浙江省培优联盟2023-2024学年高一下学期4月联考数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第六、七章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数对应的点在第四象限，则m的值为（ ）
A. B. 0C. 1D.
3. “x，y为无理数”是“xy为无理数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，，且与互相垂直，则与夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 若将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知的重心为O，若向量，则（ ）
A. B. C. D.
7. 近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（ ）

A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若与都是单位向量，则B. 只有零向量的模长等于0
C. 若与是平行向量，则D. 向量与不共线，则与都是非零向量
10. 下面四个命题中的真命题为（ ）
A. 复数z是实数的充要条件是B. 若复数z满足，则
C. 复数满足D. 若复数满足，则
11. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则（ ）
A. B. 为函数图象的一条对称轴
C. 函数在上单调递增D. 函数是周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 计算：=____.
13. 在中，角对边分别为，满足外接圆的半径为，则_______．
14. 定义表示中最小者，设函数，若，则x的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 向量，，，．
（1）求；
（2）若，，向量的夹角为，求的值．
16. 已知向量，函数．
（1）在中，分别为内角的对边，若，求A；
（2）在（1）条件下，，求的面积．
17. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“函数”．
（1）已知函数，试判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）若为定义域在R上的“函数”，求实数m的取值范围．
18. 空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式．
（2）年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润．
19. 被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则我们可以简化复数乘法．
（1）已知，求；
（2）已知O为坐标原点，，且复数在复平面上对应点分别为，点C在上，且，求；
（3）利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：
，所以．
类比上述过程，求出．（将表示成的式子，将表示成的式子）（参考公式：）