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2024年山东省济南市莱芜区九年级中考数学模拟试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年山东省济南市莱芜区九年级中考数学模拟试题（原卷版+解析版），文件包含2024年山东省济南市莱芜区九年级中考数学模拟试题原卷版docx、2024年山东省济南市莱芜区九年级中考数学模拟试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
1. 4 的算术平方根是（ ）
A. 2B. ±2C. 16D. ±16
【答案】A
【解析】
【分析】试题分析：利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2.
故选：A.
2. 下列几何体中，俯视图与主视图完全相同的几何体是（ ）
A. 圆锥B. 球C. 圆柱D. 长方体
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥、球、圆柱、长方体的主视图、俯视图进行判断即可．
【详解】解：A．圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
B．球的俯视图与主视图都是圆，故本选项符合题意；
C．圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D．长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是形状大小不一定相同，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
3. 根据世界卫生组织的统计，截止2022年1月16日，全球新冠确诊病例累计超过32620万，用科学记数法表示这一数据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此求解即可．
【详解】解：32620万．
故选A．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，解题的关键是确定a的值以及n的值．
4. 用科学记数法表示202000为（ ）
A. 202×1000B. 2.02×105C. 2.02×104D. （2.02）5
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法的法则对数值进行表示即可．
【详解】202000＝2.02×105，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握知识点是解题关键．
5. 某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为（ ）
A. 63B. 65C. 66D. 69
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数的定义求解即可；
【详解】解：将原数据排序为：55、63、65、67、69，
所以中位数为：65，
故选：B．
【点睛】本题主要考查中位数的定义，掌握中位数的定义是解题的关键．
6. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查分式的性质，二次根式的性质的综合，掌握分式的性质，二次根式有意义的条件求自变量的取值范围是解题的关键．
根据二次根式的性质，被开方数为非负数，即，根据分式的性质，分母不能为零，即，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，且，
∴，
故选：．
7. 已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式旋转，若，则等于（ ）
A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°
【答案】D
【解析】
【分析】利用对顶角相等及三角形内角和定理，可求出的度数，由直线，利用“两直线平行，内错角相等”可求出结果．
【详解】解：∵，，
∴．
∵直线，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
8. 如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD的周长为（ ）
A. 12B. 13C. 19D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD，通过等边代换计算三角形△BCD的周长即可．
【详解】解：由折叠可知，AD＝CD，
∵AB＝7，BC＝6，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝7+6＝13，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形周长计算，掌握折叠的性质是解题的关键．
9. 若将直线向下平移m个单位长度与双曲线恰好只有一个公共点，则m的值为（ ）
A. 2B. 18C. −2或18D. 2或18
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的直线解析式，再联立双曲线的解析式，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后根据根的判别式列出等式，求解即可得．
【详解】将直线向下平移m个单位长度得到的直线解析式为
联立
化简得：
由题意得，关于x的一元二次方程只有一个实数根
则其根的判别式
解得或
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数的图象平移规律、一元二次方程的根的判别式等知识点，理解题意，将问题转化为利用一元二次方程的根的判别式求解是解题关键．
10. 如图，矩形纸片ABCD，AD＝4，AB＝3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为( )
A. 1.5B. 3
C. 1.5或3D. 有两种情况以上
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况：①当∠EFC＝90°时，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理列式求出AC，设BE＝x，表示出CE，根据翻折变换的性质可得AF＝AB，EF＝BE，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；②当∠CEF＝90°时，判断出四边形ABEF是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE＝AB．
【详解】解：分两种情况：
①当∠EFC＝90°时，如图1，
∵∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，
∴点A、F、C共线，
∵矩形ABCD边AD＝4，
∴BC＝AD＝4，
在Rt△ABC中，，
设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝4﹣x，
由翻折的性质得，AF＝AB＝3，EF＝BE＝x，
∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2，
即x2+22＝(4﹣x)2，
解得x＝1.5，
即BE＝1.5；
②当∠CEF＝90°时，如图2，
由翻折的性质得，∠AEB＝∠AEF＝×90°＝45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE＝AB＝3，
综上所述，BE的长为1.5或3．
故选C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，此类题目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本题难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
11. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( )
A. 3B. 1+C. 1+3D. 1+
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.
【详解】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH= OC=1，CH=，
在Rt△CKH中，CK= =，
∴CQ的最大值为1+，
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
12. 如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（ ）
A ﹣12B. ﹣10C. ﹣9D. ﹣6
【答案】A
【解析】
【分析】连接EC，OA，设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），得到B点坐标，代入反比例函数解析式整理得到mn＝3k，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO=14，整理得到方程14＝﹣k﹣+，求解方程即可.
【详解】解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），
∵AB＝BC，
∴B（，），
∵点B在y＝上，
∴`＝k，
∴k+mn＝4k，
∴mn＝3k，
连接EC，OA，
∵AB＝BC，
∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，
∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，
∴14＝﹣k﹣+，
∴k＝﹣12．
故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，解此题的关键在于准确理解题意，构造适当的辅助线进行解答.
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
注意事项： 1.第Ⅱ卷共5页，用蓝黑钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上；
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上．）
13. 某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费约是实际花费的倍数是_____． （用科学记数法表示，保留2位有效数字）
【答案】
【解析】
【分析】利用预算费用除以实际费用，再用科学记数法表示即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
故答案为：；
【点睛】本题考查有理数的除法，科学记数法及有效数字，解题的关键正确计算有理数的除法．
14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：，
，
，
的取值范围为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
15. 把直线沿y轴向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得平移后的解析式，联立两直线解析式求得交点坐标，根据第二象限点的坐标特征列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：把直线沿y轴向上平移m个单位后得到，
，
解得，
∵交点在第二象限，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，求两直线交点的坐标，第二象限点的坐标特征，解一元一次不等式，理解题意求得交点坐标是解题的关键．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．
【答案】4π
【解析】
【详解】【分析】由将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S阴影=S扇形ABA′+S△ABC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′可得出阴影部分面积．
【详解】∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，AC=2，
∵将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，
∴△ABC≌△A′BC′，
∴∠ABA′=120°=∠CBC′，
∴S阴影=S扇形ABA′+S△ABC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′
=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′
=
=4π，
故答案为4π．
【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算等，确定出S阴影=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′是解题的关键.
17. 如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当时，；④；其中正确结论是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据的图象在x轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出的值；根据两函数的解析式求出A、B、C的坐标，计算出与的长，即可得到的值．
【详解】∵，
∴，
∴无论x取何值，值总是正数，①正确；
∵抛物线与交于点，
∴，
∴，②正确；
当时，，，
∴当时，，③错误；
当时，，解得或1，
当时，，解得或5，
∴，
即，④正确；
综上正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意利用数形结合进行解答，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．
18. 如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点的直线折叠，使点B落在DE边上的处，称为第二次操作，折痕到AC的距离记为；按上述方法不断操作下去…经过第n次操作后得到折痕到AC的距离记为，若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得，从而可得，结合折叠的性质可得，可得，进而判断，得出DE是△ABC的中位线，证得，得到，求出；同理，，……，经过第n次操作后得到的折痕到BC的距离．
【详解】解：如图，连接，由折叠性质可知，，，
又∵D是BC中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
……
∴经过第n次操作后得到的折痕到BC的距离，
故答案为：．
【点睛】此题考查了折叠的性质以及中位线的性质，解题关键是通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．
三、解答题
19. 计算
①解不等式组：；
②先化简，再求值：，其中．
【答案】①；②，．
【解析】
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将的值代入计算即可．
【详解】①解不等式组：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解为：；
②原式=
=
=，
当时，原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序．
20. 如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
【答案】（1）y=﹣，y=﹣2x+12（2）S△CDE=140；（3）x≥10，或﹣4≤x＜0
【解析】
【分析】（1）根据三角形相似，可求出点坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
【详解】（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD=20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n=xy=﹣80
∴反比例函数解析式为：y=
把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12
（2）当=﹣2x+12时，解得
x1=10，x2=﹣4
当x=10时，y=﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象
∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0
【点睛】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点在轴正半轴上，且，求点的坐标；
【答案】（1）一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：
（2）
【解析】
【分析】（1）把点代入反比例函数，求出；再把点代入反比例函数，求出；再把点，点代入一次函数，即可；
（2）点在轴正半轴上，设点，，即，根据点在一次函数且与轴相交，求出点的坐标；进而表示出，根据，求出的值，问题随之得解．
【小问1详解】
∵点在比例函数上，
∴，
∴，
∴；
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴点，
∵点，点经过一次函数，
∴，
解得：，
∴．
∴一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：．
【小问2详解】
如图，点在轴正半轴上，所示：
设点，，即，
∵点在一次函数且与轴相交，
当时，，
∴点，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合知识，待定系数法求解一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图像和性质．
22. 铭润超市用5000元购进一批新品种苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍．
（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？两次共购进多少苹果？
（2）如果超市将该品种苹果按每千克10元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的500千克按定价的六折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
【答案】（1）试销时该品种苹果的进价是每千克5元，两次共购进3000千克苹果；
（2）超市在这两次苹果销售中共盈利12000元．
【解析】
【分析】（1）设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，根据“这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销的2倍”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据总销售额总成本销售盈利，列出算式，即可求解．
【小问1详解】
解：设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，则第二次购进该品种苹果的进价是每千克元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意．
（千克），
答：试销时该品种苹果的进价是每千克5元，两次共购进3000千克苹果；
【小问2详解】
解：（元）．
答：超市在这两次苹果销售中共盈利12000元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
23. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）200、81°；（2）补图见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×=81°，
故答案为200、81°；
（2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为微信；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，，求AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接OC，利用三角形外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得；
（2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB．
【小问1详解】
证明：连接OC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明；第（2）问的关键是证明，．
25. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于和两点，与y轴交于点，直线经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M在下方的抛物线上运动，求的面积最大值；
（3）如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）；
（2）27； （3）存在，点P的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线，进而得到，将直线向下平移个单位，得到直线，使其与抛物线仅有一个交点，此时两直线间距离最大，即当点M在直线与抛物线的交点处时，的面积最大，求出，进而求得直线的解析式为，得到直线与轴的交点G的坐标，最后根据，即可求出的面积最大值；
（3）①过点E作轴，证明，根据点E坐标即可得到点P坐标；②过点E作交轴于点P，证明，得到，再根据坐标的距离公式求出、的长，得到的长，进而得出的长，即可得到点P坐标．
【小问1详解】
设抛物线解析式为，
二次函数的图象经过、、，
，
解得：，
抛物线解析式为
【小问2详解】
解：直线经过点，
，
，
直线，
直线与抛物线交于点E，
联立，
解得：或（舍），
，
为定值，
点M到直线决定的面积，
将直线向下平移个单位，得到直线，使其与抛物线仅有一个交点，此时两直线间距离最大，即当点M在直线与抛物线的交点处时，的面积最大，
由平移的性质可知，直线，
联立，
整理得：，
直线与抛物线仅有一个交点，
解得：，
，
解得：，
当时，，
，此时的面积最大，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
设直线与轴交于点G，
令，则，
解得：
，
，
的面积最大值为27；
【小问3详解】
解：存在，
由（2）可知，直线的解析式为，，
当时，，
，
，
①如图，过点E作轴于点P，
，
，
，
，
；
②如图，过点E作交轴于点P，
，
，
，
，
，，，
，，，
，
，
，
，
综上所述，存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，相似三角形的判定和性质，坐标的距离公式等知识，解题过程注意分类讨论，题目难度较大．
26. （1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长．
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）8
【解析】
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：；
理由如下：连接：，
∵，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，
，
则，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又，，
∴，
又，
∴，
∴.
【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
1. 4 的算术平方根是（ ）
A. 2B. ±2C. 16D. ±16
【答案】A
【解析】
【分析】试题分析：利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2.
故选：A.
2. 下列几何体中，俯视图与主视图完全相同的几何体是（ ）
A. 圆锥B. 球C. 圆柱D. 长方体
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥、球、圆柱、长方体的主视图、俯视图进行判断即可．
【详解】解：A．圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
B．球的俯视图与主视图都是圆，故本选项符合题意；
C．圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D．长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是形状大小不一定相同，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
3. 根据世界卫生组织的统计，截止2022年1月16日，全球新冠确诊病例累计超过32620万，用科学记数法表示这一数据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此求解即可．
【详解】解：32620万．
故选A．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，解题的关键是确定a的值以及n的值．
4. 用科学记数法表示202000为（ ）
A. 202×1000B. 2.02×105C. 2.02×104D. （2.02）5
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法的法则对数值进行表示即可．
【详解】202000＝2.02×105，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握知识点是解题关键．
5. 某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为（ ）
A. 63B. 65C. 66D. 69
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数的定义求解即可；
【详解】解：将原数据排序为：55、63、65、67、69，
所以中位数为：65，
故选：B．
【点睛】本题主要考查中位数的定义，掌握中位数的定义是解题的关键．
6. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查分式的性质，二次根式的性质的综合，掌握分式的性质，二次根式有意义的条件求自变量的取值范围是解题的关键．
根据二次根式的性质，被开方数为非负数，即，根据分式的性质，分母不能为零，即，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，且，
∴，
故选：．
7. 已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式旋转，若，则等于（ ）
A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°
【答案】D
【解析】
【分析】利用对顶角相等及三角形内角和定理，可求出的度数，由直线，利用“两直线平行，内错角相等”可求出结果．
【详解】解：∵，，
∴．
∵直线，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
8. 如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD的周长为（ ）
A. 12B. 13C. 19D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD，通过等边代换计算三角形△BCD的周长即可．
【详解】解：由折叠可知，AD＝CD，
∵AB＝7，BC＝6，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝7+6＝13，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形周长计算，掌握折叠的性质是解题的关键．
9. 若将直线向下平移m个单位长度与双曲线恰好只有一个公共点，则m的值为（ ）
A. 2B. 18C. −2或18D. 2或18
【答案】D
【解析】
【分析】先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的直线解析式，再联立双曲线的解析式，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后根据根的判别式列出等式，求解即可得．
【详解】将直线向下平移m个单位长度得到的直线解析式为
联立
化简得：
由题意得，关于x的一元二次方程只有一个实数根
则其根的判别式
解得或
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数的图象平移规律、一元二次方程的根的判别式等知识点，理解题意，将问题转化为利用一元二次方程的根的判别式求解是解题关键．
10. 如图，矩形纸片ABCD，AD＝4，AB＝3，如果点E在边BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC是直角三角形时，那么BE的长为( )
A. 1.5B. 3
C. 1.5或3D. 有两种情况以上
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况：①当∠EFC＝90°时，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理列式求出AC，设BE＝x，表示出CE，根据翻折变换的性质可得AF＝AB，EF＝BE，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；②当∠CEF＝90°时，判断出四边形ABEF是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE＝AB．
【详解】解：分两种情况：
①当∠EFC＝90°时，如图1，
∵∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，
∴点A、F、C共线，
∵矩形ABCD边AD＝4，
∴BC＝AD＝4，
在Rt△ABC中，，
设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝4﹣x，
由翻折的性质得，AF＝AB＝3，EF＝BE＝x，
∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2，
即x2+22＝(4﹣x)2，
解得x＝1.5，
即BE＝1.5；
②当∠CEF＝90°时，如图2，
由翻折的性质得，∠AEB＝∠AEF＝×90°＝45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE＝AB＝3，
综上所述，BE的长为1.5或3．
故选C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，此类题目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本题难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
11. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( )
A. 3B. 1+C. 1+3D. 1+
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.
【详解】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH= OC=1，CH=，
在Rt△CKH中，CK= =，
∴CQ的最大值为1+，
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
12. 如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（ ）
A ﹣12B. ﹣10C. ﹣9D. ﹣6
【答案】A
【解析】
【分析】连接EC，OA，设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），得到B点坐标，代入反比例函数解析式整理得到mn＝3k，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO=14，整理得到方程14＝﹣k﹣+，求解方程即可.
【详解】解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），
∵AB＝BC，
∴B（，），
∵点B在y＝上，
∴`＝k，
∴k+mn＝4k，
∴mn＝3k，
连接EC，OA，
∵AB＝BC，
∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，
∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，
∴14＝﹣k﹣+，
∴k＝﹣12．
故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，解此题的关键在于准确理解题意，构造适当的辅助线进行解答.
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
注意事项： 1.第Ⅱ卷共5页，用蓝黑钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上；
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上．）
13. 某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费约是实际花费的倍数是_____． （用科学记数法表示，保留2位有效数字）
【答案】
【解析】
【分析】利用预算费用除以实际费用，再用科学记数法表示即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
故答案为：；
【点睛】本题考查有理数的除法，科学记数法及有效数字，解题的关键正确计算有理数的除法．
14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：，
，
，
的取值范围为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
15. 把直线沿y轴向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得平移后的解析式，联立两直线解析式求得交点坐标，根据第二象限点的坐标特征列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：把直线沿y轴向上平移m个单位后得到，
，
解得，
∵交点在第二象限，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，求两直线交点的坐标，第二象限点的坐标特征，解一元一次不等式，理解题意求得交点坐标是解题的关键．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．
【答案】4π
【解析】
【详解】【分析】由将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S阴影=S扇形ABA′+S△ABC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′可得出阴影部分面积．
【详解】∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，AC=2，
∵将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，
∴△ABC≌△A′BC′，
∴∠ABA′=120°=∠CBC′，
∴S阴影=S扇形ABA′+S△ABC﹣S扇形CBC′﹣S△A′BC′
=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′
=
=4π，
故答案为4π．
【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算等，确定出S阴影=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′是解题的关键.
17. 如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当时，；④；其中正确结论是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据的图象在x轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出的值；根据两函数的解析式求出A、B、C的坐标，计算出与的长，即可得到的值．
【详解】∵，
∴，
∴无论x取何值，值总是正数，①正确；
∵抛物线与交于点，
∴，
∴，②正确；
当时，，，
∴当时，，③错误；
当时，，解得或1，
当时，，解得或5，
∴，
即，④正确；
综上正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意利用数形结合进行解答，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．
18. 如图，将△ABC沿着过BC的中点D的直线折叠，使点B落在AC边上的处，称为第一次操作，折痕DE到AC的距离为；还原纸片后，再将△BDE沿着过BD的中点的直线折叠，使点B落在DE边上的处，称为第二次操作，折痕到AC的距离记为；按上述方法不断操作下去…经过第n次操作后得到折痕到AC的距离记为，若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得，从而可得，结合折叠的性质可得，可得，进而判断，得出DE是△ABC的中位线，证得，得到，求出；同理，，……，经过第n次操作后得到的折痕到BC的距离．
【详解】解：如图，连接，由折叠性质可知，，，
又∵D是BC中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，
……
∴经过第n次操作后得到的折痕到BC的距离，
故答案为：．
【点睛】此题考查了折叠的性质以及中位线的性质，解题关键是通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．
三、解答题
19. 计算
①解不等式组：；
②先化简，再求值：，其中．
【答案】①；②，．
【解析】
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将的值代入计算即可．
【详解】①解不等式组：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解为：；
②原式=
=
=，
当时，原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序．
20. 如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．
【答案】（1）y=﹣，y=﹣2x+12（2）S△CDE=140；（3）x≥10，或﹣4≤x＜0
【解析】
【分析】（1）根据三角形相似，可求出点坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
【详解】（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴
∴
∴CD=20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n=xy=﹣80
∴反比例函数解析式为：y=
把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：
解得：
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12
（2）当=﹣2x+12时，解得
x1=10，x2=﹣4
当x=10时，y=﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=
（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象
∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0
【点睛】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点在轴正半轴上，且，求点的坐标；
【答案】（1）一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：
（2）
【解析】
【分析】（1）把点代入反比例函数，求出；再把点代入反比例函数，求出；再把点，点代入一次函数，即可；
（2）点在轴正半轴上，设点，，即，根据点在一次函数且与轴相交，求出点的坐标；进而表示出，根据，求出的值，问题随之得解．
【小问1详解】
∵点在比例函数上，
∴，
∴，
∴；
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴点，
∵点，点经过一次函数，
∴，
解得：，
∴．
∴一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：．
【小问2详解】
如图，点在轴正半轴上，所示：
设点，，即，
∵点在一次函数且与轴相交，
当时，，
∴点，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合知识，待定系数法求解一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图像和性质．
22. 铭润超市用5000元购进一批新品种苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍．
（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？两次共购进多少苹果？
（2）如果超市将该品种苹果按每千克10元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的500千克按定价的六折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
【答案】（1）试销时该品种苹果的进价是每千克5元，两次共购进3000千克苹果；
（2）超市在这两次苹果销售中共盈利12000元．
【解析】
【分析】（1）设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，根据“这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销的2倍”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据总销售额总成本销售盈利，列出算式，即可求解．
【小问1详解】
解：设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，则第二次购进该品种苹果的进价是每千克元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意．
（千克），
答：试销时该品种苹果的进价是每千克5元，两次共购进3000千克苹果；
【小问2详解】
解：（元）．
答：超市在这两次苹果销售中共盈利12000元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
23. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）200、81°；（2）补图见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×=81°，
故答案为200、81°；
（2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为微信；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，，求AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接OC，利用三角形外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得；
（2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB．
【小问1详解】
证明：连接OC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明；第（2）问的关键是证明，．
25. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于和两点，与y轴交于点，直线经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M在下方的抛物线上运动，求的面积最大值；
（3）如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）；
（2）27； （3）存在，点P的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线，进而得到，将直线向下平移个单位，得到直线，使其与抛物线仅有一个交点，此时两直线间距离最大，即当点M在直线与抛物线的交点处时，的面积最大，求出，进而求得直线的解析式为，得到直线与轴的交点G的坐标，最后根据，即可求出的面积最大值；
（3）①过点E作轴，证明，根据点E坐标即可得到点P坐标；②过点E作交轴于点P，证明，得到，再根据坐标的距离公式求出、的长，得到的长，进而得出的长，即可得到点P坐标．
【小问1详解】
设抛物线解析式为，
二次函数的图象经过、、，
，
解得：，
抛物线解析式为
【小问2详解】
解：直线经过点，
，
，
直线，
直线与抛物线交于点E，
联立，
解得：或（舍），
，
为定值，
点M到直线决定的面积，
将直线向下平移个单位，得到直线，使其与抛物线仅有一个交点，此时两直线间距离最大，即当点M在直线与抛物线的交点处时，的面积最大，
由平移的性质可知，直线，
联立，
整理得：，
直线与抛物线仅有一个交点，
解得：，
，
解得：，
当时，，
，此时的面积最大，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
设直线与轴交于点G，
令，则，
解得：
，
，
的面积最大值为27；
【小问3详解】
解：存在，
由（2）可知，直线的解析式为，，
当时，，
，
，
①如图，过点E作轴于点P，
，
，
，
，
；
②如图，过点E作交轴于点P，
，
，
，
，
，，，
，，，
，
，
，
，
综上所述，存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，相似三角形的判定和性质，坐标的距离公式等知识，解题过程注意分类讨论，题目难度较大．
26. （1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长．
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）8
【解析】
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵线段绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：；
理由如下：连接：，
∵，
∴，即，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，
，
则，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又，，
∴，
又，
∴，
∴.
【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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