中考数学二轮复习压轴题培优专练专题07 几何图形的旋转变换问题（2份打包，原卷版+解析版）

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几何图形的旋转变换在中考压轴题中的考查非常频繁。
旋转变换的性质：图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化。
在解决旋转变换的题目时，不仅要把握旋转的性质和几何图形的性质外，还要求考生能够在图形变换中找到不变的量，通过转化等数学思想，将未知条件转化为已知条件，陌生模型转化为熟悉模型。
（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 于点D，在DA上取点E，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将 SKIPIF 1 < 0 绕点D旋转，得到 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与点B，E对应），连接 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 旋转的过程中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
(3)如图3，当 SKIPIF 1 < 0 绕点D顺时针旋转30°时，射线 SKIPIF 1 < 0 与AD、 SKIPIF 1 < 0 分别交于点G、F，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得结论；
（2）通过证明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由余角的性质可得结论；
（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【答案】(1)CE⊥AB，理由见解析；(2)一致，理由见解析；(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）如图，延长CE交AB于H，
∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 旋转的过程中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：
如图2，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于H，
由旋转可得：CD= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 =AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 +∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，
∴∠DA SKIPIF 1 < 0 +∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图3，过点D作DH SKIPIF 1 < 0 于点H，
∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴AD=2DH，AH= SKIPIF 1 < 0 DH= SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）可知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵AD⊥BC，CD= SKIPIF 1 < 0 ，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)如图1，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，将 SKIPIF 1 < 0 绕点D顺时针旋转一定角度，得到 SKIPIF 1 < 0 ，当射线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G，射线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点N时，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交射线 SKIPIF 1 < 0 于点M，判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据中位线定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得证；
（2）证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据（1）的结论即可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据（2）的结论 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【答案】(1)见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 ，理由见解析；(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，D，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
（2） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，D，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 绕点D顺时针旋转一定角度，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
（3）如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（2022·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当 SKIPIF 1 < 0 时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
（1）由三角形中位线定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论；
（2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．
【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°， SKIPIF 1 < 0 ．
∵点D是BC的中点，
∴CD= SKIPIF 1 < 0 BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
∴CG= SKIPIF 1 < 0 CD= SKIPIF 1 < 0 ．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH= SKIPIF 1 < 0 x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=( SKIPIF 1 < 0 x)2，
解得x= SKIPIF 1 < 0 ，
∴线段AN的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
1．（2022·山东德州·统考二模）如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在直线 SKIPIF 1 < 0 上时，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
2．（2022·内蒙古包头·包钢第三中学校考三模）已知 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转．设旋转角为 SKIPIF 1 < 0
(1)试说明 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，若点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在 SKIPIF 1 < 0 边中点处，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在 SKIPIF 1 < 0 边上时，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
3．（2022·浙江绍兴·校联考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC=6，P为线段BC上一动点，设PC＝x．
(1)如图①，当x＝2时，求AQ的长；
(2)如图②，当x＝3时，把△CPQ绕点C逆时针旋转β度，（0＜β＜90°），求此时AQ的长；
(3)如图③，将△PCQ沿PQ翻折，得到△PQM，点M是否可以落在△ABC的某边的中垂线上？如果可以，求出相应的x的值；如果不可以，说明理由。
4．（2022·浙江金华·校联考二模）如图，菱形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E是射线AC上的一个动点，将线段BE绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DE、DF．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，连接BD，CF，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似时，求CE的长；
(3)当点D关于直线EF的对称点落在菱形的边上时，求AE的长．
5．（2022·辽宁沈阳·统考二模）在正方形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，E是边CD上一动点（不与点C，D重合），分别连接AE，BE，将线段AE绕点E顺时针方向旋转90°得到EF，将线段BE绕点E逆时针方向旋转90°得到EG，连接DF，CG．
(1)如图1，当点E是CD的中点时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时．直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)如图3，当 SKIPIF 1 < 0 时，取AB的中点H，连接EH．
①EH的长为 ；
②DE的长为 ．
6．（2022·海南海口·统考二模）如图1，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段BC上一个动点（与点B、C不重合），将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接DE． 过点D作DF SKIPIF 1 < 0 EP，交AB于点F，交AP于点G，连接FP．
(1)求证：①△ABP≌△DAF；②四边形PEDF是平行四边形；
(2)如图2，延长BC至点M，点P在运动过程中，求证：点E始终在∠DCM的角平分线上；
(3)设BP＝x．当x为何值时，ED＝EQ？