银川市第六中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份银川市第六中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A.和B.和
C.和D.和
2．已知向量，，则等于( )
A.B.C.D.
3．已知，，点P是线段上的点，且，则点P的坐标是( )
A.B.C.D.
4．海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B岛与C岛间的距离为( )
A.海里B.海里C.海里D.海里
5．在中，角A的角平分线交于点D，且，，则等于( )
A.B.
C.D.
6．定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于( )
A.8B.C.8或D.6
7．在正方形ABCD中，M是BC的中点.若，则的值为( )
A.B.C.D.2
8．如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若边上的中线，则的长为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在下列结论中，正确的结论为( )
A.且是的必要不充分条件
B.且是的既不充分也不必要条件
C.与方向相同且是的充要条件
D.与方向相反或是的充分不必要条件
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列各组条件中使得有唯一解的是( )
A.，，B.，，
C.，，D.，，
11．已知M为的重心，D为的中点，则下列等式成立的是( )
A.B.
C.D.
12．已知向量，，且向量满足，则( )
A.B.
C.向量与的夹角为D.向量在向量上的投影向量的模为
三、填空题
13．已知向量，，若，则_____________.
14．已知向量，的夹角为，，，则______.
15．在中，已知，，，则______.
16．设四边形为平行四边形，，.若点M，N满足，，则=______.
四、解答题
17．设，是不共线的两个非零向量.
（1）若，，，求证：A，B，C三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值.
18．已知，，，.
（1）求实数n的值；
（2）若，求实数m的值.
19．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求A的大小；
（2）若，，求b，c的值.
20．如图，在中，，，点D在线段上，且.求：
（1）的长；
（2）的余弦值.
21．如图所示，在中，，，，.
（1）试用向量，来表示，；
（2）若交于点O，求及的值.
22．为了营造“全民健身”的休闲氛围，银川市政府计划将某三角形健身场所扩建为凸四边形，原来的健身区域近似为等腰直角三角形，施工图纸如下图所示（长度已按一定比例尺进行缩小），你能否运用所学知识解决下面两个问题.
（1）若与的长度和为12，当时，求扩建的区域的面积最大值；
（2）若最终敲定方案为，，求扩建后四边形面积S的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：，是平面内所有向量的一组基底，所以，不共线；
所以和不共线，和不共线，和不共线；
所以选项A，C，D都可以作为基底；
B中，，
所以和共线，不能作为基底.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为，，所以，
故选：A.
3．答案：D
解析：设点，，，
所以解得故选D.
4．答案：C
解析：根据题意，可得如图，
在中，，，，.
由正弦定理可得，即，(海里).
故选：C.
5．答案：D
解析：因为是的角平分线，所以，
所以由正弦定理得，，
又因为，，
所以，即，所以，即.
故选：D.
6．答案：A
解析：，，
又，，
.
故选：A.
7．答案：B
解析：在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
令，则，，，，，，，
，因，
于是得，解得，，，
所以的值为.
故选：B.
8．答案：A
解析：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
相加得，又，解得，.
故选：A.
9．答案：ACD
解析：因为且，所以或，
若，则与方向相同且，所以且是的必要不充分条件，
故选项A正确，选项B错误；
对于选项C，因为与方向相同且，所以，
反之，若，则与方向相同且，
所以与方向相同且是的充要条件，正确；
对于选项D，若与方向相反或，则，若，则与方向不同或，
即由得不到与方向相反或，
所以与方向相反或是的充分不必要条件，正确.
故选：ACD.
10．答案：BCD
解析：根据题意，在A条件下，由正弦定理，因为，所以角B在和上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于π，所以A不满足；
在B条件下，根据余弦定理可得，即，解得或（舍），所以只有1个解，满足题意；
在C条件下，条件为边角边，根据余弦定理可以求得唯一的c边，所以有唯一解；
在D条件下，由正弦定理，因为，所以角A在和上各有一个解，当解在时，角B与角A的和大于π，所以只有1个解，满足题意.
故选：BCD.
11．答案：BD
解析：如图，M为的重心，则，A错误，B正确；
，C错误；
由得，D正确.
故选：BD.
12．答案：AC
解析：由题知，因为，所以，
解得或，又因为，所以，所以，
对于A选项，，故A选项正确；
对于B选项，，，由于，所以与不平行，故B选项错误；
对于C选项，，，所以，又，所以，故C选项正确；
对于D选项，向量在方向上的投影向量为，所以向量在向量上的投影向量的模为，故D选项错误.
故选：AC.
13．答案：/0.5
解析：，，
，，
，
，
，
.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为向量，的夹角为，，，
所以，
所以.
故答案为：.
15．答案：3
解析：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
结合余弦定理，可得，即，
解得或（舍去），所以.
故答案为：3.
16．答案：9
解析：由题，
.
故答案为9.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，
而
所以，所以与共线，且有公共点B，
所以A，B，C三点共线.
（2）因为与共线，
所以存在实数，使得，
因为与不共线，所以，解得，所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1），，，
，
，
，
.
（2）由（1）得，，，
，所以，，
19．答案：（1）
（2），
解析：（1）因为，所以，
由正弦定理得，
所以，
显然，所以有，得，
因为角A为内角，所以.
（2），由正弦定理可知，
由（1）可知，因为，由余弦定理可得，
所以有，解得，.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）设，，
则，
所以，
故.
（2）设，则为向量与的夹角.
因为，
所以.
21．答案：（1），
（2），
解析：（1）因为，，，，
可得，
.
（2）因为A、O、E三点共线，所以存在实数，使得，
因为B、O、D三点共线，所以存在实数，使得，所以，
可得，
所以，因为，不共线，则，解得.
所以，，所以，.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）设，，则，所以的面积，
当且仅当即时，等号成立，
所以当时，扩建的区域的面积有最大值为.
（2）设，由题意，，，，，设，
在中，由余弦定理知，，
所以，即，
所以四边形面积
，
因为，所以，故当，即时，取到最大值为1，即，
所以四边形面积S的最大值为.