辽宁省沈阳市第七中学2023-2024学年七年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项法则分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意；
故选：．
2. 某种颗粒物的直径约为米，用科学记数法表示该颗粒物的直径为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
3. 如图，在直线外任取一点，过点画直线的平行线，可画出的平行线有（ ）

A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是平行公理．根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”解答．
【详解】解：过直线外一点画直线的平行线，只能画一条，
故选：B．
4. 下面是推导“对顶角相等”的过程，“（×）”处应填的内容是（ ）
如图，已知直线，相交于点，
∵，（平角定义）
∴（×）
A. 对顶角相等B. 同位角相等C. 互补定义D. 同角的补角相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同角的补角相等．根据“同角的补角相等”即可判断．
【详解】解：如图，已知直线，相交于点，
∵，（平角定义），
∴（同角的补角相等）．
故选：D．
5. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂运算，根据负整数指数幂公式计算即可求解，掌握负整数指数幂公式是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
6. 如图，由，能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案．
【详解】解：A、由，，推出，能得到，此选项符合题意；
B、由，不能得出，此选项不符合题意；
C、由，不能得到，此选项不符合题意；
D、由，得到，不能得到，此选项不符合题意；
故选：A．
7. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度关系的一些数据如下：
根据表格所得到的信息，下列说法错误的是（ ）
A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B. 温度越低，声速越慢
C. 当温度每升高时，声速增加
D. 当空气温度为时，声音可以传播
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义即可判断；通过观察表格数据即可判断；根据计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断；掌握自变量与函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵声速随温度的变化而变化，
∴自变量是温度，声速是温度的函数，故正确，不符合题意；
从表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，故正确，不符合题意；
从数据可知，温度每升高，声速就增加，故 正确，不符合题意；
由可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播，故错误，符合题意；
故选：．
8. 长方形的长为，宽为，则它的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式乘法运算的应用，根据题意，列出算式，进行计算即可求解，掌握整式的乘法运算是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，长方形的面积，
故选：．
9. 如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图以及全等三角形的判定与性质，根据题意得出证即可求解．
【详解】解：由题意可得：
∵，
∴
∴
∴
故选：C
10. 如图，正方形A、B的边长分别为a和b，现将B放在A的内部得图①，将A、B并列放置后构造新的正方形得图②．则①②两图中阴影部分的面积之和为（ ）
A. 2abB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】正方形A、B的边长分别为a和b，根据题意表示出大正方形的面积、正方形A的面积、正方形B的面积及阴影部分的面积，即可得到答案．
【详解】正方形A、B的边长分别为a和b，图①是把B放进A的内部，
故阴影部分的边长为(a-b)
面积为(a-b) (a-b)=a2-2ab+b2
图②的大正方形的边长为(a+b)
故大正方形的面积为(a+b)2= a2+2ab+b2
正方形A的面积为a2
正方形B的面积为b2，
阴影部分的面积为：S大正方形-S正方形A - S正方形B
即：S阴影部分= a2+2ab+b2- a2- b2= 2ab
故①②两图中的阴影部分面积之和为a2-2ab+b2+2ab= a2+b2
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11. 计算的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的乘除法运算．利用整式的除法运算法则运算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，AB⊥l1，AC⊥l2，垂足分别为B，A，则A点到直线l1的距离是线段__的长度．
【答案】AB
【解析】
【详解】解：根据点到直线的距离的定义，易得A点到直线l1的距离是线段AB的长度．
故答案为：AB．
13. 如图，直线，一副三角板放置在，之间，一三角板直角边在上，三角板斜边在同一直线上，则________．
【答案】##15度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作直线，得到，利用三角板的定义以及平行线的性质即可求解．
详解】解：作直线，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 若，则的值是________．
【答案】200
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式以及平方差公式．根据完全平方公式以及平方差公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：200．
15. 如图所示，图是长方形纸带（且纸带足够长），（），将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，图中，则与的关系式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，角的和差，根据平行线的性质可得，，再根据折叠的性质可得，利用角的和差关系即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴图中，，
∴图中，，
∵，
∴，
故答案为：．
三、计算题（共2小题，共26分）
16. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（）根据积的乘方、整式的除法法则进行计算即可解答；
（）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值分别运算，再合并即可解答；
（）利用平方差公式进行计算即可解答；
（）先对中括号的整式去括号，合并同类项，再进行整式的除法运算即可解答；
本题考查了整式的运算，实数的运算，掌握整式和实数的运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
，
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式
，
，
；
【小问4详解】
解：原式
．
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，先利用整式的乘法公式和除法法则对整式进行化简，再把、的值代入到化简后的结果中进行计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
，
当，时，
原式
．
四、作图题（共1小题，共6分）
18. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）
（1）画出线段，使，且点为格点；
（2）在线段上画出点，使；
（3）请直接写出与的位置关系________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）垂直
【解析】
【分析】此题主要考查了作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质．
（1）利用网格的特点，根据平移的性质，即可得解；
（2）利用网格的特点，根据全等三角形的性质，取格点G，，连接交于Q即可；
（3）根据平行线的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，点M即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图，点Q即为所求；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
故答案为：垂直．
五、解答题（共5小题，共43分）
19. 如图，三角形底边上的高为，设的长为，的长为，三角形的面积为．
（1）如果三角形的高不变，即，则与线段的长之间的关系式为________；
（2）如果三角形的底边不变，即，当高从增加到时，三角形的面积将增加________；
（3）如果三角形的底边和高都发生变化，但与的和为保持不变，即始终满足：
①请求出此时与的关系式；
②根据①中的关系式完成表格，并分析当时，随变化的情况为：________．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②先增加后减少
【解析】
【分析】本题考查列代数式，求代数式的值．
（1）直接利用三角形的面积公式列式即可；
（2）分别将和代入，求出x的值即可；
（3）①求得，利用三角形的面积公式列式即可；
②分别将和代入①所求解析式，求出y的值，再观察表格即可得解．
小问1详解】
解：∵，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，，
当，；
当，；
∵，
∴当高从增加到时，三角形的面积将增加；
故答案为：；
【小问3详解】
解：①∵，即，
∴，
∴；
②当，；
当，；
填表如下，
观察表格知，当时，随的增加而增加；当时，随的增加而减少；
故答案为：先增加后减少．
20. 如图，已知，．请说明：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了补角性质，平行线的判定和性质，由，，可得，进而得到，再得到，又由可得，即可得到，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 补全下面推理过程：
生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，求的度数．
解：如图，过点作，
∵（________）
∴（________）（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴（________），（________）
∵，∴（________），（________）
∵（辅助线作法），∴（________），
∴
∴（________）．
【答案】已知；；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论．
【详解】解：如图，过点作，
∵（已知）
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴，（两直线平行，同旁内角互补）
∵，∴，（垂直的定义）
∵（辅助线作法），∴，
∴，
∴．
故答案为：已知；；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；．
22. 数学活动课上，老师用如图中张边长为的正方形纸片、张边长为的正方形纸片和张宽和长分别为，的长方形纸片拼成了如图所示的大正方形，观察图形并解答下列问题．
（1）由图和图可以得到的整式乘法公式为________．（用含，的式子表示）
（2）满满想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，请通过计算说明需要，，三种纸片各多少张？
（3）如图，已知点为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，请利用（）中的公式求出图中阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）需要两种纸片各张，种纸片张；
（3）．
【解析】
【分析】（）根据图形，利用正方形与长方形的公式即可求得答案；
（）利用多项式乘多项式法则计算后即可求得答案；
（）设，，则，然后根据完全平方公式列式计算即可求解；
本题考查了完全平方公式的几何背景及多项式乘多项式，结合图形求得等式是解题的关键．
【小问1详解】
解：由图形可得，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
即需要两种纸片各张，种纸片张；
【小问3详解】
解：设，，则，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 为保证安全，某两段铁路，两旁安置了两座可旋转探照灯，，探照灯的光线可看作射线．如图，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线上便立即回转，灯的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若灯的光线先转动，每秒转动，秒后灯的光线才开始转动，每秒转动，在灯的光线第一次到达之前，灯的光线转动________秒时，两灯的光线互相平行．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（）由可得，，由可得，代入即可求解；
（）分三种情况：当与相遇前，两灯的光线；当与相遇后， 为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线；当与相遇后，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线；列出方程解答即可求解；
本题考查了补角性质、平行线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图，
由 () 知， ，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当与相遇后，灯的光线转动秒，为灯到达前的光线，灯未到达，两灯的光线，如图，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴此时不合，舍去；
当与相遇后，灯的光线转动秒时，为灯到达后的光线，灯未到达，两灯的光线，如图，
∴，
∴，
解得；
综上，或时，两灯光线互相平行，
故答案为：或．
温度（）
声速（）
的长
…
1
2
3
…
三角形面积
…
2
…
的长
…
1
2
3
…
三角形面积
…
2
…