高考数学专题练 专题一 微专题5　函数的极值、最值（含答案）

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典例1 已知函数f(x)＝eax(x－1)2.
(1)若a＝1，求f(x)在(0，f(0))处的切线方程；
(2)求f(x)的极大值与极小值；
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典例2 已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
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典例3 (2023·凤城模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋1(a>1)．
(1)若函数f(x)在x＝－2处取得极值，求实数a的值；
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(2)当x∈[－2,1]时，求函数f(x)的最大值．
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[总结提升]
求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则f(a)与f(b)一个为最大值，另一个为最小值．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数f(x)在区间[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较大小，最大的为最大值，最小的为最小值．
(3)若函数f(x)在区间[a，b]上只有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
1．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋eq \f(b,x)取得最大值－2，则f′(2)等于( )
A．－1 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D．1
2．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1
3．(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cs x＋(x＋1)·sin x＋1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为( )
A．－eq \f(π,2)，eq \f(π,2) B．－eq \f(3π,2)，eq \f(π,2)
C．－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)＋2 D．－eq \f(3π,2)，eq \f(π,2)＋2
4．已知a∈R，设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2ax＋2a，x≤1，,x－aln x，x>1.))若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为( )
A．[0,1] B．[0,2]
C．[0，e] D．[1，e]
5．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
6．(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)若函数f(x)＝aln x＋eq \f(b,x)＋eq \f(c,x2)(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac－1)在x＝－1处取得最小值，则实数b的最大值为________．
9．(2023·绵阳模拟)已知函数f(x)＝eq \f(2,3)x3－2x2＋(2－a)x＋1，其中a∈R.
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值．
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10．(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋1，其中a∈R.
(1)当a＝3时，求函数f(x)在(0,3)内的极值；
(2)若函数f(x)在[1,2]上的最小值为5，求实数a的取值范围．
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微专题5 函数的极值、最值
[考情分析] 应用导数研究函数的极值、最值问题，以及利用极值、最值的应用考查函数的零点、能成立、恒成立、实际生活中的最值问题等，多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．

考点一 利用导数研究函数的极值
典例1 已知函数f(x)＝eax(x－1)2.
(1)若a＝1，求f(x)在(0，f(0))处的切线方程；
(2)求f(x)的极大值与极小值；
解 (1)当a＝1时，f(x)＝ex(x－1)2，f′(x)＝ex(x2－1)，
所以f′(0)＝e0(02－1)＝－1，
又f(0)＝e0(0－1)2＝1，
所以切线方程为y－1＝－(x－0)，即x＋y－1＝0.
(2)f′(x)＝aeax(x－1)2＋2eax(x－1)＝eax(x－1)(ax－a＋2)，
当a＝0时，f′(x)＝2(x－1)＝0，解得x＝1，
故当x0，f(x)单调递增，
所以当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝0，无极大值．
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝1－eq \f(2,a)，
故当x1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当1－eq \f(2,a)