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数学：云南省昆明市2024届高三三模试题（解析版）
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这是一份数学：云南省昆明市2024届高三三模试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可知阴影部分表示的集合为：且，即.故选：A.
2. 已知点在抛物线的图象上，为的焦点，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】B
【解析】将代入，即，所以，
所以.故选：B.
3. 已知中，，，，则的面积等于（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】B
【解析】由余弦定理得，，因为为三角形内角，则，
所以，
故选：B．
4. 某学校邀请五个班的班干部座谈，其中班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（ ）
A. 10B. 12C. 16D. 20
【答案】C
【解析】由题分两类讨论，当班选到1位班干部发言有种选法，其余班级有种选法；
当班选到2位班干部发言有种选法，其余班级有种选法；
故共有种选法，
故选：C．
5. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则“”是“”的必要条件
B. 若，，则“”是“”的充分条件
C. 若，则“”是“”的充要条件
D. 若，则“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于A，若，则“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
对于B，，，则“”“”“m，n平行或异面，
所以是的充分条件，故B正确；
对于C，，则“”“”，
则“”是“”的充要条件，故C正确；
对于D，，则“”“或”，
“”“m，n相交、平行或异面”，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.故选：A.
6. 在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设事件A表示“小明第一次投篮命中”，事件B表示“小明第二次投篮命中”，
则，
所以，
解得.故选：B.
7. 某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形为正方形，则，
设正方形的外接圆圆心为，连接交球面于点，如图所示，则，所以，
因为该艺术吊灯总高度为14，，所以，
设球半径为，则，
在中，，解得，
所以球的体积为，
故选：C．
8. 函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，对任意，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在单调递减D. 若，则
【答案】D
【解析】令得，，则；
对于A，令，有，则，
令，有，则，故A错误；
对于B，令，则，故为偶函数，故B错误；
对于C，因为在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，，
所以当时，，设，令，
则，
即，
所以在单调递增，故C错误；
对于D，由上述结论得，为偶函数，且在单调递增，，
所以若，则，故D正确；故选：D．
二、选择题
9. 在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A. B. A与相互独立
C. D.
【答案】ABD
【解析】A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确；
B选项，，
即，故，
故，A与相互独立，B正确；
C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误；
D选项，
，
因为，故，D正确.故选：ABD.
10. 已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是偶函数
C. 是函数的一个极值点D. 在单调递增
【答案】ABC
【解析】因为的最小正周期大于，
所以，即，又关于点中心对称，
所以，所以，因为，所以当时，，
所以，
对于，，故正确；
对于，，
由且是全体实数，所以是偶函数，故正确；
对于，，令得，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是函数的极大值点，故正确；
对于， 由，，
得，
函数的单调递增区间为，，当时，，
当时，，显然函数在上不单调，故不正确.
故选：.
11. 已知分别是双曲线左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线的斜率为
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】，不妨设在第二象限，
当时，则，则，故，
，,故,，
由于是的角平分线，所以,进而可得,
故斜率为，
故A正确，
由于，所以,B错误，
延长,交于点，连接,
由于是的角平分线，，所以,
故是的中点，,
由双曲线定义可得，
又是的中点，,故C正确，D错误，故选：AC
三、填空题
12. 已知复数满足，则__________.
【答案】
【解析】因为复数满足，所以，所以.
故答案为：.
13. 过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对__________
【答案】（答案不唯一）
【解析】，，
设所求切线的切点坐标为，则切线斜率为，
得切线方程为，
由切线过点，有，
化简得，
设，则，
，解得或；，解得，
在和上单调递减，在上单调递增，
极大值，极小值，
且或时，时，，
的函数图象如图所示，
则当时，无解，；当或时， 有一个解，；
当或时，有两个解， ；当时，有三个解， .
故答案为：（答案不唯一）
14. 以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为__________
【答案】2
【解析】由题意可知,
所以有，因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
另外，当且仅当即时取等号，
综合上述，所以有即，当且仅当时取等号.故答案为：2.
四、解答题
15. 甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：
甲：93 95 81 72 80 82 92
乙：85 82 77 80 94 86 92 84 85
经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.
（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；
（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量，其中个数据的方差为，个数据的方差为，且．若，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若的临界值采用下表中的数据：
例如：对应的临界值为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.
解：（1）依题意：，，
所以，，
.
（2）由于，则，，，，
则，
查表得对应的临界值为3.58，则，
所以甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异.
16. 正项数列的前项和为,等比数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和．
解：（1）当时，，即，，
所以，同理．
当时，，化简得：
，因为，所以，
即，故，又，所以．
同理，或，
因为是等比数列，所以，即，所以．
（2）由（1）知，
所以当为奇数时，
，
同理当为偶数时，．所以.
17. 如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．
（1）证明：平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高．
（1）证明：由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，
所以，
又，所以，
因为，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面．
（2）解：以为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，
则，，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，设与平面夹角为，由（1）知，
所以由已知得，
解得，所以三棱台的高为．
18. 已知函数；
（1）当时，证明：对任意，；
（2）若是函数的极值点，求实数的值．
（1）证明：当时，，，
当时，，则；
当时，，，故，所以在单调递增，
因为，所以，所以，
所以，所以，故；
综上，对任意，．
（2）解：，，因为是的极值点，
所以，即．
当时，，令，则，
由（1）可知，对任意，，故在单调递增，又，故当时，，即，当时，，即，故在单调递减，在单调递增，满足是的极值点，综上，实数的值为1．
19. 已知曲线由半圆和半椭圆组成，点在半椭圆上，，．
（1）求的值；
（2）在曲线上，若（是原点）．
（ⅰ）求取值范围；
（ⅱ）如图，点在半圆上时，将轴左侧半圆沿轴折起，使点到，使点到，且满足，求的最大值．
解：（1）由题意知，是椭圆的左、右焦点，
由椭圆的定义知：．
（2）（ⅰ）由题意知，，则，
当为半椭圆右顶点时，，
当不为半椭圆右顶点时，设直线方程为，联立，
解得，，故，
①若点在半圆上，则，所以，
所以，所以，
②若点在半椭圆上，因为，
设直线的方程为，同理可得，
所以，令，
则，
因为，故，所以，
所以，
综上所述，所以．
（ⅱ）过作垂直轴，垂足为，设，则，
，所以，
即，
，
则半圆所在平面与半椭圆所在平面垂直，两平面交线为轴，
则有，
所以，
令，，
当且仅当，时，取得最大值．
综上所述的最大值为．
1
2
3
4
5
6
7
8
1
161
200
216
225
230
234
237
239
2
18.5
19.0
19.2
19.2
19.3
19.3
19.4
19.4
3
10.1
9.55
9.28
9.12
9.01
8.94
8.89
8.85
4
7.71
6.94
6.59
6.39
6.26
6.16
6.09
6.04
5
6.61
5.79
5.41
6.19
5.05
4.95
4.88
4.82
6
5.99
5.14
4.76
4.53
4.39
4.28
4.21
415
7
5.59
4.74
4.35
4.12
3.97
3.87
3.79
3.73
8
5.32
4.46
4.07
3.84
3.69
3.58
3.50
3.44
1. 如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可知阴影部分表示的集合为：且，即.故选：A.
2. 已知点在抛物线的图象上，为的焦点，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】B
【解析】将代入，即，所以，
所以.故选：B.
3. 已知中，，，，则的面积等于（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】B
【解析】由余弦定理得，，因为为三角形内角，则，
所以，
故选：B．
4. 某学校邀请五个班的班干部座谈，其中班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（ ）
A. 10B. 12C. 16D. 20
【答案】C
【解析】由题分两类讨论，当班选到1位班干部发言有种选法，其余班级有种选法；
当班选到2位班干部发言有种选法，其余班级有种选法；
故共有种选法，
故选：C．
5. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则“”是“”的必要条件
B. 若，，则“”是“”的充分条件
C. 若，则“”是“”的充要条件
D. 若，则“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于A，若，则“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
对于B，，，则“”“”“m，n平行或异面，
所以是的充分条件，故B正确；
对于C，，则“”“”，
则“”是“”的充要条件，故C正确；
对于D，，则“”“或”，
“”“m，n相交、平行或异面”，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.故选：A.
6. 在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设事件A表示“小明第一次投篮命中”，事件B表示“小明第二次投篮命中”，
则，
所以，
解得.故选：B.
7. 某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形为正方形，则，
设正方形的外接圆圆心为，连接交球面于点，如图所示，则，所以，
因为该艺术吊灯总高度为14，，所以，
设球半径为，则，
在中，，解得，
所以球的体积为，
故选：C．
8. 函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，对任意，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在单调递减D. 若，则
【答案】D
【解析】令得，，则；
对于A，令，有，则，
令，有，则，故A错误；
对于B，令，则，故为偶函数，故B错误；
对于C，因为在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，，
所以当时，，设，令，
则，
即，
所以在单调递增，故C错误；
对于D，由上述结论得，为偶函数，且在单调递增，，
所以若，则，故D正确；故选：D．
二、选择题
9. 在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A. B. A与相互独立
C. D.
【答案】ABD
【解析】A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确；
B选项，，
即，故，
故，A与相互独立，B正确；
C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误；
D选项，
，
因为，故，D正确.故选：ABD.
10. 已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是偶函数
C. 是函数的一个极值点D. 在单调递增
【答案】ABC
【解析】因为的最小正周期大于，
所以，即，又关于点中心对称，
所以，所以，因为，所以当时，，
所以，
对于，，故正确；
对于，，
由且是全体实数，所以是偶函数，故正确；
对于，，令得，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是函数的极大值点，故正确；
对于， 由，，
得，
函数的单调递增区间为，，当时，，
当时，，显然函数在上不单调，故不正确.
故选：.
11. 已知分别是双曲线左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线的斜率为
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】，不妨设在第二象限，
当时，则，则，故，
，,故,，
由于是的角平分线，所以,进而可得,
故斜率为，
故A正确，
由于，所以,B错误，
延长,交于点，连接,
由于是的角平分线，，所以,
故是的中点，,
由双曲线定义可得，
又是的中点，,故C正确，D错误，故选：AC
三、填空题
12. 已知复数满足，则__________.
【答案】
【解析】因为复数满足，所以，所以.
故答案为：.
13. 过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对__________
【答案】（答案不唯一）
【解析】，，
设所求切线的切点坐标为，则切线斜率为，
得切线方程为，
由切线过点，有，
化简得，
设，则，
，解得或；，解得，
在和上单调递减，在上单调递增，
极大值，极小值，
且或时，时，，
的函数图象如图所示，
则当时，无解，；当或时， 有一个解，；
当或时，有两个解， ；当时，有三个解， .
故答案为：（答案不唯一）
14. 以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为__________
【答案】2
【解析】由题意可知,
所以有，因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
另外，当且仅当即时取等号，
综合上述，所以有即，当且仅当时取等号.故答案为：2.
四、解答题
15. 甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：
甲：93 95 81 72 80 82 92
乙：85 82 77 80 94 86 92 84 85
经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.
（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；
（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量，其中个数据的方差为，个数据的方差为，且．若，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若的临界值采用下表中的数据：
例如：对应的临界值为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.
解：（1）依题意：，，
所以，，
.
（2）由于，则，，，，
则，
查表得对应的临界值为3.58，则，
所以甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异.
16. 正项数列的前项和为,等比数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和．
解：（1）当时，，即，，
所以，同理．
当时，，化简得：
，因为，所以，
即，故，又，所以．
同理，或，
因为是等比数列，所以，即，所以．
（2）由（1）知，
所以当为奇数时，
，
同理当为偶数时，．所以.
17. 如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．
（1）证明：平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高．
（1）证明：由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，
所以，
又，所以，
因为，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面．
（2）解：以为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，
则，，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，设与平面夹角为，由（1）知，
所以由已知得，
解得，所以三棱台的高为．
18. 已知函数；
（1）当时，证明：对任意，；
（2）若是函数的极值点，求实数的值．
（1）证明：当时，，，
当时，，则；
当时，，，故，所以在单调递增，
因为，所以，所以，
所以，所以，故；
综上，对任意，．
（2）解：，，因为是的极值点，
所以，即．
当时，，令，则，
由（1）可知，对任意，，故在单调递增，又，故当时，，即，当时，，即，故在单调递减，在单调递增，满足是的极值点，综上，实数的值为1．
19. 已知曲线由半圆和半椭圆组成，点在半椭圆上，，．
（1）求的值；
（2）在曲线上，若（是原点）．
（ⅰ）求取值范围；
（ⅱ）如图，点在半圆上时，将轴左侧半圆沿轴折起，使点到，使点到，且满足，求的最大值．
解：（1）由题意知，是椭圆的左、右焦点，
由椭圆的定义知：．
（2）（ⅰ）由题意知，，则，
当为半椭圆右顶点时，，
当不为半椭圆右顶点时，设直线方程为，联立，
解得，，故，
①若点在半圆上，则，所以，
所以，所以，
②若点在半椭圆上，因为，
设直线的方程为，同理可得，
所以，令，
则，
因为，故，所以，
所以，
综上所述，所以．
（ⅱ）过作垂直轴，垂足为，设，则，
，所以，
即，
，
则半圆所在平面与半椭圆所在平面垂直，两平面交线为轴，
则有，
所以，
令，，
当且仅当，时，取得最大值．
综上所述的最大值为．
1
2
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1
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216
225
230
234
237
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2
18.5
19.0
19.2
19.2
19.3
19.3
19.4
19.4
3
10.1
9.55
9.28
9.12
9.01
8.94
8.89
8.85
4
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6.59
6.39
6.26
6.16
6.09
6.04
5
6.61
5.79
5.41
6.19
5.05
4.95
4.88
4.82
6
5.99
5.14
4.76
4.53
4.39
4.28
4.21
415
7
5.59
4.74
4.35
4.12
3.97
3.87
3.79
3.73
8
5.32
4.46
4.07
3.84
3.69
3.58
3.50
3.44
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