中考数学二轮复习压轴题培优专练专题05 线段的数量和位置关系的探究题（2份打包，原卷版+解析版）

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线段的数量关系一般是指线段的相等、和差关系、乘积关系和比例关系，线段的位置关系一般是指平行关系、垂直关系和夹角问题。
线段的数量关系和位置关系的探究题，一般通过以下方式求解：
（1）通过证明三角形全等或者三角形相似，再根据全等三角形或相似三角形的性质，得到线段的数量关系，通过转化可以求解。
（2）通过利用勾股定理和直角三角形的性质，得到线段的数量与位置关系。
（3）通过证明或者构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三线合一的性质，得到线段的数量与位置关系。
（4）通过证明或构造平行四边形或特殊的平行四边形，利用平行四边形或特殊的平行四边形的性质，得到线段的数量与位置关系。
（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．
(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明 SKIPIF 1 < 0 ADE≌ SKIPIF 1 < 0 ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．
(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．
(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝ SKIPIF 1 < 0 ，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．
（1）如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论；
（2）结论：CB+CD= SKIPIF 1 < 0 AC．如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．证明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，证明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM=CN，可得结论；
（3）分两种情形：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3-2中，当∠CBD=75°时，分别求解即可．
【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；
(2)CB+CD= SKIPIF 1 < 0 AC；理由见详解；
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADE+∠ADC=180°
∴∠B=∠ADE，
在△ADE和△ABC中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADE≌△ABC（SAS），
∴∠DAE=∠BAC，AE=AC，
∴∠CAE=∠BAD=60°，
∴△ACE的等边三角形，
∴CE=AC，
∵CE=DE+CD，
∴AC=BC+CD；
（2）解：结论：CB+CD= SKIPIF 1 < 0 AC．
理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠CDA+∠CBA=180°，
∵∠ABN+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABN，
∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB，
∴△AMD≌△ANB（AAS），
∴DM=BN，AM=AN，
∵AM⊥CD，AN⊥CN，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∴AC= SKIPIF 1 < 0 CM，
∵AC=AC．AM=AN，
∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），
∴CM=CN，
∴CB+CD=CN SKIPIF 1 < 0 BN+CM+DM=2CM= SKIPIF 1 < 0 AC；
（3）解：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．
∵∠CDA=75°，∠ADB=45°，
∴∠CDB=30°，
∵∠DCB=90°，
∴CD= SKIPIF 1 < 0 CB，
∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，
∴OP=OQ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB=AD= SKIPIF 1 < 0 ，∠DAB=90°，
∴BD= SKIPIF 1 < 0 AD=2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴OD= SKIPIF 1 < 0 ．
如图3-2中，当∠CBD=75°时，
同法可证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，满足条件的OD的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
(1)如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6 SKIPIF 1 < 0 ，ED＝12，求EM的长．
（ 1）证明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形的性质证出∠EMC＝90°，则可得出结论；
（2 ）①同（ 1）可证△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠E＝∠F，则可得出结论；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，证明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性质得出DG＝DH，由角平分线的性质可得出答案；
③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案．
【答案】(1)AE＝CF， AE⊥CF
(2)①成立，理由见解析；②45°；③6+6 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；
（2）①（ 1）中的结论还成立，理由：同（1 ）可证△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，
∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝ SKIPIF 1 < 0 ∠EMC＝45°；③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM SKIPIF 1 < 0 ∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，∴EG＝ SKIPIF 1 < 0 ∴EM＝GM+EG＝6+6 SKIPIF 1 < 0 ．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（2022·辽宁锦州·中考真题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点D在线段 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长至点E，使 SKIPIF 1 < 0 ，过点E作 SKIPIF 1 < 0 ，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点F．
(1)如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，请用等式表示 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系：____________．
(2)如图2．若 SKIPIF 1 < 0 ，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，即可得到结论；
②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
【详解】（1）解：过点C作CG⊥AB于G，如图，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△EDF≌△CDG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：①过点C作CH⊥AB于H，如图，
与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②如图，过点C作CG⊥AB于G，
与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
当点F在点A、D之间时，有
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
与①同理，可证 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
当点D在点A、F之间时，如图：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
与①同理，可证 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综合上述，线段 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等．
1．（2022·辽宁大连·校考模拟）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
(2)如图 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，并证明你的结论．
(3)如图 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，探究 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系，并证明．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析
(3) SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析
【分析】（1）根据题意证明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再结合题意即可解答；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据平行线的性质 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 即可得证；
（3）根据题意证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而证明 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 即可得到解答．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ．
证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟）如图，已知点E是射线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为边作正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点M，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图1，判断线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图2，在图中的正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ，正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)结论成立： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3)满足条件的 SKIPIF 1 < 0 的面积为20或34．
【分析】（1）延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于H，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据直角三角形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，等量代换得到答案；
（2）如图2中，延长 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于N，交 SKIPIF 1 < 0 于O．利用全等三角形的性质，想办法证明 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形即可；
（3）分两种情形根据题意画出完整的图形，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】（1）解：如图1，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于H，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：结论成立： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
理由：如图2中，延长 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于N，交 SKIPIF 1 < 0 于O．

∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）①如图3-1中，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②如图3-2中，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
同法可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，满足条件的 SKIPIF 1 < 0 的面积为20或34．
3．（2022·河南洛阳·统考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，点G是射线CB上一个动点，延长CA到D，使得 SKIPIF 1 < 0 ，过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，交BA的延长线于点E，连接交CD于点F．
(1)①如图1，当 SKIPIF 1 < 0 时，EF与FG之间的数量关系是___________；
②如图2，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点G在射线CB上移动时，EF与FG之间的数量关系是否与①中的数量关系相同，若相同，请说明理由；若不相同，请求出新的数量关系；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 三边的长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，当点G在射线CB上移动时，请直接写出EF与FG之间的数量关系．
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ，②不相同， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）①结论： SKIPIF 1 < 0 ．证明 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，推出 SKIPIF 1 < 0 ，利用平行线分线段成比例定理证明即可；
②数量关系不同．结论： SKIPIF 1 < 0 ．相似三角形的性质证明即可；
（2）结论： SKIPIF 1 < 0 ．利用相似三角形的性质证明即可．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 结论： SKIPIF 1 < 0 ．
理由：如图1中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间有新的数量关系： SKIPIF 1 < 0 ．
理由如下：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：结论： SKIPIF 1 < 0 .
理由：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·浙江嘉兴·一模）如图1，已知正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，点B、C、E在同一直线上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求图1中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的长（用含m的代数式表示）．
(2)如图2，正方形 SKIPIF 1 < 0 固定不动，将图1中的正方形 SKIPIF 1 < 0 绕点C逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 度（ SKIPIF 1 < 0 ），试探究 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）条件下，当点A，F，E在同一直线上时，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点H，若 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值．
【答案】(1)BG= SKIPIF 1 < 0 ，AF＝ SKIPIF 1 < 0
(2)AF= SKIPIF 1 < 0 BG
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）延长FG交AB于H，在Rt△BCG中，由勾股定理，求BG的长，在Rt△AHG中，由勾股定理，求AF的长；
（2）连接AC、CF，在等腰Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= SKIPIF 1 < 0 BC，在等腰Rt△FGC中，由勾股定理，得CF= SKIPIF 1 < 0 CG，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而可证△ACF∽△BCG，得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论；
（3）连接AC，证明△AHF∽△CHA，得 SKIPIF 1 < 0 ，又由正方形 SKIPIF 1 < 0 ，EF=CE=1，
可求得CF= SKIPIF 1 < 0 ，即从而求得CH=CF+FH= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =2 SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得AH=2， DH=AD-AG=m-2，然后在Rt△CDH中，由勾股定理，得
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 求解即可．
【详解】（1）解：延长FG交AB于H，如图1，
∵正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，点B、C、E在同一直线上，
∴∠ABC=∠BCD=∠CGD=∠CGH=90°，AB=BC=m，CG=GF=CE=1，
在Rt△BCG中，由勾股定理，得
SKIPIF 1 < 0 ；
∴∠BHG=90°，
∴四边形BCGH是矩形，∠AHG=90°，
∴GH=BC=m，BH=CG=1，
∴AH=m-1，
在Rt△AHG中，由勾股定理，得
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：连接AC、CF，如图2，
∵正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ACB=∠FCG=45°，
∴∠ACB+∠ACG=∠FCG+∠ACG，
∴∠BCG=∠ACF，
在等腰Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC= SKIPIF 1 < 0 BC，
在等腰Rt△FGC中，由勾股定理，得
CF= SKIPIF 1 < 0 CG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ACF∽△BCG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即AF= SKIPIF 1 < 0 BG；
（3）解：连接AC，如图3，
∵正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠CAD=∠CFE=45°，CD=AD=BC=m，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACF，∠CAD=∠CAF+∠FAH，
∴∠FAH=∠ACF，
∵∠AHF=∠CHA，
∴△AHF∽△CHA，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵正方形 SKIPIF 1 < 0 ，EF=CE=1，
∴CF= SKIPIF 1 < 0 ，
∴CH=CF+FH= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AH=2，
∴DH=AD-AG=m-2，
在Rt△CDH中，由勾股定理，得
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (不符合题意，舍去)．
∴m的值为 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·北京海淀·校考三模）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 延长线上一点，平移 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线与线段 SKIPIF 1 < 0 的延长线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)依题意补全图形，用等式表示线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，结论： SKIPIF 1 < 0 ，理由见解析
【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题；
（2）图形如图所示，结论： SKIPIF 1 < 0 ，想办法证明 SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：图形如图所示，结论： SKIPIF 1 < 0 ．
理由：连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点共圆，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟）如图，在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D在 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)如图1，若点F在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上，连接 SKIPIF 1 < 0 ，探究线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若点D与点A重合，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点D旋转，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点G为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，在旋转的过程中，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)如图3，若点D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点M， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点N，且 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）过F作 SKIPIF 1 < 0 于H，过E作 SKIPIF 1 < 0 于G，结合K字型全等，等腰直角三角形，四点共圆即可得到答案；
（2）第二问考察隐圆问题与阿氏圆，取 SKIPIF 1 < 0 的中点O，连接 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上取 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，构建相似，转化线段即可得到答案；
（3）过点C作 SKIPIF 1 < 0 平行线，点F作 SKIPIF 1 < 0 平行线交于点G；过点G作 SKIPIF 1 < 0 于点H，过点K作 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算．
【详解】（1）解：线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系： SKIPIF 1 < 0 ，证明如下：
过F作 SKIPIF 1 < 0 于H，过E作 SKIPIF 1 < 0 于G，如图：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点F、D、A、E四点共圆，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）取 SKIPIF 1 < 0 的中点O，连接 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上取 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
∵G为 SKIPIF 1 < 0 的中点，O为 SKIPIF 1 < 0 中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 的最小，需 SKIPIF 1 < 0 最小，
∴当H、G、C三点共线时， SKIPIF 1 < 0 的最小， SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）过点C作 SKIPIF 1 < 0 平行线，点F作 SKIPIF 1 < 0 平行线交于点G；过点G作 SKIPIF 1 < 0 于点H，过点K作 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．