湖南省长沙市2023-2024学年初中学业水平考试数学全真模拟试卷（附答案）

这是一份湖南省长沙市2023-2024学年初中学业水平考试数学全真模拟试卷（附答案），共16页。试卷主要包含了44×105C．4，4米．，5．等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
4.本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入300元记作+300元，那么−100元表示（ ）
A．支出100元B．收入100元C．支出200元D．收入200元
2．下列计算正确的是（ ）
A．5ab−2b=3aB．(−3x2y)2=6x4y2
C．(m−1)2=m2−1D．2a2b÷b=2a2
3．金沙湖大剧院地处金沙湖畔，总建筑面积约44000平方米，包括1500余座大剧场、500座多功能厅及舞蹈排练厅、培训教室等配套设施，外部配备约3000平方米的剧场文化商业街，是钱塘首座集文化交流、会演会展、艺术创作、休闲活动于一体的综合性艺术中心．数据44000用科学记数法表示为（ ）
A．44×103B．0.44×105C．4.4×103D．4.4×104
4．小明同学学习时善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．270°B．265°C．260°D．240°
第4题图 第5题图
5．如图：OB=OD，添加下列条件（ ）不能保证△AOB≌△COD
A．OA=OCB．AB=CDC．∠A=∠CD．∠B=∠D
6．下表是根据某班同学一周的体育锻炼时间情况绘制的统计表，该班全体同学一周参加体育锻炼时间的中位数、众数分别是（ ）
A．10.5，16B．8.5，16C．8.5，8D．9，8
7．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为900x+1×2=900x−3，其中x表示（ ）
A．快马的速度B．慢马的速度C．规定的时间D．以上都不对
8．如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y=kxk>0在第一象限的图像经过A，C两点．若△OAB的面积为9，则k的值为（ ）
A．3B．29C．6D．152
第8题图 第9题图 第10题图
9．已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（ ）
A．5B．3C．22D．2
10．观察规律11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14,⋅⋅⋅，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点Pnn,0n=1、2、⋯作x轴的垂线，交y=ax2a>0的图象于点An，交直线y=−ax于点Bn．则1A1B1+1A2B2+⋅⋅⋅+1A2024B2024的值为（ ）
A．20222023aB．20232024aC．2025a2024D．20242025a
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．式子y=1x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．分解因式：mn2+6mn+9m= ．
13．关于x的不等式组x−a>03−2x≥−1仅有4个整数解，则a的取值范围为 ．
14．将一次函数y=x−1的图象向上平移4个单位，得到的一次函数的表达式是 ．
15．在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有 个．
16．如图，矩形ABCD的对角线BD的中点为点O，BD=10，以O为圆心，6为直径作一个圆，恰好与矩形BC、AD两边分别相切于E、F两点，则图中阴影部分的面积为 ．
第16题图 第17题图 第18题图
17．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成．从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这个几何体最多可由 个小正方体搭成．
18．如图，在等边△ABC中，点D为AC边上一动点，点E为BC上一点，且满足AD=CE，连接AE，BD，当线段CF的长度最小时，S△ABFS△ABC的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分）
19．计算：16−(π+1)0+(−3)2−12−3．
20．先化简，再求值：1−2x−1÷x2−6x+9x2−x，请从1、2、3中选取的一个合适的数作为x的值．
21．襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=560米，∠D=50°．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
22．本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分，根据图表，解答问题：
(1)填空：表中的a＝ ，b＝ ；
(2)你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ；
(3)若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
23．第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：

（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
24．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC和BD相交于点O，过点O作AC的垂线分别交AD，BC于点E，点F，连接AF，CE．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若BD=AC=13，AB=5，求四边形AFCE的周长．
25．如图，点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，连接AB，BC，CA．点D，E分别是AC，BC上的点，且BE=CD．过点D作EO的垂线，垂足为H，与⊙O分别交于N、M，与边AB交于F点．
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)探索FN与MD的数量关系，并加以证明；
(3)点E从点B沿BC方向运动到点C，点H也随之运动，若⊙O的半径为2，则点H运动的路径长是多少？
26．抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,4)，与x轴交于点A,B(3,0)两点，与y轴交于点C，点M是抛物线上的动点．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M在直线BC上方抛物线上，连接AM交BC于点E，求MEAE的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图2，已知点Q(0,1)，是否存在点M，使得tan∠MBQ=12？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
时间/时
7
8
9
10
人数/人
3
16
14
7
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
7.5
7
7
2.8
八年级
a
8
b
2.35
答案与解析
选择题
8．C
【详解】解：过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E，连接OC，
∴S△AOD=S△COE=12k，
∵AD⊥OB，CE⊥OB，C是AB的中点，
∴AD∥CE，CB=12AB，
∴△ADB∽△CEB，∴S△CEBS△ADB=CBAB2=14，
∵S△AOB=9，∴S△COB=12×9=4.5，
设△CEB的面积为a，∴S△CEB=a，S△ADB=4a，
∴12k+a=4.5，12k+4a=9，解得：k=6或k=−6，
又∵k>0，∴k=6
9．A
【详解】∵圆锥的底面周长为2π
∴圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为n=2π×180°2π=180°，如图
∴∠BAD=90゜
∵D为AC的中点
∴AD=12AC=12×2=1
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=AB2+AD2=22+12=5，即最短路线长为5
10．D
【详解】∵过点Pnn,0n=1、2、⋯的垂线，交y=ax2a>0的图象于点An，交直线y=−ax于点Bn；
∴令x=n，可得∶An纵坐标为an2，Bn 纵坐标为−an ，
∴AnPn=an2 ，BnPn=an，∴AnBn=an2+an．
1AnBn=1a(n2+n)=1a·1n(n+1)=1a(1n−1n+1)，
∴1A1B1+1A2B2+⋅⋅⋅+1AnBn=1a(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)
=1a(1−1n+1)
=1a·nn+1 =na(n+1)=20242025a ．
二、填空题
11．x>5 12．mn+32 13．−2≤a<−1 14．y=x+3
15．12 16．48−9π 17．7 18．19
三、解答题
19．【详解】解：原式=4−1+9−8=4．
20．【详解】解：1−2x−1÷x2−6x+9x2−x
=x−1x−1−2x−1÷(x−3)2x(x−1)
=x−3x−1×x(x−1)(x−3)2
=xx−3
∵x≠1,0,3，故取x=2．
当x=2时，原式=22−3
=−2．
21．【详解】解：∵∠ABD=140°，∠D=50°
∴∠BED=90°，
∴cs∠D=DEBD，即DE560≈0.64，解得DE≈358.4（米），
答：点E与点D间的距离是358.4米．
22．【详解】（1）解:由表可知，
八年级成绩的平均数a＝4×5+8×6+8×7+10×8+4×9+6×1040＝7.5，
所以a＝7.5；
八年级成绩最中间的2个数分别为7、8，
所以其中位数b＝7+82＝7.5，
故7.5；8
（2）解:八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，
故八，八年级成绩的方差小于七年级；
（3）解:估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是1200×40−440＝1080（人）．
23．【详解】解：（1）设单价为6元的钢笔买了x支，则单价为10元的钢笔买了（100−x）支，
根据题意，得6x+10(100−x)=1300−378，
解得：x=19.5．
因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了
（2）设笔记本的单价为a元，根据题意，得
6x+10(100−x)+a=1300−378，
整理，得x=14a+392，
因为0∵x取整数，
∴x=20, 21．
当x=20时，a=4×20−78=2，
当x=21时，a=4×21−78=6，
所以笔记本的单价可能是2元或者6元．
24．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO∠AEO=∠CFOOA=OC，
∴△AOE≌△COFAAS，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）解：∵BD=AC，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，BC=AC2−AB2=132−52=12，
由（1）知，四边形AFCE是菱形，
设AF=CF=x，则BF=BC−CF=12−x，
在Rt△ABF中，
AB2+BF2=AF2，即，52+12−x2=x2，
解得：x=16924．∴四边形AFCE的周长为：16924×4=1696．
25．【详解】（1）证明：∵点A，B，C分别是⊙O上的三等分点，
∴AB=BC=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形．
（2）解：FN=MD；证明如下：
连接OB，OC，OD，OF，如图所示：
∵△ABC为⊙O的内接正三角形，∴∠BOC=13×360°=120°，
∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12×180°−120°=30°，
∴∠OBE=∠OCD=30°，
∵BE=CD，∴△OBE≌△OCDSAS，
∴OE=OD，∠BOE=∠COD，
∴∠EOD=∠COE+∠COD=∠COE+∠BOE=∠BOC=120°，
∴∠OED=∠ODE=12×180°−120°=30°，
∵DH⊥EO，∴∠DHE=90°，
∴∠EDF=60°，
∵∠CDE=180°−∠EDF−∠ADF=120°−∠ADF，
∠AFD=180°−∠A−∠ADF=120−∠ADF，
∴∠CDE=∠AFD，
∵BC=AC，BE=CD，∴CE=AD，
∴△CDE≌△AFDAAS，
∴DE=DF，
∵∠EDF=60°，∴△DEF为等边三角形，
∵EH⊥DF，∴DH=FH，NH=MH，
∴NH−FH=MH−DH，即FN=MD．
（3）解：延长BO交AC于点K，连接并延长KH交AB于点L，如图所示：∵∠OBC=∠OBA=30°，∴BK平分∠ABC，
∴BK⊥AC，AK=CK，
∴∠OKD=∠OHD=90°，
取OD的中点I，连接IK，IH，则IK=IH=IO=ID=12OD，
∴K、H、O、D四点都在以OD为直径的圆上，
根据解析（2）可知，∠EDF=60°，∠ODE=30°，
∴∠ODH=60°−30°=30°，
∴∠OKH=∠ODH=30°，
∴∠OKH=∠OBC=30°，
∴KH∥BC，∴点H在过点K与BC平行的直线上运动，
∴线段KL就是点E从点B运动到点C时，点H的运动路径，
∵∠OKC=90°，∠OCK=30°，OC=2，∴OK=12OC=1，
∴AK=CK=OC2−OK2=22−12=3，
∵KH∥BC，
∴∠AKL=∠ACB=60°，∠ALK=∠ABC=60°，
∵∠A=60°，∴△ALK为等边三角形，
∴KL=AK=3，∴点H的运动路径长为3．
26．【详解】（1）解：∵抛物线过顶点(1,4)，
所以可以设抛物线解析式为：y=a(x−1)2+4，
将B(3,0)代入得，a=−1，
∴抛物线的解析式为：y=−(x−1)2+4，即：y=−x2+2x+3；
（2）如图，过点M作MM1⊥x轴交直线BC于点M1，过点A作AA1⊥x轴交直线BC于点A1，
∵直线BC过点C(0,3) ，
∴设直线BC的表达式为：y=kx+3，
将B(3,0)代入，得k=-1，∴lBC：y=−x+3，
∵MM1∥AA1，
∴∠AA1E=∠MM1E,∠A1AE=∠M1ME，
∴△MM1E∽△AA1E，∴MEAE=MM1AA1，
设M(m,−m2+2m+3)，则M1（m,−m+3），
∴MM1=−m2+2m+3-(−m+3)=−m2+3m，
令−x2+2x+3=0，解得x1=−1,x2=3，∴A(-1,0)，
∵lBC：y=−x+3， 令x=−1，解得y=4，∴A1(-1,4)，
∴AA1=4，
∴MEAE=MM1AA1=−m2+3m4=−14m2+34m，
∵−14＜0，当m=−b2a=−342×（−14）=32时，MEAE最大，
把m=32代入得，MEAE=−94+924=916，
把m=32代入M(m,−m2+2m+3)，解得M点坐标为（32，154）；
（3）取线段BQ的中点G，再将QG绕点Q旋转90°得到QG′，
则tan∠MBQ=12，直线BG′与抛物线的交点即为点M，
①将QG绕点Q顺时针旋转90°，得到QG′，
分别过点G′、点B作x轴垂线，与过Q点的水平线分别交于点N、Z，
∵QG绕点Q旋转90°得到QG′，
∴∠BOG′=90°，
∵NZ∥x轴，∴∠N=∠Z=90°，
∵∠NQG′+NG′Q=90°,∠NQG′+∠BQZ=90°，
∴NG′Q=BQZ，∴△NQG′∽△ZBQ，
∵G是QB的中点，QG=QG′，∴QG′QB=QGQB=12，
∴NG′=12QZ=32，QN=12BZ=12，
∴xG′=−QN=−12,yG′=−(NG′−OQ)=−(32−1)=−12，∴G′(−12,−12)，
设lBG′：y=kx+b，将B(3,0)，G′(−12,−12)代入，得{3k+b=0−12k+b=−12，解得{k=17b=−37，
∴lBG′：y=17x−37，
由{y=17x−37y=−x2+2x+3，解得：{x=−87y=−2949或{x=3y=0（舍去），
∴M(−87,−2949)；
②如图，将线段QG绕点Q逆时针旋转90°得到QG″，
连接G″B并延长交抛物线于点M，过G″作x轴平行线交y轴于点L，
∵旋转90°，∴∠BQG″=90°，
∵∠LQG″+∠LG″Q=90°,∠LQG″+∠OQB=90°，
∴∠LG″Q=∠OQB，
又∵∠BOQ=∠QLG″=90°，
∴△LQG″∽△OBQ，且相似比为QG″QB=12，
∴LG″=12OQ=12，LQ=12OB=32，
∴xG″=LG″=12,yG″=OQ+LQ=1+32=52，
∴G″(12,52)，
又∵B(3,0)，
设lBG″:y=kx+b，
将G″(12,52)，B(3,0)代入，得{12k+b=523k+b=0，解得{k=−1b=3，
∴lBG″:y=−x+3，
由{y=−x+3y=−x2+2x+3 ， 解得：{x=0y=3或{x=3y=0（舍去），
∴M(0,3)，
综上所述，点M的坐标为（−87，−2949）或（0，3）．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
A
D
D
A
B
D
C
C
A
D