2022-2023学年江苏省泰州市靖江外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省泰州市靖江外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”，“芒种”，“白露”，“大雪”，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列式子是分式的是( )
A. 1πB. b2C. 12aD. 2a2b5
3.防疫指挥部门对某校进行核酸抽检，从全校师生中抽取了100名师生对其核酸检测，在此问题中数目100是( )
A. 样本B. 样本容量C. 总体D. 个体
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是
( )
A. 2,−5B. −2,5C. −2,−5D. 2,5
5.下列事件：①三条线段能组成一个三角形；②太阳从东方升起；③a是实数，a<0；④购买一张大乐透彩票，中大奖500万．其中必然事件是
．( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
6.如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF= 2，AB=3，点M、N分别是线段BD和AB的中点，则MN的长为
( )
A. 32 2B. 32C. 344D. 172
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.用反证法证明“ 2是无理数”时，第一步应该假设______．
8.已知−3,y1，(3,y2)都在函数y=x+1图象上，则y1,y2的大小关系为________(用“<”连接)．
9.如表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为________．
10.如图，函数y=2x和y=ax+9的图象相交于点Am,6，则不等式ax+9>2x的解集是________．
11.在平面直角坐标系xOy中，把点Pa−1,5向左平移3个单位得到点Q2b,5，则a−2b+3的值为______．
12.如图，▱ABCD的面积为4，点P在对角线AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE//BC，PF//CD，连接EF，图中阴影部分的面积为________．
13.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE=DC，若∠EDO=15°，则∠DEC=______°.
14.如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向(图中箭头方向)标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号)，如点A的坐标可表示为1,2,5，点C的坐标可表示为2,4,2，按此方法，则点B的坐标为________．
15.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为9和1，则图1中菱形的面积为________．
16.已知四个点A4,0、B0,3、C4a,−3a+1、D能组成平行四边形，则CD的最小值为_____．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.(1)计算：−12−2+1− 3−(π−3.14)0 (2)化简：(2x−1)2+(x+6)(x−6)
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
两种品牌方便面销售增长率折线统计图如图：

(1)BB牌方便面的销售量比AA牌多吗？为什么？你认为要做出这样的推断还需要什么信息？
(2)从折线统计图中你能获得哪些信息？
19.(本小题8分)
某校体育设施向社会免费开放，对一周内到校运动健身的市民人数进行了统计，并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：
(1)一周内到校运动健身的市民总人数为多少？
(2)补全条形统计图与扇形统计图；
(3)为了给运动健身的市民提供更多的便利，你认为学校可以在哪些运动项目的场地加大投入？请结合数据说明理由．
20.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线上两点，请从①AF=CE；②∠CDF=∠ABE这2个条件中，选择其中1个作为条件来证明DF=BE.你选择的条件是：_______(写序号)，并写出证明过程．
21.(本小题8分)
如图，通过旋转▵ABC可以使其与▵DEF重合
(1)仅用无刻度直尺确定旋转中心M(保留作图痕迹)，并写出旋转▵ABC，使其与▵DEF重合的过程．
(2)若F、A的坐标分别为−3,2，−4,7，则旋转中心的坐标为_______
22.(本小题8分)
《九章算术》中记载，浮箭漏(图①)出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
(实验观察)实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：

(1)(探索发现)：
若以供水时间x为横轴，箭尺读数y为纵轴，建立平面直角坐标系，描出以表格中数据为坐标的各点，试判断这些点是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)(结论应用)应用上述发现的规律估算：供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
(3)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？
23.(本小题8分)
如图1，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC=6，BD=10．

(1)试判断四边形A1B1C1D1的形状，并证明你的结论；
(2)如图2，依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中点A3，B3，C3，D3……以此类推，取An−1Bn−1，Bn−1Cn−1，Cn−1Dn−1，Dn−1An−1的中点An，Bn，Cn，Dn，根据信息填空：
①四边形A1B1C1D1的面积是__________；
②若四边形AnBnCnDn的面积为1516，则n=________；
③试用n表示四边形AnBnCnDn的面积___________．
24.(本小题8分)
如图，Rt▵CEF中，∠C=90∘，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足．

(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若AB=a(a为常数)，求BE+aDF+a的值．
25.(本小题8分)
折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．
实践操作：将矩形ABCD沿对角线AC翻折，使点D落ABCD所在平面内，边BC和AD′相交于点E
解决问题：
(1)如图1，①求证▵ABE≌▵CD′E②连接BD′，判断BD′和AC的位置关系，并说明理由
(2)如图2，在矩形ABCD中，若AB=3 3，点F是对角线AC上一动点，∠ACB=30∘，连接EF，作点C关于直线EF的对称点P，直线PE交AC于Q，当▵AEQ是直角三角形时，直接写出CF的长．
26.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系中，已知点A0,a在y轴正半轴上，点B0,b，点Cc,0在x轴正半轴上，且a2−2ab+b2−c2=0．

(1)如图1，求证：AB=OC；
(2)如图2，当a=3,b=1时，过点B的直线与AC成45∘夹角，试求该直线与AC的交点的横坐标；
(3)如图3，当b<0时，点D在OC的延长线上，且CD=OB，连接AD，射线BC交AD于点E.当点B在y轴负半轴上运动时，∠BED的度数是否为定值？如果是，请求出∠BED的度数；如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，根据定义解题即可．
【详解】A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】【分析】利用分式定义，分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，进行解答即可．
【详解】解：A、1π是单项式，是整式，故 A不符合题意；
B、b2是单项式，是整式，故 B不符合题意；
C、12a是分式，故 C符合题意；
D、2a2b5是单项式，是整式，故 D不符合题意．
故选：C．
本题主要考查了分式的定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
3.【答案】B
【解析】【分析】样本容量则是指样本中个体的数目，根据定义即可判断．
【详解】解：防疫指挥部门对某校进行核酸抽检，从全校师生中抽取了100名师生对其核酸检测，在此问题中数目100是样本容量，故B正确．
故选：B．
本题主要考查了样本容量的定义，关键是明确具体问题中的总体、个体、样本、样本容量，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
4.【答案】A
【解析】略
5.【答案】B
【解析】【分析】根据必然事件的定义，即可求解．
【详解】解：①三条线段能组成一个三角形，是随机事件；
②太阳从东方升起，是必然事件；
③a是实数，a<0，是不可能事件；
④购买一张大乐透彩票，中大奖500万，是随机事件；
故选：B
本题主要考查的是必然事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】根据正方形的性质求得DG=1，AG=4，根据勾股定理求得AD= 17，再根据三角形的中位线定理即可求解．
【详解】解：连接AD，DF，DF交直线l于点G，
∵正方形DEFO中，EF= 2，
∴DG=GF=12DF= 22EF=1，OE⊥DF，
∵正方形ABCO的边长AB=3，
在Rt▵AGD中，DG=1，AG=4，
∴AD= 12+42= 17，
∵点M、N分别是线段BD和AB的中点，
∴MN是△BDA的中位线，
∴MN=12AD= 172，
故选：D．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】 2不是无理数，是有理数
【解析】【分析】利用反证法应先假设所证的结论错误，命题的反面正确，据此即可解答．
【详解】解：第一步应该假设： 2不是无理数，是有理数．
故答案为： 2不是无理数，是有理数．
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
8.【答案】y1【解析】【分析】把各点的横坐标代入函数解析式求出函数值，即可得解．
【详解】解：x=−3时，y1=−3+1=−2，
x=3时，y2=3+1=4，
所以，y1故答案为：y1此题主要考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特点，掌握一次函数的性质是关键．
9.【答案】0.61
【解析】【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.61附近，所以可估计“钉尖不着地”的概率为0.61．
故答案为：0.61
本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
10.【答案】x<3
【解析】【分析】先将点Am,6代入y=2x，求出m的值，再根据一次函数的图象即可确定不等式的解集．
【详解】解：将点Am,6代入y=2x，
得2m=6，
解得m=3，
∴点A坐标为3,6，
根据图象，可知不等式ax+9>2x的解集为x<3，
故答案为：x<3．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象上点的坐标特征是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得出答案．
【详解】∵把点Pa−1,5向左平移3个单位得到点Q2b,5，
∴a−1−3=2b．
∴a−2b=4．
∴a−2b+3=4+3=7．
故答案是7．
本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的坐标规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，熟知点的坐标平移规律是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】【分析】由PE//BC，PF//CD可得四边形AEPF是平行四边形，故S▵AEF=S▵AFP，进一步得到S阴影=S▵ACD=12S▱ABCD=2．
【详解】∵PE//BC，PF//CD
∴四边形AEPF是平行四边形
∴S▵AEF=S▵APF=12S▱AEPF
∵▱ABCD的面积为4
∴S▵ACD=12S▱ABCD=12×4=2
∴S阴影=S▵AEF+S四边形CDFP=S▵APF+S四边形CDFP=S▵ACD=2
故答案为：2
本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，这两个三角形的面积相等．
13.【答案】55
【解析】【分析】设∠DEC=x，由DE=DC可得∠DCE=x，根据四边形ABCD为平行四边形，AC、BD为对角线，则∠ODC=∠DCE=x，进而得到∠DOE=∠OCD+∠ODC=2x，再有∠EDO=15°，△DOE内角和为180°，建立等式解x即可．
【详解】解：设∠DEC=x，
∵DE=DC，
∴∠DCE=x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ODC=∠DCE=x，
∴∠DOE=∠OCD+∠ODC=2x，
∵△DOE内角和为180°，
∴2x+x+15∘=180∘，
解得：x=55∘，
即∠DEC=55∘，
故答案为：55．
本题为三角形和四边形综合，主要考查矩形四边形对角线互相平分，等腰三角形等边对等角，三角形外角等于不相邻两内角之和等知识点．
14.【答案】4,3,1
【解析】【分析】根据点A的坐标可表示为1,2,5，点C的坐标可表示为2,4,2得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为横、上，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【详解】解：根据题意得，点B的坐标可表示为4,3,1，
故答案为：4,3,1．
本题考查新定义，解题的关键是理解题目中新定义的坐标系中点坐标的表示方法．
15.【答案】8
【解析】【分析】设菱形较长对角线长为2a，较短对角线长为2b，根据两种拼图得到等式，计算得出2ab的值，后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可．
【详解】解：设菱形较长对角线长为 2a，较短对角线长为2b，
由图2得a2+b2=9，
由图3得a−b=1，即a−b2=1，
∴a2+b2−2ab=1，
∴2ab=a2+b2−1=8，
所以菱形的面积为：12×2a×2b=2ab=8，
故答案为：8．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16.【答案】3.2
【解析】【分析】分两种情况：CD是▱ABCD的一条边或对角线，当CD是▱ABCD的一条边时，CD=AB=5；当CD是▱ABCD的对角线时，设Dm,n，利用平行四边形的性质和中点坐标公式可得4a+m2=4+02−3a+1+n2=0+32，解方程组求出D的坐标，然后利用两点间距离公式求出CD2=100x−0.262+10.24，利用偶数次幂的非负性可求CD2的最小值，即可解决问题．
【详解】解：当CD是▱ABCD的一条边时，CD=AB，
∵A4,0、B0,3，
∵OA=4，OB=3，
∴AB= OB2+OA2=5，
∴CD=AB=5；
当CD是▱ABCD的对角线时，
设Dm,n，
∵C4a,−3a+1，
∴4a+m2=4+02−3a+1+n2=0+32,
解得m=4−4an=3a+2,
∴D4−4a,3a+2，
∴CD2=4a−4+4a2+−3a+1−3a−22
=100a2−52a+17
=100x−0.262+10.24，
∵x−0.262≥0，
∴100x−0.262+10.24≥10.24，
∴当x=0.26时，CD2最小，最小值为10.24，
∴CD的最小值是 10.24=3.2．
故答案为：3.2．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，中点坐标公式，两点间距离公式等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
17.【答案】解：(1)−12−2+1− 3−(π−3.14)0
=1−122+ 3−1−1
=4+ 3−1−1
=2+ 3；
(2)(2x−1)2+(x+6)(x−6)
=4x2−4x+1+x2−36
=4x2−4x+1+x2−36
=5x2−4x−35．

【解析】【分析】(1)根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，绝对值的意义进行计算即可；
(2)根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
本题主要考查了实数混合运算，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，绝对值的意义，完全平方公式和平方差公式，准确计算．
18.【答案】【小问1详解】
从增长率的折线图上看不出两个品牌销售量的大小．因为根据增长率无法判断产品的数量．
要知道这样的推出，必须已知两个品牌2000年的销售量．
【小问2详解】
从折线图上可以得出：BB产品每年的增长率比AA产品的增长率大．各个产品的每年的增长率也是逐年增加．

【解析】【分析】(1)根据增长率的意义，折线图中的信息判断即可．
(2)根据折线图中的信息得出结论即可．
本题考查折线统计图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】【小问1详解】
解：180÷36%=500(人)，
∴一周内到校运动健身的市民总人数为500人；
【小问2详解】
羽毛球的人数为500−180−150−70=100人，
健走的百分比为100%−36%−14%−20%=30%，
补全统计图如下：
【小问3详解】
根据统计图给出的数据，得出结论：跑步和健走占比是总体的36%+30%=66%，
所以我认为应加大跑步和健走的项目的投入．

【解析】【分析】(1)由跑步的人数和所占百分比求出调查总人数；
(2)求出羽毛球的人数及健走的百分比，再补全条形统计图即可；
(3)根据统计图给出的数据，得出结论合理即可
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：选择①AF=CE，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB，
∴∠EAB=∠FCD，
∵AF=CE，
∴AF−EF=CE−EF，
即AE=CF，
在▵AEB与▵CFD中，
AE=CF∠EAB=∠FCDAB=DC,
∴▵AEB≌▵CFD(SAS)，
∴DF=BE，
故答案为：①．

【解析】【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据平行四边形的对边平行且相等解答．
21.【答案】【小问1详解】
解：如图，点M即为所求．
▵ABC绕点M顺时针旋转90∘与▵DEF重合；
【小问2详解】
解：建立平面直角坐标系如图所示，
则旋转中心的坐标为−5,3．
故答案为：−5,3．

【解析】【分析】(1)连接AD,BE，利用网格分别作线段AD,BE的垂直平分线，交点即为旋转中心；由图以及旋转的性质可得答案；
(2)根据点F和A的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案．
本题考查作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
22.【答案】【小问1详解】
如图，

观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
把2,18,4,30代入，得：
2k+b=184k+b=30,
解得：k=6b=6,
∴y=6x+6；
【小问2详解】
x=12时，y=6×12+6=78，
∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；
【小问3详解】
y=90时，6x+6=90，解得：x=14，
∴供水时间为14小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，
8+14=22，
∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．

【解析】【分析】(1)在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，利用待定系数法即可求解；
(2)应用上述发现的规律估算：利用前面求得的函数表达式求出x=12时，y的值即可得出箭尺的读数；
(3)利用前面求得的 函数表达式求出y=90时，x的值，由本次实验记录的开始时间是上午8：00，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值．
23.【答案】解：(1)四边形A1B1C1D1 是 矩形，
证明：∵A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，
∴A1B1//AC，C1D1//AC，
∴A1B1//C1D1，
同理可得A1D1//B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
易得A1B1⊥B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是矩形；
(2)①由题意可知：A1B1=12AC=3，A1D1=12BD=5，
四边形A1B1C1D1的面积=3×5=15；

②由构图过程可得：A2D2=B2C2=12B1D1=12 A1B 12+A1D 12= 34，C2D2=B2A2=12A1C1=12 A1B 12+B1C 12= 34，
可知四边形A2B2C2D2为菱形，
∴SA2B2C2D2=12A2C2×B2D2=12A1B1×B1C1=152；
同理可求：SA3B3C3D3=154，SA4B4C4D4=158，…，SAnBnCnDn=152n−1，
故当四边形AnBnCnDn的面积为1516时，152n−1=1516，
解得：n=5；
③由②可知：用n表示四边形AnBnCnDn的面积为152n−1．

【解析】【分析】(1)根据中位线定理，得出四边形A1B1C1D1是平行四边形，再根据AC⊥BD可判断四边形A1B1C1D1为矩形；
(2)①根据题意算出A1B1=3，A1D1=5，可得四边形A1B1C1D1的面积；
②根据题意算出A2D2= B2C2= C2D2=B2A2= 34，可得四边形A2B2C2D2为菱形，得出四边形A2B2C2D2的面积，以此类推得出SAnBnCnDn=152n−1，令SAnBnCnDn=1516，解出n即可；
③由②可得结果；
本题考查了中位线定理，矩形的性质，菱形的判定和性质，解题的关键是利用中位线定理求出相应长度，从而计算面积．
24.【答案】【小问1详解】
证明：作AG⊥EF于G，如图所示：

则∠AGE=∠AGF=90∘，
∵AB⊥CE,AD⊥CF，
∴∠B=∠D=90∘=∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF、∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB=AG,AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形．
【小问2详解】
解：根据解析(1)可知，AB=AG，AE=AE，
∴Rt▵ABE≌Rt▵AGEHL，
∴BE=EG，
同理可得：Rt△ADF≌Rt△AGF(HL)，
∴DF=GF，
∴EF=EG+GF=BE+DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=AB=a，
∴CE=a−BE，CF=a−DF，
根据勾股定理得：EF2=CE2+CF2，
即BE+DF2=a−BE2+a−DF2，
整理得：BE⋅DF=a2−aBE+DF，
∴BE+aDF+a
=BE⋅DF+aBE+DF+a2
=a2−aBE+DF+aBE+DF+a2
=2a2．

【解析】【分析】(1)作AG⊥EF于G，如图所示：则∠AGE=∠AGF=90∘，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB=AD，即可得出四边形ABCD是正方形；
(2)证明Rt▵ABE≌Rt▵AGEHL，得出BE=EG，证明Rt△ADF≌Rt△AGF(HL)，得出DF=GF，从而得出EF=EG+GF=BE+DF，根据勾股定理得出EF2=CE2+CF2，即BE+DF2=a−BE2+a−DF2，整理得出BE⋅DF=a2−aBE+DF，用多项式乘多项式进行运算BE+aDF+a并将BE⋅DF=a2−aBE+DF代入即可得出答案．
本题考查了正方形的判定与性质、角平分线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是根据正方形的判定、角平分线的性质解答．
25.【答案】【小问1详解】
①证明：∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，
∴AB=CD=CD′，∠B=∠D=∠D′=90∘，
又∠AEB=∠CED′，
∴▵ABE≌▵CD′E；
②连接BD′，
∵▵ABE≌▵CD′E，
∴AE=CE，BE=D′E，
∴∠EAC=∠ECA，∠EBD′=∠ED′B，
又∠AEB=∠EAC+∠ECA=2∠ECA，∠AEB=∠EBD′+∠ED′B=2∠EBD′，
∴∠EBD′=∠ECA，
∴BD′//AC；
【小问2详解】
解：∵∠B=90∘，AB=3 3，∠ACB=30∘，
∴AC=6 3，∠BAC=60∘，
∵∠EAC=∠ECA=30∘，
∴∠BAE=30∘，
∴AE=2BE，
又AB2+BE2=AE2，即3 32+BE2=2BE2，
∴BE=3，AE=6
要▵AEQ是直角三角形，则∠AEQ=90∘或∠AQE=90∘，
当∠AQE=90∘时，
∵∠CAE=30∘，
∴∠AEQ=60∘，
又∠AEB=2∠ECA=60∘，
∠QEC=180∘−∠AEB−∠AEQ=60∘，
∵翻折，
∴∠QEF=∠CEF=12∠QEC=30∘=∠FCE，
∴CF=EF
∵∠CAE=30∘，∠AEF=∠AEQ+∠QEF=90∘，
∴AF=2EF=2FC，
∴AC=3FC，
∴FC=13AC=2 3，
当∠AEQ=90∘时，
过点F作FM⊥BC于M，FN⊥EQ于N，
则FM=FN，
∵∠AEQ=90∘，∠CAE=30∘，
∴AQ=2EQ，
又AE2+EQ2=AQ2，即62+EQ2=2EQ2，
∴EQ=2 3，AQ=4 3，
∴CQ=2 3，
设CF=x，则QF=2 3−x，FM=12x，
∵∠PQC=∠QEC+∠QCE=60∘，∠FNQ=90∘，
∴∠QFN=30∘，
∴QN=12QF=122 3−x，FN= QF2−QN2= 322 3−x，
∴ 322 3−x=12x，
解得x=3 3−3，即CF=3 3−3
综上，CF的长为2 3或3 3−3．

【解析】【分析】(1)①利用矩形和翻折的性质得出AB=CD=CD′，∠B=∠D=∠D′=90∘，然后利用AAS证明▵ABE≌▵CD′E即可；
②连接BB′，利用全等的性质得出AE=CE，BE=D′E，利用等边对等角得出∠EAC=∠ECA，∠EBD′=∠ED′B，结合三角形外角的性质可得∠EBD′=∠ECA，最后利用平行线的判定即可得证；
(2)分∠AEQ=90∘或∠AQE=90∘两种情形讨论即可．
本题考查了矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，含30度的直角三角形性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
26.【答案】【小问1详解】
∵a2−2ab+b2−c2=0，
∴a−b2=c2，
∵a>0,b≤0,c>0，
∴a−b=c，
∴AB=OC；
【小问2详解】
设直线AC：y=kx+b，
∵AB=OC,a=3,b=1，
∴A0,3,B0,1，
∴AB=3−1=2=OC，
∴C2,0，
∴将点A0,3,B0,1代入y=kx+b，
2k+b=0b=3,
解得k=−32b=3,
∴直线AC：y=−32x+3；
过点B作直线PB与直线PQ，使得与直线AC夹角为45∘，

设点P2m,3−3m，
过点P作PE⊥y轴，过点Q作QF⊥y轴，
∵∠BPQ=∠BQP=45∘，
∴PB=BQ，
∴∠PBQ=90∘，
∴∠1+∠2=90∘，∠1+∠3=90∘，
∴∠2=∠3，
∴▵PEB≌▵BFQASA，
∴PE=2m=BF，BE=yp−yB=3−3m−1=2−3m=FQ，
∴xQ=FQ=2−3m，yQ=yB−BF=1−2m，
∴Q2−3m,1−2m，
∵Q在直线AC上，
∴代入得1−2m=−32×2−3m+3，
∴m=213，
∴Q2013,913,P413,331.，
∴直线与AC的交点的横坐标为2013或413
【小问3详解】
∠BED的 度数为定值，∠BED=135∘．
理由：作DF⊥OD于D，取DF=OC，连接接CF,BF，

∵OB=CD,∠BOC=∠CDF,OC=DF，
∴▵OBC≌▵DCFSAS，
∴∠OCB=∠CFD,BC=CF，
∴∠OCB+∠DCF=∠CFD+∠DCF=90∘，
∴∠BCF=90∘，
∴▵BCF是等腰直角三角形，
∴∠CBF=45∘，
∵AB=OC,OC=DF，
∴AB=DF，
∴DF可由AB平移所得，
∴AD//BF，
∴∠AEB=∠CBF=45∘，
∴∠BED=∠CBF=45∘

【解析】【分析】(1)根据完全平方公式因式分解得出a−b2=c2，进而得出a−b=c，即可得证；
(2)作K字型全等，进而得出结论；
(3)作DF⊥OD于D，取DF=OC，连接接CF,BF，证明▵OBC≌▵DCFSAS，得出▵BCF是等腰直角三角形，根据平移的性质得出AD/​/BF，则∠AEB=∠CBF=45∘，即可求解．
本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，综合运用以上知识是解题的关键．
抛掷次数
100
300
500
800
1000
针尖不着地的频数
64
180
310
488
610
针尖不着地的频率
0.64
0.60
0.62
0.61
0.61
供水时间x(小时)
0
2
4
6
8
箭尺读数y(厘米)
6
18
30
42
54