2024年河南省商丘市第六中学中考模拟数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上的注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）
下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据绝对值的定义作答即可．
【详解】的绝对值是，
故选D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系．
2. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒，已知1纳秒=0.000000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ）
A. 秒B. 秒C. 秒D. 秒
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】所用时间=15×0.000000001=1.5×10-8（秒）．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2．据此可作出判断．
【详解】解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形．
故选：A．
【点睛】本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
4. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解①得 ；
解②得 ；
所以解集为： .
故选C.
5. 如图，，点在上，平分，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．
6. 下列条件不能够判定“平行四边形是菱形”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的判定定理，逐一验证判断即可．
【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形；
B、对角线互相垂直的平行四边形亦可得到菱形；
C、邻边相等的平行四边形可判定是菱形；
D、选项中是矩形，不能判定其为菱形；
故选：D．
．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定定理，解题的关键是熟练掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形．
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】判断判别式的符号，即可得到方程根的情况．
【详解】解：，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．熟练掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，是解题的关键．
8. 中国目前是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某兴趣小组通过网络查询，收集到四张高铁发展历程的邮票（除内容外，其余完全相同），若由小霞同学先随机抽取一张卡片，然后将卡片放回，洗匀，再由小强抽取，则两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，根据概率公式求解即可．
【详解】解：设四张邮票分别为A、B、C、D，
列出表格如下：
由表可知，一共有16种情况，两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的4种情况，
∴两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的概率．
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据一次函数的图象得出m、n的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案．
【详解】解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，不符合题意；
B．二次函数的图象没有过原点，不符合题意；
C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，不符合题意；
D．由一次函数图象可得，，则二次函数图象开口向下，对称轴应在x轴正半轴，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．
10. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，轴，已知点B(4，3)，D(2，6)，固定A、B两点，拖动CD边向右下方平行移动，使平行四边形ABCD的面积变为原来的，则变换后点D的对应点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件求出A点的坐标，根据面积缩小为原来的，的纵坐标为4，由，即可求得的坐标．
【详解】∵平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，，
∴，
∴AB=4，
∵，
∴平行四边形面积=，
∵平行四边形的面积缩小为原来的，
∴到AB的距离为1，
∴的纵坐标为4，
设，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系与平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行分析即可．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂和立方根的意义，先根据零指数幂和立方根的意义化简，再算加减即可．
【详解】解：．
故答案：．
12. 请写出一个图象经过点的函数的关系式______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】让时，函数值写出一个正比例函数即可．
【详解】解：函数经过点．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是正确掌握函数的性质．
13. 课程改革以来，数学老师积极组织学生参与“综合与实践”活动，学校随机调查了七年级部分同学某月参与“综合与实践”活动的时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图（如图所示），根据图中信息可知扇形图中的“小时”部分圆心角是__________．

【答案】##144度
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，解题关键是读懂两个统计图提供的信息．先根据学生劳动“1小时”的人数除以占的百分比，求出总人数，进而求出劳动“1.5小时”的人数，以及占的百分比，乘以360即可得到结果．
【详解】解：（人），
（人），
，
．
故答案为：．
14. 如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点停止．图2是点运动时，的面积与运动时间函数关系的图象，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了动点函数的图象，平行四边形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出的长．根据题意可得，分当点Q在上时，即时和当点Q在上时，即时，分别表示出，分析可知当点Q到达点C时，，此时，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动，
点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒，
，
，
由点P和点Q的运动可知，，
当点Q在上时，即时，，
过点P作交于，
，
，
，
，
当点Q在上时，即时，
，
四边形是平行四边形，
，
，
由上可知，当点Q到达点C时，，
即当时，，
故答案为：．
15. 如图，在中，，点为斜边中点，点为边上的一动点，沿着所在直线折叠，得到，当垂直于的直角边时，的长度为______．

【答案】或5
【解析】
【分析】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、相似三角形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识，当时，证明四边形是边形是解题的关键．
由，求得，则，再分两种情况讨论，一是于点，则，所以，则，由折叠求得，则，由勾股定理得，求得；二是，则，可证明四边形是菱形，则于是得到问题的答案．
【详解】解：∵，
∵点为的中点，
如图1，，垂足为点，则，

由折叠得，
解得；
如图2，，

由折叠得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
综上所述，的长为或5，
故答案为：或5．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）化简：．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）原方程无解．
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式及多项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项；
（2）先去分母，解整式方程，再检验即可．
【详解】（1）原式
．
（2）去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
检验：当时，，
故不是原方程解，故原方程无解．
【点睛】此题考查了计算能力：整式的混合运算及解分式方程，正确掌握完全平方公式及多项式乘以多项式法则和分式方程的解法是解题的关键．
17. “呵护眼睛，从小做起”，每年6月6为全国爱眼日．某学校为了解该校九年级学生视力健康状况，从九年级（1）班和九年级（2）班各随机抽取了10名学生2022年初的视力数据，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
九年级（1）班学生视力数据统计如下：4.9， 4.8， 4.9， 4.6， 4.8， 4.9， 4.9， 5.0， 4.9， 5.1．
九年级（2）班学生视力数据统计如下：4.8， 5.1， 4.7， 5.0， 4.9， 4.8， 5.0， 4.6， 4.8， 5.1．
【整理数据】
（1）九年级（1）班学生视力的扇形统计图： （2）九年级（2）班学生视力的频数直方图：
【分析数据】
（1）九年级（1）班视力中位数a落在扇形统计图的 部分（填A、B、C）；
（2）请补全九年级（2）班视力的频数直方图；
（3）表中b= ；
（4）若九年级（2）班共50名学生，视力在4.85～5.05之间的大约有 人；
（5）根据九年级（1）班、九年级（2）班分别抽取的10名学生的视力情况，你认为哪个班级学生的视力健康情况更何况更好一些？并说明理由．
【答案】（1）B （2）见解析
（3）4.8 （4）15
（5）（1）班学生的视力健康情况更何况更好一些，详见解析．
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义，对数据进行分析即可；
（2）根据（2）班数据，可知4.65-4.85中的频数，即可补全频数直方图；
（3）根据众数的定义，对数据进行分析即可得出结果；
（4）由（2）班视力数据可知，10人中有3人视力在4.85～5.05，可知该班50人中视力在4.85～5.05的人数；
（5）根据方差越小数据越稳定，可知（1）班视力状况较好．
【小问1详解】
解：由题意可知，（1）班视力数据中位数为4.9，
即a=4.9，落在B部分；
故答案为：B
【小问2详解】
补全频数直方图如图所示，
【小问3详解】
由（2）班视力数据可知，中数为4.8，即b=4.8；
故答案为：4.8
【小问4详解】
由（2）班视力数据可知，10人中有3人视力在4.85～5.05，
故50人中视力在4.85～5.05的人数为：50×0.3=15（人）；
故答案为：15．
【小问5详解】
由两组数据可知，两班平均数相等，（1）班中位数大于二班，（1）班方差小于（2）班，所以（1）班视力数据较为稳定，
故：（1）班的视力状况更好一些．
【点睛】本题主要考查的数据的应用，数量掌握其中各项的定义及用法是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过，
两点．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）直线分别交x轴、y轴于两点．
①请用无刻度的直尺和圆规，作出的平分线，交直线于点P；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
②求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）由“反比例函数的图象经过，”即可求解；
（2）①按照角平分线的尺规作图方法即可作出点；②分别求出直线和直线的解析式即可．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过，
∴
解得：
∴反比例函数的表达式
【小问2详解】
解：①如图所示：

②由（1）得：，
设直线的解析式为：
则
解得：
∴直线的解析式为：
∵，平分
∴点在一、三象限的角平分线上
∴直线的解析式为：
联立得：
∴点P的坐标为
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式、一次函数的解析式、尺规作图等．掌握相关结论是解题关键．
19. 学科综合
我们在物理学科中学过，光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
小明为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但不在细管所在直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，．

（1）求入射角的度数．
（2）若，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：， ，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角；
（2）根据直角三角形的边角关系求出、，再根据锐角三角函数的定义求出、即可．
【小问1详解】
解：如图，设法线为，
则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴入射角约为；
【小问2详解】
在中，，，
，
在中，，，
，
光线从空气射入水中的折射率，
答：光线从空气射入水中的折射率．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提．
20. 某学校计划一次性购买A，B两种类型的书架，用于建设班级读书角，方便学生利用课余时间阅览图书．已知购买3个A型书架和4个B型书架共需640元，购买5个A型书架和2个B型书架共需670元．
（1）求购买一个A型书架和一个B型书架各需多少元．
（2）该学校打算购买A，B型书架共52个，且购买的总费用不超过4700元．若A型书架的最大放书量为80册，B型书架的最大放书量为65册，请设计出放书总量最大的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）购买一个A型书架需要100元，购买一个B型书架需要85元
（2）放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设购买一个A型书架需要x元，购买一个B型书架需要y元，根据题意建立二元一次方程组即可求解；
（2）设购买m个A型书架，则购买个B型书架，建立不等式可求的取值范围．
设购买两种书架的放书总量为w册，建立与的函数关系式，即可利用函数的性质求解．
【小问1详解】
解：设购买一个A型书架需要x元，购买一个B型书架需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买一个A型书架需要100元，购买一个B型书架需要85元；
【小问2详解】
解：放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架，理由如下：
设购买m个A型书架，则购买个B型书架，
根据题意得：，
解得： ．
设购买两种书架的放书总量为w册，则．
∵，
∴w随m的增大而增大，
又∵ ，且m为整数，
∴当时，w取得最大值，此时，
∴放书总量最大的购买方案为：购买18个A型书架，34个B型书架．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数在实际问题中的应．正确理解题意是解题关键．
21. 如图，是的直径，是延长线上一点，与相切于点，于点．
（1）求证：平分；
（2）若，．
①求的长；②求出图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）①3；②
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，求不规则图形面积，解直角三角形，圆周角定理：
（1）连接，由切线的性质得到，则可证明得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明结论；
（2）①先求出，进而得到，解直角三角形得到，进而解直角三角形得到；②过点E作于H，解直角三角形得到，解直角三角形得到，再由圆周角定理得到，最后根据进行求解即可．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：①∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图所示，过点E作于H，
在中，，
在中，，
∵，
∴
．
22. 某农户用喷枪将斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是抛物线．经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为．建立如图所示的直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距水平线的高度．

（1）求抛物线的表达式．
（2）若斜坡上有一棵高的树EC，它与喷水头的水平距离为，，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由．
【答案】（1）．
（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线解析式为，为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由是抛物线与轴交点，将点代入解析式，求解出待定系数即可；
（2）连接，过点作，根据题意点、、点横坐标5，得，由，即可求出，从而得到，然后另代入（1）中求解出的解析式中，得到，比较与即可．
【小问1详解】
过顶点坐标，
抛物线解析式为：，
又抛物线过点，
将点代入解析式，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
【小问2详解】
如图，过点作，由题意得点、、点横坐标，即，

，
，
，
，
，
当时，，
，
P处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶．
【点睛】本题考查了二次函数的应用喷水问题，解直角三角形斜坡问题，熟练掌握二次函数待定系数法求解析式、读懂题意、把实际问题转化为数学问题和熟记二次函数的顶点式是解题的关键．
23. 某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出
如图，在正方形中，，为的中点，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角的度数为，交于点，连接．
（1）当过的中点时，的值为______；
操作发现
（2）当时，求证：；
数学思考
（3）在旋转的过程中，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，直接写出此时的长；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）由三角形的中位线得出，证明为的中垂线，得出，证出为等边三角形可得出结论；
（2）由正方形的性质及等腰三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）分三种情况，由等腰三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解：设的中点为O，
∵O为的中点，E为的中点，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴为的中垂线，
∴，
又∵将绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在．若，如图，作的垂线，交于点M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
若，如图，作的垂线，交于点H，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴；
若，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，不符合题意．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
A
B
C
D
A
B
C
D
班级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
4.88
a
4.9
0.0156
九年级（2）班
4.88
4.85
b
0.0256