2023-2024学年安徽省六安市金寨县青山中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市金寨县青山中学高二（下）开学数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中与y=x是同一个函数的是( )
A. y=( x)2B. v=uC. y= x2D. m=n2n
2.命题“∀x∈(0,+∞)，x+sinx>0“的否定是( )
A. ∀x∈(−∞,0]，x+sinx>0B. ∀x∈(−∞,0]，x+sinx≤0
C. ∃x∈(0,+∞)，x+sinx>0D. ∃x∈(0,+∞)，x+sinx≤0
3.函数f(x)=2ax−1−1(a>0，且a≠1)恒过定点( )
A. (1,−1)B. (1,1)C. (0,1)D. (0,−1)
4.已知α∈(3π2,2π)，则 12−12csα等于( )
A. sinα2B. csα2C. −sinα2D. −csα2
5.sin45°⋅cs15°+cs225°⋅sin15°的值为( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
6.设a>0，b>0，则“a+b2≥6”是“ ab≥6”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
7.已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)=( )
A. {x|x>2}B. {x|−2C. {x|1≤x<2}D. {x|≤−2或x≥1}
8.已知a=223，b=225，c=323，则( )
A. b二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax−1)(x+1)<0的解集可能是( )
A. {x|−1C. {x|1a10.已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是( )
A. 若A=B，则a=−3
B. 若A⊆B，则a=−3
C. 若B=⌀，则a≤−6或a≥6
D. 若B⫋A时，则−611.已知函数f(x)=2x+12x，则( )
A. f(lg23)=43B. f(x)在(−∞,+∞)上单调递增
C. f(x)为偶函数D. f(x)的最小值为2
12.已知a>b>0，c∈R，则下列不等式成立的是( )
A. a−c>b−cB. ac>bcC. 1a<1bD. a+b2> ab
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若x>−1，则x+3x+1的最小值是 ．
14.已知sinα=2csα，则sin2α+2sinαcsα=______．
15.若幂函数f(x)的图象过点(−12,−18)，则f(3)= ．
16.函数f(x)=cs2x−6csx的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算(1)lg224+lg12−lg3 27+lg2−lg23
(2)(33× 2)6−(19)−32−(−8)0．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|lg2(x+1)≥1}，B={x|x2−2x−m<0}．
(1)当m=3时，求∁RB；
(2)若A∩B={x|1≤x<4}，求A∪B．
19.(本小题12分)
已知x>0，y>0，且2x+8y−xy=0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x+y的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)= 2sin(2x−π6).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[−π12,5π12]上的值域．
21.(本小题12分)
为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层、某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C(万元)与隔热层厚度x(厘米)满足关系式：C(x)=k3x+8(0≤x≤10)，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元．设f(x)为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．
(1)求C(x)和f(x)的表达式；
(2)当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f(x)最小，并求出最小值．
22.(本小题12分)
已知函数y=f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)=x2+2ax+1，(a为常数)．
(1)当x<0时，求f(x)的解析式：
(2)设函数y=f(x)在[0,5]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；
(3)对于(2)中的g(a)，试求满足g(8m)=g(1m)的所有实数m的取值集合．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于A，y=( x)2的定义域为[0,+∞)，与y=x的定义域为R不同，故A错误；
对于B，函数v=u，与函数y=x为同一函数，故B正确；
对于C，y= x2=|x|与y=x的对应关系不同，故C错误；
对于D，m=n2n=n(n≠0)与y=x的定义域不同，故D错误．
故选：B．
直接利用同一函数的概念判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：同一函数的定义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：命题“∀x∈(0,+∞)，x+sinx>0“的否定是∃x∈(0,+∞)，x+sinx≤0，
故选：D．
含有一个量词的命题的否定，要将“∀”变成“∃”，同时对命题再作否定．
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：令x−1=0，解得：x=1，
此时f(1)=2a0−1=1，
故函数f(x)恒过定点(1,1)，
故选：B．
根据a0=1(a>0，且a≠1)，求出x的值，代入从而求出f(x)的值，求出函数过定点即可．
本题考查了指数函数的性质，考查特殊点的应用，是一道基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵α∈(3π2,2π)，∴α2∈(3π4,π)，
∴sinα2>0，
∴ 12−12csα= 12−12(1−2sin2α2)=|sinα2|=sinα2．
故选：A．
利用三角函数符号、倍角公式直接求解．
本题考查三角函数的运算，考查三角函数符号、倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：sin45°⋅cs15°+cs225°⋅sin15°
=sin45°⋅cs15°−cs45°⋅sin15°
=sin(45°−15°)
=sin30°
=12
故答案选C
先通过诱导公式cs225°=−cs45°，再利用正弦两角和公式化简即可得出答案．
本题主要考查正弦函数的两角和公式的应用．此类题常与诱导公式、倍角公式等一起考查．
6.【答案】B
【解析】解：∵a>0，b>0，∴a+b2≥ ab，
∴由a+b2≥6得不出 ab≥6；由 ab≥6得出a+b2≥6，
∴“a+b2≥6“是“ ab≥6”的必要不充分条件．
故选：B．
根据基本不等式a+b2≥ ab及充分条件和必要条件的定义即可得出正确的选项．
本题考查了基本不等式，充分条件和必要条件的定义，考查了计算和推理能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题．
运用二次不等式的解法，求得集合Q，求得Q的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．
【解答】解：Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≥2或x≤−2}，
即有∁RQ={x∈R|−2则P∪(∁RQ)={x|−2故选：B．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，是基础题．
利用指数函数和幂函数的单调性比较大小即可．
【解答】
解：∵指数函数y=2x在R上单调递增，且23>25，
∴223>225，即a>b，
∵幂函数y=x23在(0,+∞)上单调递增，且2<3，
∴223<323，即a∴b故选：A．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质的应用，中档题．
先求出关于x的一元二次方程(ax−1)(x+1)=0的两根为1a，−1，再对a进行讨论，解不等式即可．
【解答】
解：当a=0时，x>−1,
当a≠0时，
关于x的一元二次方程(ax−1)(x+1)=0的两根为1a，−1，
当a>0时，1a>−1，故不等式的解集为(−1,1a)，
当a<0时，
①若a=−1，则1a=−1，∴不等式解集为{x|x≠−1}，
②若−1③若a<−1，则1a>−1，∴不等式的解集为(−∞,−1)∪(1a,+∞)，
故选AB．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．
由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可．
【解答】
解：由已知可得A={x|−3若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，解得a=−3，故A正确，
当a=−3时，A=B，故D错误，
若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，
当B=⌀时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确．
故选：ABC．
11.【答案】CD
【解析】解：函数f(x)=2x+12x，
对于选项A：f(lg23)=2lg23+12lg23=3+13=103，故选项A错误，
对于选项B：函数f(x)=2x+12x为对勾函数，令t=2x，则t>0，
当x∈(−∞,0)时，0由复合函数的单调性可知f(x)=2x+12x单调递减，
当x∈(0,+∞)时，t>1，t=2x单调递增，而y=t+1t在(1,+∞)上单调递增，
由复合函数的单调性可知f(x)=2x+12x单调递增，
故选项B错误，
对于选项C：显然函数f(x)的定义域为R，
∵f(−x)=2−x+12−x=2x+12x=f(x)，
∴函数f(x)为偶函数，故选项C正确，
对于选项D：f(x)=2x+12x≥2 2x⋅12x=2，当且仅当2x=12x即x=0时，等号成立，
故选项D正确，
故选：CD．
由对数的运算性质可知A错误，由复合函数的单调性和对勾函数的单调性可知B错误，由偶函数的定义可知C正确，由基本不等式可知D正确．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了函数的奇偶性，考查了复合函数的单调性，以及基本不等式的应用，是中档题．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的性质，掌握作差法与特殊值法是解本题的关键，属于基础题．
对于A，结合不等式的性质，即可求解，对于B，结合特殊值法，即可求解，对于C，结合不等式的性质，即可求解，对于D，结合作差法，即可求解．
【解答】
解：对于A，∵a>b>0，∴a−c>b−c，故A正确，
对于B，当c=0时，ac=bc，故B错误，
对于C，∵a>b>0，∴1a<1b，故C正确，
对于D，a+b2− ab=a−2 ab+b2=( a− b)22≥0，当且仅当 a= b，即a=b时，等号成立，∵a>b，等号取不到，∴a+b2− ab>0，即a+b2> ab，故D正确．
故选：ACD．
13.【答案】2 3−1
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
利用基本不等式，即可得解．
【解答】
解：因为x>−1，所以x+1>0，
所以x+3x+1=x+1+3x+1−1≥2 (x+1)⋅3x+1−1=2 3−1，当且仅当x+1=3x+1，即x= 3−1时，等号成立，
所以x+3x+1的最小值是2 3−1．
故答案为：2 3−1．
14.【答案】85
【解析】【分析】
此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握同角三角函数基本关系式是解本题的关键，属于基础题．
将已知等式左右两边同时除以csα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanα的值，然后将所求的式子利用同角三角函数基本关系式化简后，把tanα的值代入即可求出值．
【解答】
解：∵sinα=2csα，即tanα=2，
∴sin2α+2sinαcsα=sin2α+2sinαcsαsin2α+cs2α=tan2α+2tanαtan2α+1=22+2×222+1=85．
故答案为：85．
15.【答案】27
【解析】【分析】
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
由题意，利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出f(x)的解析式，可得f(3)的值．
【解答】
解：∵幂函数f(x)=xα 的图象过点(−12,−18)，∴(−12)α=−18，∴α=3，f(x)=x3，
则f(3)=33=27．
故答案为：27．
16.【答案】7
【解析】【分析】
由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用二次函数的性质，余弦函数的值域，求出函数的最大值．
本题主要考查三角恒等变换，二次函数的性质，余弦函数的值域，属于中档题．
【解答】
解：∵函数f(x)=cs2x−6csx=2cs2x−6csx−1=2(csx−32)2−112，
又∵csx∈[−1,1]，∴当csx=−1时，f(x)取得最大值7，
故答案为：7．
17.【答案】解：(1)lg224+lg12−lg3 27+lg2−lg23
=(lg224−lg23)+(lg12+lg2)−lg3332
=lg28+lg1−32=32
(2)(33× 2)6−(19)−32−(−8)0
=(313×212)6−(3−2)−32−1
=9×8−27−1
=44．
【解析】本题考查对数的运算法则、有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力.属于基础题．
(1)直接利用对数的运算法则求解即可．
(2)直接利用有理指数幂的运算法则求解即可．
18.【答案】解：(1)当m=3时，B={x|x2−2x−3<0}=(−1,3)，
所以∁RB={x|x≥3或x≤−1}；
(2)因为A={x|lg2(x+1)≥1}={x|x≥1}，A∩B={x|1≤x<4}，
所以x=4是x2−2x−m=0的一个根，
故m=8，B={x|x2−2x−8<0}={x|−2所以A∪B={x|x>−2}．
【解析】本题主要考查了集合的交并补集的运算，体现了方程与不等式关系的相互转化，属于基础题．
(1)把m=3代入，求出集合B，结合集合补集运算进而可求；
(2)由已知结合集合交集运算先求出m，进而可求B，再由集合并集运算可求．
19.【答案】解：(1)∵x>0，y>0，2x+8y−xy=0，
∴xy=2x+8y≥2 16xy，
∴ xy≥8，∴xy≥64.当且仅当x=4y=16时取等号，
故xy的最小值为64．
(2)由2x+8y=xy，得：2y+8x=1，
又x>0，y>0，
∴x+y=(x+y)⋅(2y+8x)=10+2xy+8yx≥10+2 2xy⋅8yx=18，
当且仅当x=2y=12时取等号，
故x+y的最小值为18．
【解析】本题考查基本不等式的应用，注意不要遗漏等号成立的条件，属于基础题．
(1)利用基本不等式，构建不等式即可得出答案；
(2)由2x+8y=xy，变形得2y+8x=1，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
20.【答案】解：(1)令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
令π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ，k∈Z，
可得函数f(x)的单调增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z，
单调减区间为[π3+kπ,5π6+kπ]，k∈Z；
(2)由x∈[−π12,5π12]，
可得2x−π6∈[−π3,2π3]，
可得sin(2x−π6)∈[− 32,1]，
可得函数f(x)在区间[−π12,5π12]上的值域为[− 62, 2].
【解析】(1)根据三角函数的单调性即可求函数f(x)的单调区间；
(2)求出角的范围，结合函数的单调性即可得到结论．
本题主要考查三角函数的性质，要求熟练掌握三角函数的单调性和值域的求解，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为C(x)=k3x+8(0≤x≤10)，
若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，所以k=40，故C(x)=403x+8，
因为f(x)为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，
所以f(x)=6x+8003x+8(0≤x≤10)．
(2)f(x)=6x+8003x+8=2(3x+8)+8003x+8−16≥2 1600−16=64，
当且仅当2(3x+8)=8003x+8，即x=4时，等号成立，
即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元．
【解析】(1)由已知C(x)=k3x+8(0≤x≤10)，又不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．所以可得C(0)=5，由此可求k，进而得到C(x).由已知建造费用为6x，根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，可得f(x)的表达式．
(2)由(1)中所求的f(x)的表达式，利用基本不等式求出总费用f(x)的最小值．
本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)设x<0，则−x>0，
所以f(−x)=(−x)2+2a(−x)+1=x2−2ax+1，
又因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，
所以当x<0时，f(x)=x2−2ax+1；
(2)当x∈[0,5]时，f(x)=x2+2ax+1，对称轴x=−a，
①当−a≥52，即a≤−52时，g(a)=f(0)=1；
②当−a<52，即a>−52时，g(a)=f(5)=10a+26；
综上所述，g(a)=1,a≤−5210a+26,a>−52；
(3)由(2)知g(a)=1,a≤−5210a+26,a>−52,
当a≤−52时，g(a)为常函数；
当a>−52时，g(a)为一次函数且为增函数且ga>1；
因为g(8m)=g(1m)，
所以有8m≤−521m≤−52或8m=1m，
解得m= 24或−25≤m≤−516，
即m的取值集合为{m|m= 24或−25≤m≤−516}.
【解析】本题考查了函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论和转化思想的应用问题，是综合题．
(1)设x<0，根据题意利用偶函数的定义求出f(x)的解析式；
(2)讨论a的取值范围，求出x∈[0,5]时f(x)的最大值，用分段函数表示即可；
(3)根据分段函数求出g(a)满足g(8m)=g(1m)时m的取值即可．