中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 上册2.3 一元二次不等式优质练习题习题ppt课件

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2.3 一元二次不等式
我们知道，当a＞0时，关于一元二次方程ax2＋bx＋c=0和二次函数y=ax2＋bx＋c之间有下表所示结论．
像这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为ax²+bx+c>0 (a≠0) ．上面不等式中的“＞”也可以换成“＜”“≥”或“≤” ．
例如，x²-9>0，3x²-2x-1≤0，-2x²+5x+4<0 等都是一元二次不等式．
一元二次不等式与一元二次方程、二次函数形式上很接近，关系很密切，我们是能否借助它们之间的关系求解形如 ax2＋bx＋c＜0或ax2＋bx＋c＞0这样的一元二次不等式呢？
下面先来分析一元二次不等式 x²-2x-3<0 和二次函数 y=x²-2x-3、一元二次方程x²-2x-3=0之间的关系．
如图(2)所示，当 -1 < x < 3 时，函数的图像位于x 轴的下方，此时 y < 0 ．
如图(3)所示，当x<-1或x>3时，函数的图像位于x轴的上方，此时y>0．
不等式 x²-2x-3>0 的解集为(-∞，-1)∪(3，+ ∞)．
由此得到，不等式 x²-2x-3<0 的解集为(-1，3)；
先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．
按照上面的分析，可以得到一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 ( a>0 )和 ax2＋bx＋c<0 ( a>0 )的求解方法：
根据一元二次方程判别式的三种情况，将一元二次方程的解、二次函数图像和一元二次不等式的解集列表： .
例1 求下列一元二次不等式的解集：
（1） x²-x-6 < 0 ；
（2） x(x-3)≥0；
解（2）因为不等式的二次项系数1＞0，对应方程 x(x-3)=0的解为x1=0， x2=3，对应的二次函数的图像如图所示．
（3） 2x²-4x+3<0 ；
当二次项系数a＜0时，由不等式的性质，不等式两边同乘−1，不等号方向改变，就可以将a＜0的情形转化为a＞0的情形，得到与原不等式同解的不等式，然后求解即可．
例3 求一元二次不等式-x2+4x-2<0的解集．
例4 一元二次不等式x2+4x+m≥0对于一切实数x都成立，求m的取值范围．
解 因为不等式x2+4x+m≥0对于一切实数x都成立，所以对应的二次函数y=x2+4x+m 的图像是开口向上的抛物线，且在x轴上方，如图所示．
因此，m的取值范围是[4，+∞)．
1.不等式(x-2)(x-3)≥0的解集为（ ）．A.(-∞，2)∪(3，+∞ ) B. (-∞，2]∪[3，+∞ )C. [2，3] D. (2，3)
2.不等式2x-x² >0的解集为（ ）．A. (-∞，0)∪(2，+∞ ) B. (0，2)C. [0，2] D. R
3.不等式x²-2x+1 ≤0的解集为（ ）．{1} B. (-∞，1)∪(1，+∞ ) C. R D.
6.若一元二次方程x²+mx+1=0无实数解，求m的取值范围．