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福建省泉州市安溪蓝溪中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份福建省泉州市安溪蓝溪中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含福建省泉州市安溪蓝溪中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题原卷版docx、福建省泉州市安溪蓝溪中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 将10封信全部投入3个不同的邮箱，则所有的投放方法数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得.
【详解】每封信有3种不同的投放方法，所以所有的投放方法数为.
故选：A
2. 若函数在处可导，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的定义求解即可.
【详解】函数在处可导，
.
故选：C.
3. 4名学生和3名教师站成一排照相，任何两名教师都不相邻的不同排法的种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式即得.
【详解】依题意，排4名学生，有种方法，再把教师插入4名学生的每个排列形成的5个间隙中，有种方法，
所以不同排法种数是.
故选：D
4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，，
则所求切线方程为，即，
故选：A.
5. 函数的单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案.
【详解】函数的定义域为，
，
由得，
所以的单调减区间为.
故选：D.
6. 有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ）
A. 240B. 360C. 480D. 720
【答案】B
【解析】
【分析】先按人数分组，再分配到三个学校可得．
【详解】选按人数3，2，1分成3组再分配到三个学校，
不同的分法种数为．
故选：B．
7. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】因为函数在点处的切线方程为，
所以，且，所以，
所以．
故选：A.
8. 已知函数，则（ ）
A. －12B. 12C. －26D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】求出导数，令，求出，再求出.
【详解】因为函数，所以，
令则，，解得，
所以，，
所以，，
所以.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断AC选项；利用导数的四则运算可判断BD选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
10. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递减B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值D. 函数在处取得极小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.
【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；
对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；
对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；
对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.
故选：ACD．
11. 已知函数，则（ ）
A. 成立B. 是上的减函数
C. 为的极值点D. 只有一个零点
【答案】CD
【解析】
【分析】本题首先可根据求导得出，然后利用导函数求出函数的单调性，最后结合单调性求出函数的最值，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
当时，，，即当时是增函数，B错误，
当时，，，即当时是减函数，
则当时，取极小值，即最小值，，，
故A错误，C正确，D正确，
故选：CD.
12. 已知，则（ ）
A. B.
C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第项
【答案】AB
【解析】
【分析】设，利用赋值法可判断ABC选项，利用二项式系数的单调性可判断D选项.
【详解】设.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，
所以，，C错；
对于D选项，展开式共项，展开式中二项式系数最大的项为第项，D错.
故选：AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 二项式的展开式中，含的项的系数是___________.
【答案】
【解析】
【分析】求得二项展开式的通项，结合通项确定的值，即可求解.
【详解】由题意，二项式的展开式的通项公式为，
令，得，所以展开式中含的项的系数为.
故答案为：.
14. 用排成无重复数字的三位偶数的个数为______
【答案】
【解析】
【分析】可以看作是3个空，要求个位是偶数，其它位置无条件限制，因此先从3个偶数中任选1个填入个位，其它3个数在2个位置上排列即可.
【详解】要排成无重复数字的三位偶数,则个位数为偶数即选择有3种，其它位数的排列数为，即这样的数有个，
故答案为: .
15. 烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据公式和已知条件直接求解即可
【详解】因为水的初始温度为，所以，解得，所以，
则，所以加热到第时，水温的瞬时变化率是.
故答案为：
16. 函数有三个零点，则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先确定函数的单调性和极值，据此得到关于实数的不等式组，求解不等式组即可确定实数的取值范围．
【详解】由函数的解析式可得：，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
据此可得函数在处取得极大值，在处取得极小值，
要使有三个零点，需要满足，
解得：．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17. 从5名男生和3名女生中，选出3人，分别求符合下列条件的选法数.
（1），必须被选出；
（2）至少有2名女生被选出；
（3）让选出的3人分别担任体育委员、文娱委员等3个不同职务，但体育委员由男生担任.
【答案】（1）6 （2）16
（3）210
【解析】
【分析】（1）从以外人中，任选个人，由此求得选法数.
（2）先计算出从人任选人的方法数，然后减去至多有名女生被选出的方法数，由此求得选法数.
（3）先选出一名男生担任体育委员、再在剩余的人中任选人进行安排，由此求得选法数.
【小问1详解】
由于，必须被选出，再从以外的人中，任选个人，故选法数有种.
【小问2详解】
从人任选人的方法数有，选出的人中没有女生的方法数有，选出的人中有名女生的方法数有.
所以至少有2名女生被选出的选法数为.
【小问3详解】
先选出一名男生担任体育委员、再在剩余的人中任选人安排职务，故选法数为.
18. 已知在的展开式中第6项为常数项．
（1）求展开式中所有项的二项式系数和；
（2）求展开式中所有项的系数和；
（3）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）
（2）
（3），，
【解析】
【分析】（1）根据题意求出，再根据二项式系数的性质即可得解；
（2）令，即可得解；
（3）求出二项展开式的通项，令的指数为整数，即可得出答案.
【小问1详解】
解：因为在的展开式中第项为常数项，
所以为常数项，所以，
所以展开式中所有项的二项式系数和为；
【小问2详解】
解：令，得到展开式中所有项的系数和为；
【小问3详解】
解：展开式中通项为，
令整数，，得到，
时，；
时，；
时，；
所以展开式中所有的有理项有，，．
19. 已知函数，且.
（1）求函数图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）由已知可得，根据已知求出，代入可得.根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案；
（2）由（1）知，.解以及，即可得出函数的单调区间.
【小问1详解】
由已知可得，
所以，解得，
所以，所以.
根据导数的几何意义可知函数的图象在点处的切线斜率，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
由（1）知，.
令，得或.
解可得，或，
所以在上单调递增，在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
20. 已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上最值.
【答案】（1）；
（2）最大值为4，,最小值为0.
【解析】
【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；
（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.
【小问1详解】
，由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
21. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）对于，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数符号确定区间单调性；
（2）问题化为对恒成立，讨论、求参数范围.
【小问1详解】
由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
【小问2详解】
由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．
综上：．
22. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求，的值；
（2）若函数，且恰有2个不同的零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的导数求解切线方程，比较系数，即可求解；
（2）求出的导函数，根据恰有2个不同的零点，利用同构转化为方程恰有两个不同的解，构造新的函数，利用导数判断函数的单调性，进而得到的范围.
【小问1详解】
由题知，，，
，
曲线在处的切线方程为，即，
解得；
【小问2详解】
由题知，，
恰有2个不同的零点，即恰有2个不同的解，
即恰有2个不同的解.
设，
易知单调递增，
恰有2个不同的解，
（解法一）设，，则恰有2个不同的零点，
，
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
要使恰有2个不同的零点，则，即，
当时，，．
设，则，令，得，
在区间上单调递增，在区间上单调递增，
当时，，
区间和区间上各有1个零点，
实数的取值范围为．
（解法二）即恰有2个不同的解．
设，，
则，
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
．
又当时，，当时，，
若恰有2个不同的解，则，得，
实数的取值范围为．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 将10封信全部投入3个不同的邮箱，则所有的投放方法数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得.
【详解】每封信有3种不同的投放方法，所以所有的投放方法数为.
故选：A
2. 若函数在处可导，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的定义求解即可.
【详解】函数在处可导，
.
故选：C.
3. 4名学生和3名教师站成一排照相，任何两名教师都不相邻的不同排法的种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式即得.
【详解】依题意，排4名学生，有种方法，再把教师插入4名学生的每个排列形成的5个间隙中，有种方法，
所以不同排法种数是.
故选：D
4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，，
则所求切线方程为，即，
故选：A.
5. 函数的单调减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案.
【详解】函数的定义域为，
，
由得，
所以的单调减区间为.
故选：D.
6. 有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（ ）
A. 240B. 360C. 480D. 720
【答案】B
【解析】
【分析】先按人数分组，再分配到三个学校可得．
【详解】选按人数3，2，1分成3组再分配到三个学校，
不同的分法种数为．
故选：B．
7. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】因为函数在点处的切线方程为，
所以，且，所以，
所以．
故选：A.
8. 已知函数，则（ ）
A. －12B. 12C. －26D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】求出导数，令，求出，再求出.
【详解】因为函数，所以，
令则，，解得，
所以，，
所以，，
所以.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断AC选项；利用导数的四则运算可判断BD选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
10. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递减B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值D. 函数在处取得极小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.
【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；
对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；
对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；
对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.
故选：ACD．
11. 已知函数，则（ ）
A. 成立B. 是上的减函数
C. 为的极值点D. 只有一个零点
【答案】CD
【解析】
【分析】本题首先可根据求导得出，然后利用导函数求出函数的单调性，最后结合单调性求出函数的最值，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
当时，，，即当时是增函数，B错误，
当时，，，即当时是减函数，
则当时，取极小值，即最小值，，，
故A错误，C正确，D正确，
故选：CD.
12. 已知，则（ ）
A. B.
C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第项
【答案】AB
【解析】
【分析】设，利用赋值法可判断ABC选项，利用二项式系数的单调性可判断D选项.
【详解】设.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，
所以，，C错；
对于D选项，展开式共项，展开式中二项式系数最大的项为第项，D错.
故选：AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 二项式的展开式中，含的项的系数是___________.
【答案】
【解析】
【分析】求得二项展开式的通项，结合通项确定的值，即可求解.
【详解】由题意，二项式的展开式的通项公式为，
令，得，所以展开式中含的项的系数为.
故答案为：.
14. 用排成无重复数字的三位偶数的个数为______
【答案】
【解析】
【分析】可以看作是3个空，要求个位是偶数，其它位置无条件限制，因此先从3个偶数中任选1个填入个位，其它3个数在2个位置上排列即可.
【详解】要排成无重复数字的三位偶数,则个位数为偶数即选择有3种，其它位数的排列数为，即这样的数有个，
故答案为: .
15. 烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为，加热后的温度函数（是常数，表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据公式和已知条件直接求解即可
【详解】因为水的初始温度为，所以，解得，所以，
则，所以加热到第时，水温的瞬时变化率是.
故答案为：
16. 函数有三个零点，则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先确定函数的单调性和极值，据此得到关于实数的不等式组，求解不等式组即可确定实数的取值范围．
【详解】由函数的解析式可得：，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
据此可得函数在处取得极大值，在处取得极小值，
要使有三个零点，需要满足，
解得：．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17. 从5名男生和3名女生中，选出3人，分别求符合下列条件的选法数.
（1），必须被选出；
（2）至少有2名女生被选出；
（3）让选出的3人分别担任体育委员、文娱委员等3个不同职务，但体育委员由男生担任.
【答案】（1）6 （2）16
（3）210
【解析】
【分析】（1）从以外人中，任选个人，由此求得选法数.
（2）先计算出从人任选人的方法数，然后减去至多有名女生被选出的方法数，由此求得选法数.
（3）先选出一名男生担任体育委员、再在剩余的人中任选人进行安排，由此求得选法数.
【小问1详解】
由于，必须被选出，再从以外的人中，任选个人，故选法数有种.
【小问2详解】
从人任选人的方法数有，选出的人中没有女生的方法数有，选出的人中有名女生的方法数有.
所以至少有2名女生被选出的选法数为.
【小问3详解】
先选出一名男生担任体育委员、再在剩余的人中任选人安排职务，故选法数为.
18. 已知在的展开式中第6项为常数项．
（1）求展开式中所有项的二项式系数和；
（2）求展开式中所有项的系数和；
（3）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）
（2）
（3），，
【解析】
【分析】（1）根据题意求出，再根据二项式系数的性质即可得解；
（2）令，即可得解；
（3）求出二项展开式的通项，令的指数为整数，即可得出答案.
【小问1详解】
解：因为在的展开式中第项为常数项，
所以为常数项，所以，
所以展开式中所有项的二项式系数和为；
【小问2详解】
解：令，得到展开式中所有项的系数和为；
【小问3详解】
解：展开式中通项为，
令整数，，得到，
时，；
时，；
时，；
所以展开式中所有的有理项有，，．
19. 已知函数，且.
（1）求函数图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）由已知可得，根据已知求出，代入可得.根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案；
（2）由（1）知，.解以及，即可得出函数的单调区间.
【小问1详解】
由已知可得，
所以，解得，
所以，所以.
根据导数的几何意义可知函数的图象在点处的切线斜率，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
由（1）知，.
令，得或.
解可得，或，
所以在上单调递增，在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
20. 已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上最值.
【答案】（1）；
（2）最大值为4，,最小值为0.
【解析】
【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；
（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.
【小问1详解】
，由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
21. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）对于，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数符号确定区间单调性；
（2）问题化为对恒成立，讨论、求参数范围.
【小问1详解】
由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
【小问2详解】
由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．
综上：．
22. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求，的值；
（2）若函数，且恰有2个不同的零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的导数求解切线方程，比较系数，即可求解；
（2）求出的导函数，根据恰有2个不同的零点，利用同构转化为方程恰有两个不同的解，构造新的函数，利用导数判断函数的单调性，进而得到的范围.
【小问1详解】
由题知，，，
，
曲线在处的切线方程为，即，
解得；
【小问2详解】
由题知，，
恰有2个不同的零点，即恰有2个不同的解，
即恰有2个不同的解.
设，
易知单调递增，
恰有2个不同的解，
（解法一）设，，则恰有2个不同的零点，
，
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
要使恰有2个不同的零点，则，即，
当时，，．
设，则，令，得，
在区间上单调递增，在区间上单调递增，
当时，，
区间和区间上各有1个零点，
实数的取值范围为．
（解法二）即恰有2个不同的解．
设，，
则，
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
．
又当时，，当时，，
若恰有2个不同的解，则，得，
实数的取值范围为．
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