2022-2023学年宁夏回族自治区银川市第六中学高二下学期第一次月考（3月）数学（理）试题含答案

2022-2023学年宁夏回族自治区银川市第六中学高二下学期第一次月考（3月）数学（理）试题

一、单选题

1．方程表示的曲线经过的一点是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】当时可得，可得答案.

【详解】当时可得

所以方程表示的曲线经过的一点是，

且其它点都不满足方程，

故选：C

2．椭圆的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标公式，代入计算即可得到结果.

【详解】因为椭圆，则，

则焦点坐标为

故选:B.

3．下列四个椭圆中，形状最扁的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，结合选项中的椭圆的方程，求得的关系，即可求解.

【详解】由，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足，

因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，

所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁．

故选：A.

4．过椭圆的左焦点作直线交椭圆于两点，是椭圆右焦点，则的周长为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：椭圆的，的周长为

【解析】椭圆定义

5．已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为A，若为直角三角形，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由椭圆的对称性以及题中条件可得，再根据即可求出离心率.

【详解】椭圆的上顶点为，

左、右两焦点分别为，，

若为直角三角形，

由椭圆的对称性知：，

又，

可得：，

.

故选：D.

6．已知方程表示椭圆，则的取值范围为（    ）

A．且 B．且

C．  D．

【答案】B

【分析】根据椭圆的标准方程可得，即得.

【详解】因为方程表示椭圆，

所以，

解得且.

故选：B.

7．已知双曲线的渐近线与圆相切，则（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】C

【分析】先求出双曲线的渐近线方程，根据圆心到直线的距离为半径可得答案.

【详解】双曲线的渐近线方程为

圆的圆心为，半径为

由题意可得

故选：C

8．已知双曲线的右焦点为，过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由双曲线方程可得其渐近线为，再求得直线的斜率，由平行得到斜率相等即可求得，再由焦点坐标得，从而求得，则该双曲线的方程可求.

【详解】因为双曲线，所以它的渐近线为，

又因为，，所以直线的斜率为，

因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，故，

又因为双曲线的右焦点为，所以，故，

所以该双曲线的方程为.

故选：A.

9．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，虚轴的一个端点为B，若，则双曲线C的离心率（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的几何性质可求出结果.

【详解】依题意可得，，

在直角中，有，得，得，

所以，所以，所以.

故选：C.

10．设，则等于（    ）

A． B． C． D．不存在

【答案】C

【分析】由题，分段求积分即可

【详解】,

故选：C

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在C的右支上，直线与C的左支交于点N，若，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得，从而可求出双曲线的渐近线方程.

【详解】因为双曲线的左、右焦点分别为，，点M在C的右支上，

所以，

因为，，，

所以，所以，

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：D

12．若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可推得在上有解，分离参数，得在上有解，由此构造函数，判断其单调性，即可求得答案.

【详解】由题可知在上有解，

即在上有解，

设 ，

当时，，递减，当时，，递增，

故，，

所以，解得，所以的取值范围是，

故选：A

二、填空题

13．古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆，则该椭圆的面积为        ．

【答案】

【分析】根据椭圆方程求出、，依题意椭圆的面积，从而计算可得.

【详解】解：对于椭圆，则、，

所以椭圆的面积；

故答案为：

14．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为           .

【答案】

【分析】先求出双曲线的渐近线，结合题干条件得到方程，求出，进而得到焦距.

【详解】双曲线的渐近线为，由题干条件可知：，

所以，所以的焦距为.

故答案为：

15．由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为      ．

【答案】

【分析】利用定积分计算出所围成的图形的面积.

【详解】，

所以所围成的图形的面积为

.

故答案为：

16．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于       .

【答案】

【分析】先利用定义求出的各边，再求出，即可求出的面积.

【详解】由，且，

在中，∠

.

故答案为：

三、解答题

17．一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：m/s）紧急刹车至停止．求：

（I）从开始紧急刹车到火车完全停止所经过的时间；

（Ⅱ）紧急刹车后火车运行的路程．

【答案】（Ⅰ）经过的时间为10s;（Ⅱ）紧急刹车后火车运行的路程为55ln11米．

【分析】（Ⅰ）令，解出t的值即可；

（Ⅱ）紧急刹车后火车运行的路程就是t从0到10对应函数的定积分，结合定积分的运算性质计算即可.

【详解】（Ⅰ）当火车的速度为0时，火车完全停止，

即，整理，得，

由t>0，解得t=10，

所以从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为10s；

（Ⅱ）根据定积分的物理意义，紧急刹车后火车运行的路程

就是t从0到10对应函数的定积分，

所以

即紧急刹车后火车运行的路程为55ln11米．

18．（1）求经过点且焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程﹔

（2）求与双曲线有公共的渐近线，且过点的双曲线的标准方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设椭圆方程为且，将，的坐标代入，解方程可得，，即可得到所求椭圆的方程；

（2）设所求双曲线方程为，再将点代入所求双曲线方程，可得，即可得到所求双曲线方程．

【详解】解:（1）依题意，设椭圆的方程为且)，

因为椭圆过两点，

所以

解得

因此，该椭圆的标准方程为.

设所求双曲线的方程为，

将点代入双曲线方程得，

解得，

因此，所求双曲线的标准方程为.

19．已知函数，且

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数在区间上的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，求出的值，然后根据导数的几何意义即可求解；

（2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数在区间上的单调性，从而即可求解.

【详解】（1）解：由题意，，

因为，所以，解得，

所以，，

因为，，

所以曲线在点处的切线方程为，即；

（2）解：因为，，

所以时，，时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即函数在区间上的最小值为.

20．已知曲线是动点到两个定点、距离之比为的点的轨迹.

(1)求曲线的方程；

(2)求过点且与曲线相切的直线方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设，由结合两点间距离公式可求；

（2）可得斜率不存在时满足，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可；

【详解】（1）在给定的坐标系里，设点，

由及两点间的距离公式，得， ①

将①式两边平方整理得：

即所求曲线方程为：．

（2）由（1）得，其圆心为，半径为．

（i）)当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，显然与圆相切；

（ii）当过点的直线的斜率存在时，设其方程为，

即，

由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，得：

，解得，

此时直线方程为.

所以过点与曲线相切的直线方程为或．

21．已知函数

(1)若函数存在两个极值点，求的取值范围；

(2)若在恒成立，求的最小值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）函数存在两个极值点，等价于有两个不同的解，利用判别式大于零求解即可；

（2）在恒成立，即，转化为求的最大值，利用导数即可得答案.

【详解】（1）因为，

所以

因为函数存在两个极值点，

所以有两个不同的解，

所以，解得或

（2）在恒成立，即恒成立，

令，则

因为，

设，

在上都递减，

所以在上递减，

所以，当时，，此时，在上递增，

当时，，此时，在上递减，

所以，

所以， 即

22．已知椭圆的左右焦点分别是，，点P在椭圆C上，以为直径的圆过点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，是否存在以点O为圆心的定圆与AB相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）对于圆令得、、的坐标，且，由求出可得椭圆的方程；

（2）设，，当AB斜率存在时，直线AB的方程为与椭圆方程联立，由韦达定理代入的坐标运算得，再代入原点到AB的距离为；当AB斜率不存在时由题意知求出圆心到AB的距离可得答案

【详解】（1）对于，令，得，

所以，，，

圆心为，因为，所以，

所以，所以，

所以椭圆的方程为：；

（2）设，，

当AB斜率存在时，直线AB的方程为，

，消去得，

，

，

，，

因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点，所以，

，

，

，

化简得：，

原点到AB的距离为，

当AB斜率不存在时由题意知：，，

圆心到AB的距离，

综上所述，存在以O为圆心的定圆与直线AB相切，定圆的方程为.