安徽省六安第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份安徽省六安第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若，则方程表示的圆的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知椭圆方程，若的顶点分别是椭圆的两个焦点，在椭圆上，则的值为（ ）
A．25B．C．12D．24
4．已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
5．已知直线是圆的对称轴．过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．2B．C．6D．
6．如图底面为平行四边形的四棱锥，若，则（ ）
A．1B．2C．D．
7．已知点分别是椭圆的左、右焦点，是以（为坐标原点）为圆心、为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且是正三角形，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．下图是棱长均为1的柏拉图多面体分别为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若向量，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法正确的有（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．直线在轴上的截距为1
C．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示．
D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
11．已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ）
A．两圆是外切的位置关系
B．直线的方程为
C．若两点分别是圆和圆上的动点，则的最大值为5
D．圆和圆的一条公切线段长为
12．已知两点的距离为定值4，平面内一动点，记的内角的对边分别为，面积为，下面说法正确的是（ ）
A．若，则最大值为2B．若，则最大值为
C．若，则最大值为D．若，则最大值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．写出过点且与两定点等距离的一条直线方程为____________（写出符合条件的直线方程一般式）
14．已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为____________。
15．在长方体中，，点分别是的中点，则点到直线的距离为____________。
16．已知为圆上一动点，过点作圆的切线，交圆于点，则的最大值是____________。
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知直线．
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求直线与之间的距离．
18．（本小题满分12分）
已知平面内两点．
（1）求的垂直平分线所在直线的直线方程；
（2）过点作直线，分别与轴，轴的正半轴交于两点，当取得最小值时，求直线的方程．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面为棱的中点，．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
已知圆，动圆与圆外切，与圆内切，记圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点坐标是，且椭圆上的点到距离的最大值为，过点的直线交椭圆于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知圆心在坐标原点的圆与直线相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知点，过点作圆的两条切线，切点分别是，若点是线段上的一个动点，直线交圆于两点，求最小值．
六安一中2023年秋学期高二年级期中考试
数学试卷参考答案
13．或 14． 15． 16．
17．【答案】（1）（2）
（1）因为直线，且，
所以，所以所以．
（2）当时，，解得，
此时，
所以与的距离．
18．【答案】（1）（2）
（1）中点，
直线的垂直平分线的斜率，
直线；
（2）设，则直线在直线上，
，
当且仅当时取等号，即当且仅当时，等号成立
此时，．
19．【答案】（1）证明见解析（2）存在点，位于棱上靠近点的三等分点处，证明见解析
（1）取中点，连接分别为的中点，且，
底面四边形是矩形，为棱的中点，
且且
故四边形是平行四边形，．
又平面平面平面．
（2）解法一：假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
平面平面，
以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故．
设．设平面的一个法向量为，
则，取得，则．
易知平面的一个法向量为，．
故存在点，位于棱上靠近点的三等分点处满足题意．
（2）解法2：设，则，作，由面，连可知面，故为面与面所成角，且，在，
是靠近三等分点．
20．（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由条件可得，即，
则根据定义可知，点是以为焦点，以4为长轴长的椭圆，
则，可得，
所以曲线的方程为．
（2）不妨设，
则，由可得，
联立方程，消去得
则，由韦达定理可得
由代入得，解得，即
因此直线，即
（运用点斜式需讨论是否存在）
21．【答案】（1）；（2）或．
【详解】（1）由得
故椭圆方程是；
（2）设，直线的方程为，由，整理得，则，解得，，
因且，则，
于是有，化简，得，则，即，所以，
由得，
则，
而点在椭圆上，即，化简得，
从而有，而，
于是得，解得或，
故实数的取值范围为或．
22．（1）
（2）由点可得切点弦
则
．
设
联立得
故．
（注：由切割线定理知也可以）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
D
C
A
C
A
AD
ACD
ABD
BC