甘肃省武威市天祝一中、民勤一中2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份甘肃省武威市天祝一中、民勤一中2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5．本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章~第二章2.3．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间四边形中，等于（ ）
A B. C. D.
2. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数在处的导数为3，则（ ）
A. 3B. C. 6D.
5. 为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数图象连续的函数在区间上（ ）
A. 一定存在极小值B. 一定存在极大值C. 一定存在最大值D. 极小值一定比极大值小
7. 已知，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ）
A. B. C. D.
10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 与夹角的余弦值为
D. 若，则共面
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 极值点为
B. 的最小值为
C. 有两个零点
D. 直线是曲线的一条切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______.
13 已知，则______．
14. 已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出，，，，五点的坐标；
（2）求．
16. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最值．
17. 如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V．
（1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？
18. 已知函数．
（1）若，证明：：
（2）若，都有，求实数的取值范围．
19. 已知函数．
（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若两个极值点分别为，证明:．2023~2024第二学期第一次月考试卷
高二数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5．本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章~第二章2.3．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间四边形中，等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.
【详解】.
故选：C
2. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数值直接构造方程求解即可.
【详解】，，解得：.
故选：A.
3. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称的性质即可求解.
【详解】点关于xOz平面的对称点是,
故选：B
4. 已知函数在处的导数为3，则（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.
【详解】因为函数在处的导数为3，
所以，
所以．
故选：B.
5. 为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值.
【详解】空间向量共面基本定理的推论：，且、、不共线，
若、、、四点共面，则，
因为空间任意一点，若，且、、、四点共面，
所以，，解得.
故选：C.
6. 函数图象连续的函数在区间上（ ）
A. 一定存在极小值B. 一定存在极大值C. 一定存在最大值D. 极小值一定比极大值小
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数最值和极值的定义即可得解.
【详解】由函数的最值与极值的概念可知在上一定存在最大值．
故选：C．
7. 已知，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解.
【详解】，
故在上的投影向量为.
故选：D
8. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意的值域包含于的值域，再分别求导分析函数的单调性与最值，进而根据值域区间端点满足的不等式列式求解即可.
【详解】，，令，解得，
令，解得，所以上单调递减，在上单调递增，
又，所以的值域为.
当时，，所以在上单调递增，
又，所以的值域为，
又，使得，所以，解得，
即实数的取值范围是．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案.
【详解】因为的定义域为R，
，
令得：或，
所以在区间，上单调递增．
故选：AC．
10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 与夹角的余弦值为
D. 若，则共面
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可判断ABD；根据空间向量数量积的定义计算即可判断C.
【详解】A：，又，故A错误；
B：，则，故B正确；
C：因为，所以，
所以，故C正确；
D：因为，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的极值点为
B. 的最小值为
C. 有两个零点
D. 直线是曲线的一条切线
【答案】BD
【解析】
【分析】利用导数与函数的极值（最值）的关系可判断AB；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断C；利用导数的几何意义求得在处的切线方程，从而得以判断.
【详解】因为，所以，
令，得；令，得；
所以在上单调递减；在上单调递增；
所以在处取得唯一极小值，也是的最小值，
所以的极值点为，，故A错误，B正确；
因为，结合在上的单调性，可知是在上的唯一零点；
当时，恒成立，故恒成立，所以在上没有零点；
综上：只有一个零点，故C错误；
因为，，
所以在处的切线方程为，即，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______.
【答案】##
【解析】
【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解．
【详解】因为，
所以，
，
故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为.
故答案为：.
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可.
【详解】由，
有．
故答案为：
14. 已知函数，若成立，则实数t的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由函数解析式可知函数是奇函数，利用导数可判断函数在上单调递增，利用函数单调性可知等价于，解出不等式即可求得实数t的取值范围.
【详解】由题得函数的定义域为，
因为，所以函数是奇函数．
又恒成立，所以函数在上单调递增；
不等式等价于，
所以，即，解得．
所以实数t的取值范围为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出，，，，五点的坐标；
（2）求．
【答案】（1），，，，
（2）
【解析】
【分析】(1)根据点的位置写出各点的坐标；
(2)先求向量的坐标，再结合向量的坐标运算公式求解.
【小问1详解】
由题可知，，，，，
【小问2详解】
由（1）可知，，，
则，
则.
16. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最值．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解；
（2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
由题意可知，，，，
所以，解得，，，
所以函数的解析式为，经检验适合题意，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
令，则，解得，或，
当时，； 当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取的极大值为，
当时，取得极小值，
又，，
所以，．
17. 如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V．
（1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？
【答案】（1），定义域为；
（2）当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理及圆的周长公式，结合圆柱的体积公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及导数法求函数的最值的步骤即可求解
【小问1详解】
在中，
因为，所以，
设圆柱的底面半径为r，则，即，
所以，定义域为
【小问2详解】
由（1）得，，
，
令，则，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是
18. 已知函数．
（1）若，证明：：
（2）若，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由导数判断单调性后求最小值证明，
（2）转化为在上单调递增，分类讨论单调性后求解．
【小问1详解】
证明：若，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故；
【小问2详解】
不妨设，所以，即，
所以函数在上单调递增，
令在上恒成立，
令．
当时，在上恒成立，又，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，此种情况无解，
当时，在上单调递增，，
在上恒成立，
综上所述，的取值范围为．
19. 已知函数．
（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若的两个极值点分别为，证明:．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意导函数在上恰有两个不同的解，再根据二次函数的区间端点值，对称轴与判别式列式求解即可；
（2）根据题意可得是方程的两个不同的根，所以再代入化简，进而构造函数，再求导分析的单调性与最值，进而可证明不等式.
【小问1详解】
在上恰有两个不同的解，
令，所以
解得，即实数的取值范围是；
【小问2详解】
证明：由（1）知是方程的两个不同的根，所以
所以
，
令，
令在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以．