乌兰浩特第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份乌兰浩特第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．若角的终边经过点,则( )
A.B.C.D.
3．设,是单位向量,若,则的值为( ).
A.1B.0C.D.
4．在中,“”是“为锐角三角形”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．给出下列四个说法:①若,则;
②若,则或;
③若,则;
④若,,则.其中正确的说法有( )个.
A.B.C.D.
6．已知,,则( ).
A.B.C.D.
7．,,,则与的夹角( )
A.B.C.D.
8．已知,则( )
A.0B.C.D.
二、多项选择题
9．下列各式中,值为的是( )
A.B.C.D.
10．下列说法错误的是( )
A.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同
B.若非零向量与是共线向量,则A,B,C,D四点共线
C.若非零向量与共线,则
D.若,则
11．已知,,则( )
A.B.C.D.
12．下列命题中正确的是( )
A.若且,则为第二象限角
B.
C.若,则()
D.若角的终边在第一象限,则的取值集合为
三、填空题
13．设为单位向量,,当,的夹角为时,在上的投影向量为______.
14．若,则______.
15．在中,,是方程的两个根,则______.
16．若为偶函数,则________.
四、解答题
17．化简求值：（1）；
（2）已知，求的值.
18．已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）当时,求的最小值以及取得最小值时x的集合.
19．如图,在中,.设,.
（1）用,表示;
（2）若P为内部一点,且.求证:M,P,N三点共线.
20．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数在上的单调递增区间;
（2）若函数在区间上恰有5个零点,求实数a的取值范围.
21．已知函数.
（1）求的值;
（2）在中,若,求的最大值.
22．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者,工艺品平面设计如图所示,该工艺品由直角和以BC为直径的半圆拼接而成,点P为半圆上一点(异于B,C),点H在线段AB上,且满足.已知,,设.
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果,需满足,且达到最大.当为何值时,工艺礼品达到最佳观赏效果?
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏,需满足,且达到最大.当为何值时,工艺礼品达到最佳稳定性?并求此时的值.
参考答案
1．答案：D
解析：根据向量的线性运算法则,可得.
故选:D.
2．答案：B
解析：,
故选:B.
3．答案：A
解析：因为,是单位向量,且,所以,,
所以
故选:A.
4．答案：B
解析：因为,则为锐角,
所以,“”“为锐角三角形”,
“”“为锐角三角形”,
所以,“”是“为锐角三角形”必要不充分条件.
故选:B.
5．答案：A
解析：对于①,模长为零的向量为零向量,①正确;
对于②,,的模长相同,但方向不确定,,未必同向或反向,②错误;
对于③,若,则,同向或反向,但模长未必相同,③错误;
对于④,当时,,成立,但此时,未必平行,④错误.
故选:A.
6．答案：B
解析：因为,而,因此,
则,
所以.
故选:B
7．答案：B
解析：由已知,
.
故选:B.
8．答案：C
解析：,
所以,,
则.
故选:C.
9．答案：AB
解析：选项A:,故A符合题意;
选项B:,故B符合题意;
选项C:,故C不符合题意;
选项D:,故D不符合题意.
故选:AB.
10．答案：ABC
解析：对于A,两个有共同起点且相等的向量,其终点相同,A错误;
对于B,如平行四边形ABCD中,与共线,但A,B,C,D四点不共线,B错误;
对于C,两个非零向量共线,说明这两个向量方向相同或相反,而两个向量相等是说这两个向量大小相等,
方向相同,因而共线向量不一定相等向量,但相等向量却一定是共线向量,C错误;
对于D,向量相等,即大小相等,方向相同,D正确.
故选:ABC
11．答案：AD
解析：,两边平方得:,
解得:①,
故,异号,
因为,所以,A正确;
所以,
,
所以②,D正确;
由①②可得,故,故B,C不正确.
故选:AD.
12．答案：ABD
解析：若,则为第二或四象限角,又,则为第一或二象限角或终边为y轴非负半轴,则为第二象限角,
故A选项正确;
,B选项正确;
当时,满足,此时,不满足(),
故C选项错误;
角的终边在第一象限,则角的终边在第一或第三象限,
当角的终边在第一象限时,,
当角的终边在第三象限时,,
故则的取值集合为,D选项正确.
故选:ABD
13．答案：
解析：根据题意可得向量在上的投影向量为.
故答案为:
14．答案：
解析：因为,
所以
.
故答案为:
15．答案：1
解析：方程中,,则,
在中,.
故答案为:1
16．答案：2
解析：因为为偶函数,定义域为R,
所以,即,
则,故,
此时,
所以,
又定义域为R,故为偶函数,
所以.
故答案为:2.
17．答案：（1）8
（2）-24
解析：（1）原式.
（2），
因为，所以原式.
18．答案：（1）
（2）,时
解析：（1）,
,
,
,
故的最小正周期;
（2）由可得,
当得即时,函数取得最小值.所以,时
19．答案：（1）,
（2）证明见解析
解析：（1）由题图,,
.
（2）由,
又,所以,故M,P,N三点共线.
20．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由函数的图象,可得,,
则,所以.
将点代入函数解析式可得,
解得,因为,所以,所以,
令,,解得,,
所以函数在上的单调递增区间为,.
（2）因为,所以,
当无零点;
当时,有第一个零点,正弦函数周期为,每一个周期内有两个零点,
要满足有5个零点,则,解得,
所以实数a的取值范围是.
21．答案：（1）1
（2）
解析：（1）
,
.
（2）由题意可知,,
而可得:,即,
,
,,,
最大值为.
22．答案：（1）
（2）,
解析：（1）由,在直角中,,;
在直角中,,
;
,
所以当,即时,的最大值为,
即时,工艺礼品达到最佳观赏效果.
（2）在直角中,由,
可得;
在直角中,,
所以,,
所以
,
所以当时,工艺礼品达到最佳稳定性,此时取得最大值,且最大值为.