2024年湖南省邵阳市新邵县小塘镇中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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温馨提示：
1.本试卷包括试题卷和答题卡.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.
2.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号.
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
4.本试卷满分120分，考试时间120分钟.本试卷共三道大题，26个小题.如有缺页，考生须声明.
亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答.祝你成功！
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，可得答案，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数．
【详解】解：的倒数是，
故选：．
2. 火星是太阳系九大行星之一，火星的半径约为3395000米，数3395000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算依次判断即可．
【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查完全平方公式及合并同类项、积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
4. 如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，下面一层有3个小正方形并排放在一起，上面一层最中间有1个小正方形，
即看到的图形为
，
故选B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，画出该组合体的主视图是正确判断的前提．
5. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．
解：，
顶点坐标为，
顶点在第二象限．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ ）
A. 0.905B. 0.90C. 0.9D. 0.8
【答案】C
【解析】
【分析】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案．
【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9，
故选：C．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．
7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于以原点为位似中心的点的坐标关系，点的坐标就是把点的坐标乘以，据此计算即可．
【详解】解：∵点O为位似中心，的位似图形为，位似比为，
而，
∴，即．
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
8. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）

A. 13cmB. 16cmC. 17cmD. 26cm
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．
【详解】解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．
9. 《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为（ ）
A. 1.8升B. 16升C. 18升D. 50升
【答案】C
【解析】
【分析】先进行单位换算，再利用50单位的粟，可换得30单位的粝米的关系，建立方程，求解即可．
【详解】解：由题可知，3斗的粟即为30升的粟，
设其可以换得粝米为x升，
则，
∴，
∴可以换得粝米为18升；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找到相等关系，即“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”，要求学生能将题干的文字内容转化为数学符号的形式，能正确理解题意，找到相等关系，列出方程．
10. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点为平面内一动点，，
∴点在以点为圆心，为半径的上，
在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴轴，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
同理可得，，
∴即，
解得，
∴，
∴当线段取最大值时，点的坐标是，
故选D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数．
12. 要使有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义条件、解一元一次不等式等知识，先根据二次根式有意义的条件得到，解一元一次不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：要使有意义，
，解得，
故答案为：．
13. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】
【分析】将看作，应用平方差公式，即可求解，
本题考查了公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握平方差公式．
【详解】解：
．
14. 如图，、、、为一个正多边形顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为__．
【答案】九
【解析】
【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝40°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
【详解】如图，设正多边形的外接圆为，连接，，
，
，
而，
这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．
15. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用根与系数的关系，，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题关键．根与系数的关系：和是一元二次方程的两根时，．
16. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴该菱形的面积为，
故答案为：．
17. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________．

【答案】
【解析】
【分析】取中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得．
【详解】解：如图，取的中点，连接，

，
，
又点是的中点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．
18. 如图，平行于x轴直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为___．
【答案】8
【解析】
【分析】△ABC的面积＝•AB•yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
【详解】解：设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m），
则：△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝4，
则k1﹣k2＝8．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．
三、解答题（本大题共8个小题，第19-25题每题8分，第26题10分，共66分；解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2024
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算小括号内的分式加法，再把除法变成乘法，然后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的格点上．
（1）画出线段绕点顺时针旋转后得到的线段；
（2）在（1）的运动过程中，请计算出点A绕点O旋转到点B所经过的路径长（结果保留．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查旋转作图，勾股定理，弧长计算公式．
（1）根据旋转变换的定义分别作图可得；
（2）先运用勾股定理求出旋转半径的长，根据旋转角为，即弧长对应圆心角为，利用弧长公式计算可得．
【小问1详解】
如图，线段为所求．
【小问2详解】
由图知，，
∴．
答：点A绕点O旋转到点B所经过的路径长为．
22. 中雅培粹学校根据《南充市中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了“合唱，舞蹈，科创，书法，美术，课本剧，棋类”等课程供学生自由选择．半学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成如图所示的两幅不完整统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：

（1）将条形统计图补充完整；
（2）表示等级D的扇形的圆心角是____________度；
（3）由于学校条件限制，“课本剧”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：“将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．”请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．
【答案】（1）见解析 （2）60
（3）不公平，见解析
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．
（1）由A等级人数及其所占百分比求出总人数，总人数减去A、C、D等级人数求出B等级人数，从而补全图形；
（2）用乘以等级C所占的百分比即可得出答案；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况数，然后根据概率公式求出名额给小华和小亮的概率，最后进行比较，即可得出答案．
【小问1详解】
根据题意，得（人），
B类人数为：（人），
补图如下：

．
【小问2详解】
根据题意，得，
故答案为：60．
【小问3详解】
根据题意，画树状图如下：

∴一共有16种等可能结果，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有6种．
故，．
∵，
∴这个规则对双方不公平．
23. 如图，在中，为的中点，为的中点．过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为40，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用平行线的性质可得，对顶角相等得到，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，再根据点是的中点，可得，进而可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵D是的中点，
∴
，
∴．
24. 有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【答案】（1）1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人；（2）2160.
【解析】
【分析】（1）根据题意设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为人、人，再依据2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人，便可列出方程组.
（1）根据题意设租用甲种客车辆，故乙种客车有6-x,因此可得不等式组，计算可得x的取值，再依据费用最少，可得x的取值，便可计算出最少费用.
【详解】解：（1）设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为人，人，
，
解得：，
答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人；
（2）设租用甲种客车辆，依题意有：，
解得：，
因为取整数，
所以或5，
当时，租车费用最低，为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，再结合考查了不等式组的计算，难度系数较高,关键在于未知数的设.
25. 如图，海中有一小岛，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上．
（1）求的度数；
（2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
【答案】（1）
（2）渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，方位角的计算，等角对等边，三角形内角和定理等等：
（1）过点作于点，由方位角的定义可得，，据此可得答案；
（2）先求出得到海里，再解直角三角形求出的长即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作于点，
由题意得，，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴海里，
∵中，，
∴，
即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，和点，直线是对称轴．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线右侧，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．若，且不经过点，求长的取值范围．
【答案】（1）
（2）存在，或
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，圆周角定理，勾股定理，是解题的关键．
（1）根据点和点，即可得出；
（2）以为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点记为点D，则此时A，B，C三点共圆，且圆心为点D，求出半径，，因此点C到x轴距离为，即可得出点C的坐标；
（3）易得对称轴为．设，则，连接，则，根据勾股定理得出，过点P作轴，垂足为H，则，则，求出．
先求出经过点的两种情况：①当点M在点N的上方，；②当点M在点N的下方，，求出或，则当不经过点时，PM长的取值范围为：或或．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点，和点，
∴．
【小问2详解】
解：存在；
以为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点记为点D，连接，令直线l与x轴相交于点E，
∴
此时A，B，C三点共圆，且圆心为点D，
∵，，
∴，
∴半径，
∵直线是对称轴，为等腰直角三角形，
∴
因此点C到x轴距离为，
∴或．
【小问3详解】
解：∵，
∴对称轴为．
设，
∵，
∴，
连接，则，
∴，
过点P作轴，垂足为H，
则，
∴，
∵，
∴．
假设经过点，则有两种情况：
①如图，当点M在点N的上方，
∴，
∴，
解得，，
∵，
∴．
②如图，当点M在点N的下方，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
综上所述，或，
∴当不经过点时，PM长的取值范围为：或或．
移植的棵数a
100
300
600
1000
7000
15000
成活的棵数b
84
279
505
847
6337
13581
成活的频率
0.84
093
0.842
0.847
0.905
0.905