF=∠EDFC′J=ED，
∴△C′JF≌△EDF(AAS)，
∴DF=JF，
∵JB′=B′C′=10cm，
∴JA′=10(cm)，
∴AA′=AD+DJ=20+2(10 3+10)=(40+20 3)(cm)．
综上所述，满足条件的d的值为10cm或(40+20 3)cm．
活动一：(1)延长ED交CB的延长线于点T.根据S△ABD=S正方形AETC−S△AED−S△ACB−S△DTB，求解即可；
(2)结论：EC//DB.如图2中，设AD交EC于点J，AB交EC于点K.想办法证明∠AJK=∠ADB，可得EC//DB；
活动二：分两种情形：如图4−1中，当点F与D重合时，DA′=DC′，此时AA′=A′D=10cm.如图4−2中，当A′F=A′C′=10 3cm时，过点C′J//DE交DB′于点J.分别求解即可．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．